Poisson分布的統(tǒng)計分析

Poisson分布的統(tǒng)計分析1Poisson分布的概念描述所觀察到的某事件發(fā)生次數(shù)x的概率對于觀察單位充分小的情況下某事件發(fā)生是非常罕見的罕見事件:,n很大,而不大,每個格子的大小恰好能容納一個細(xì)菌1L水細(xì)分格子數(shù)有限格子中有細(xì)菌2什么是Poisson分布Poisson分布主要用于描述在單位時間（空間）中某種事件發(fā)生數(shù)的概率分布放射性物質(zhì)在單位時間內(nèi)的放射次數(shù)在單位容積充分搖勻的水中的細(xì)菌數(shù)野外單位空間中的某種昆蟲數(shù)顯然，Poisson分布也是一種離散型隨機(jī)變量的分布3什么是Poisson分布可以認(rèn)為滿足以下三個條件的隨機(jī)變量服從Poisson分布：平穩(wěn)性：X的取值與觀察單位的位置無關(guān)，只與觀察單位的大小有關(guān)獨立性：在某個觀察單位上X的取值與前面各觀察單位上X的取值獨立（無關(guān)）普通性：在充分小的觀察單位上X的取值最多為1實際上可以看作是在二項分布要求上更進(jìn)了一步4什么是Poisson分布Poisson分布的概率分布規(guī)律X取值范圍為非負(fù)整數(shù)，即0,1,…；其相應(yīng)取值概率為式中e：自然對數(shù)的底，e≈2.7182；是大于0的常數(shù)。X服從以

為參數(shù)（X的總體均數(shù)）的Poisson分布可記為X～P(

)5Poisson分布的特性Poisson分布的均數(shù)與方差由Poisson分布計算概率公式可見Poisson分布只有一個參數(shù)

。這個參數(shù)就是Poisson分布的總體均數(shù)。不同的總體均數(shù)對應(yīng)于不同的Poisson分布總體方差也等于此參數(shù)

這是Poisson分布的特性6Poisson分布的特性Poisson分布的可加性如果X1,X2,…,Xk相互獨立，且它們分別服從Poisson分布，則T=X1+X2+…+Xk也服從Poisson分布，其參數(shù)為原各參數(shù)之和

1+

2+…+

k正態(tài)分布與Poisson分布的關(guān)系只取決于均數(shù)，均數(shù)很小時分布很偏，當(dāng)均數(shù)增加時，逐漸趨于對稱當(dāng)均數(shù)

越來越大時，Poisson分布逐漸逼近于均數(shù)為

，方差為

的正態(tài)分布。據(jù)此性質(zhì)，均數(shù)較大的Poisson分布可按正態(tài)分布近似計算78Poisson分布的特性Poisson分布與二項分布的關(guān)系設(shè)X～B(n,

)，則當(dāng)n→∞且n

保持不變時，可以證明X的極限分布是以n

為參數(shù)的Poisson分布由以上性質(zhì)可得，當(dāng)n很大，

很小時，二項分布近似Poisson分布。當(dāng)n很大時，二項分布概率的計算量相當(dāng)大。因此可以利用二項分布的Poisson近似這一性質(zhì)，當(dāng)n很大且

很小時，可以用Poisson分布概率計算替代二項分布的概率計算9Poisson分布總體均數(shù)的估計10小樣本時總體均數(shù)的估計當(dāng)待估總體均數(shù)與樣本均數(shù)的觀察單位相同時，總體均數(shù)的點估計就是樣本計數(shù)，也就是說此時的樣本計數(shù)就是樣本均數(shù)。按照分布規(guī)律，直接通過計算不同發(fā)生數(shù)的概率即可得到區(qū)間估計例7.1對某一水體進(jìn)行衛(wèi)生學(xué)評價，隨機(jī)取得100ml水樣，培養(yǎng)得大腸菌落30個，試估計該水體中平均每100毫升所含大腸菌數(shù)的95%可信區(qū)間。由于希望求得的是100毫升水樣的菌落數(shù)可信區(qū)間，因此可以將這些水樣看作是一個觀察單位來進(jìn)行分析。Cii命令11大樣本時總體均數(shù)的估計在大樣本時可以直接利用正態(tài)近似原理得到區(qū)間估計當(dāng)待估總體均數(shù)與樣本均數(shù)的觀察單位不同時，要根據(jù)樣本觀察單位進(jìn)行估計，然后把估計結(jié)果進(jìn)行單位轉(zhuǎn)換，使估計結(jié)果中的觀察單位與總體觀察單位相同(用正態(tài)近似方法可以直接變換觀察單位)。12大樣本時總體均數(shù)的估計例7.2測得某放射性同位素半小時內(nèi)發(fā)出的脈沖數(shù)為490個，試估計該放射性同位素平均每30分鐘脈沖數(shù)的95%可信區(qū)間。已知n=490，由于此樣本計數(shù)大于50，故可考慮利用近似正態(tài)分布的原理估計其總體均數(shù)。這里，待估總體均數(shù)的單位是30分鐘，樣本均數(shù)也是觀察了1次30分鐘得到的，所以應(yīng)當(dāng)以30分鐘作為一個觀察單位可直接按照近似原理計算，或者用cii命令計算由于觀察單位數(shù)等于1，因此公式中標(biāo)準(zhǔn)誤的大小就等于標(biāo)準(zhǔn)差13大樣本時總體均數(shù)的估計例7.3為了解某地新生兒出生缺陷的發(fā)生水平，該地某年內(nèi)共監(jiān)測新生兒192000人，其中出生缺陷的發(fā)生數(shù)為1977人，監(jiān)測出生缺陷發(fā)生率為102.97/萬，試估計該地新生兒出生缺陷發(fā)生率的95%可信區(qū)間。新生兒出生缺陷的發(fā)生率常以萬分率來表示，如果以1萬人為單位，該地監(jiān)測的新生兒出生數(shù)192000人可看作是19.2個觀察單位（即n=19.2），其樣本均數(shù)為102.97，正態(tài)近似時的標(biāo)準(zhǔn)差也應(yīng)當(dāng)按此計算注意此時標(biāo)準(zhǔn)誤的大小不等于標(biāo)準(zhǔn)差計算結(jié)果與不同的觀察單位大小無關(guān)14Poisson分布樣本均數(shù)與總體均數(shù)的比較15小樣本計算例7.4一般孕產(chǎn)婦的死亡率是56/10萬，某地研究者為了解當(dāng)?shù)卦挟a(chǎn)婦的死亡率是否低于一般，對該地7500名孕產(chǎn)婦進(jìn)行監(jiān)測，其中3名死亡，死亡率為40/10萬，試作統(tǒng)計推斷?？衫肞oisson分布的概率