十講空間解析幾何

泰山學(xué)院信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院教課設(shè)計(jì)數(shù)值剖析教研室課程名稱(chēng)高等數(shù)學(xué)講課對(duì)象講課題目第十講空間分析幾何中的問(wèn)題課時(shí)數(shù)2經(jīng)過(guò)教課讓學(xué)生掌握向量的基本觀(guān)點(diǎn)，向量的數(shù)目積，向量的向量積，平教課目的面及其方程，直線(xiàn)及其方程，常用二次曲面的方程及其圖形，常用二次曲面的方程及其圖形重點(diǎn)要點(diǎn)：向量的數(shù)目積，向量的向量積，平面方程，直線(xiàn)方程難難點(diǎn)：常用二次曲線(xiàn)、二次曲面的方程及其圖形.點(diǎn)第十講空間分析幾何中的問(wèn)題教一、向量的基本觀(guān)點(diǎn)二、兩向量的數(shù)目積三、兩向量的向量積四、平面及其方程學(xué)五、直線(xiàn)及其方程六、常用二次曲面的方程及其圖形七、常用二次曲面的方程及其圖形提綱1/6教課過(guò)程與內(nèi)容教課后記第十講空間分析幾何中的問(wèn)題一、向量的基本觀(guān)點(diǎn)（１）坐標(biāo)系（２）兩點(diǎn)間的距離公式（３）向量的坐標(biāo)表示ABxiyjzk{x,y,z}（４）向量的長(zhǎng)度|AB|x2y2z2向量的單位化方向角（５）向量的方向方向余弦二、兩向量的數(shù)目積（１）ab|a||b|cos(a,b)（２）abaxbxaybyazbz(3)aa|a|2.(4)abab0(5)cos(a,b)ab|a||b|（６）：abab0axbxaybyazbz0三、兩向量的向量積（１）設(shè)a、b為向量，作向量R＝ab使得：1)|R||a||b|sin(a,b)R垂直于ab所確立的平面，指向按右手法例（２）ab(axiayjazk)(bxibyjbzk)vvvijkaxayazbxbybz（３）應(yīng)用１）利用向量積求出同時(shí)垂直兩個(gè)已知矢量的矢量；2/6２）a//bab0axayazbxbybz四、平面及其方程（１）已知平面過(guò)點(diǎn)M0（x0、y0、z0），nA,B,C為的法矢量。1）點(diǎn)法式：A(x-x)+B(y-y)+C(z-z)=0；0002）一般式：Ax+By+Cz+D=0，A、B、C不全為零；（２）平面間的地點(diǎn)關(guān)系1）兩平面垂直：π⊥πn1⊥n2；122）兩平面平行：π∥πn1∥n2。123）平面間的夾角（常指銳角）：cosA1A2B1B2C1C2。A12B12C12A22B22C22（３）點(diǎn)到平面的距離點(diǎn)M0(x0、y0、z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距離為d

Ax0By0Cz0DA2B2C2五、直線(xiàn)及其方程（１）空間直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程和點(diǎn)向式方程xx0yy0zz0（=t）mnpyy0zz0當(dāng)m=0時(shí)，則方程的點(diǎn)向式記為：npxx0A1xB1yC1zD1（２）直線(xiàn)的一般方程為A2xB2yC2zD2（３）兩直線(xiàn)的夾角4)直線(xiàn)與平面的夾角六、常用二次曲面的方程及其圖形1、球面：xx02yy02zz02R2x2y2z2R23/6x2y2、橢球面2ba3、旋轉(zhuǎn)曲面

2z212c2設(shè)L是x0z平面上一條曲線(xiàn)，得旋轉(zhuǎn)曲面：

fx,z0L繞z旋轉(zhuǎn)一周所y0fx2y2,z0x0x2y2zz022y2,zz0xx0x2y2z0z代入方程fx,z0得fx2y2,z0例例：zx2y2,zax2y2稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)雙曲面：x2y2z21，(單)a2c2zx2y2z2a2c24、橢圓拋物面zax2by2a，b05、單葉雙曲面x2y2z21a2b2c26、雙葉雙曲面x2y2z21a2b2c27、二次錐面x2y2z20a2b2c2圓錐面z2x2y2物柱面yax2a0（8）柱面f(x,y)04/6七、常用二次曲面的方程及其圖形（1）空間曲線(xiàn)C可看作空間兩曲面的交線(xiàn).F(x,y,z)0G(x,y,z)0空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程x(t)y(t)z(t)空間曲線(xiàn)在座標(biāo)面上的投影F(x,y,z)0G(x,y,z)消去ｚ的方程0H(x,y)0曲線(xiàn)對(duì)于xoy面投影柱面H(x,y)0曲線(xiàn)對(duì)于xoy面投影為Z0例１：已知曲線(xiàn)C:x2y22z20，求曲線(xiàn)C距離XOY面最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最xy3z5近的點(diǎn).【剖析】曲線(xiàn)上一點(diǎn)(x,y,z)到XOY面的距離為z，但把目標(biāo)函數(shù)設(shè)為f(x,yz)z，不便于計(jì)算，因此常把目標(biāo)函數(shù)設(shè)為f(x,yz)z2，把兩個(gè)方程當(dāng)作拘束條件使用拉格朗人數(shù)乘法求解即可?！窘狻縇z21(x2y22z2)2(xy3z5)L1x202xL1y022yL41z302z2zL2y22z20x1Ly3z50x25/6由前兩個(gè)方程知xy，代入后兩個(gè)方程知求的解(1,1,1),(5,5,5)最遠(yuǎn)的點(diǎn)(5,5,5)和近來(lái)的點(diǎn)(1,1,1).例２：橢球面S1是橢圓x2y21繞X軸旋轉(zhuǎn)而成，圓錐面S2是由過(guò)點(diǎn)（4,0）43且與橢圓x2y21相切的直線(xiàn)繞X軸旋轉(zhuǎn)而成。43（Ⅰ）求S1和S2的方程；（Ⅱ）求S1和S2之間的立體體積。【剖析】設(shè)L是xoy平面上一條曲線(xiàn)f(x,y)0，L繞x旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面為f(,y2z2)0x【解】S1:x2y23z214設(shè)過(guò)點(diǎn)（4,0）與橢圓相切的直線(xiàn)方程為yax4a設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0)，則dy3x0ay0，又3x204y2012dx4y0x04得(x0,y0)＝(1,3)，上方切線(xiàn)為y1x2221x2S2:y2z222V132