高中導(dǎo)數(shù)虛設(shè)零點(diǎn)8種題型

高中導(dǎo)數(shù)虛設(shè)零點(diǎn)8種題型在解導(dǎo)數(shù)綜合題時(shí)，經(jīng)常會(huì)碰到這種情形：我們知道導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)在很多時(shí)候是無(wú)法直接求解出來(lái)的，我們稱(chēng)之為“隱零點(diǎn)”（即能確定其存在，但又無(wú)法用顯性的代數(shù)式進(jìn)行表達(dá)），基本解決思路是：形式上虛設(shè)，運(yùn)算上代還，數(shù)值上估算，策略上等價(jià)轉(zhuǎn)換，方法上分離函數(shù)（參數(shù)），技巧上反客為主此時(shí)，我們一般虛設(shè)零點(diǎn)，或者通過(guò)對(duì)方程f‘（x）=0變形、簡(jiǎn)化目標(biāo)函數(shù)，實(shí)行過(guò)渡；或者通過(guò)研究f'（X）的性質(zhì)，對(duì)隱零點(diǎn)進(jìn)行估計(jì)；或者使用有效的方式，回避隱零點(diǎn)，再結(jié)合題目其他條件，最終解決問(wèn)題。今天老師就整理了8個(gè)方法，解決導(dǎo)數(shù)“隱零點(diǎn)”問(wèn)題。一、直接觀察如果導(dǎo)函數(shù)存在零點(diǎn).但令導(dǎo)函數(shù)為零后，出現(xiàn)趙越方程.直接求解比較困難，此時(shí)可先用持殊值試探出方程的一個(gè)根?再通過(guò)二次求導(dǎo)研究其單調(diào)性，并證明其是唯一的-般的，當(dāng)導(dǎo)數(shù)式含有l(wèi)ux時(shí),可試根“或丄等,當(dāng)導(dǎo)數(shù)式含有才時(shí)可試根0或1e111v例h(2013北京卷)求證：—<.v-lr證明；令g(.T)=.T-1--5^-=3-g\x)=-——?令7/(.v)=.v2-1+hi.X.r廣則力⑴=0M//&)=2?丫十￡〉0,所以”(丫)在(0.乜?)單,調(diào)遞增故當(dāng)0<^<1時(shí),h{x)<0=>g(x)<Qf當(dāng);v>I時(shí).丿心)>0=>g'(x)>0hlT所以g(=)在(0.1)單.調(diào)遞減，件(L+S)單調(diào)遞增.所以^(.v}>g(l)=0=>—<r-l.v例2：己知(?丫?1)111斗?c7k0恒成立，求c的取值范圍解:由??a^(x-l)lnx恒成立,令/(r)=Cr-l)liir=>/*Cv)=解:但廣何=0足個(gè)超越方程，觀察得x=l時(shí)，廣(?丫)=0當(dāng)Ovrvvl時(shí)./,(.v)<0.r>I吋./,(.v)>0所以/(.v)ft(0.1)內(nèi)單?調(diào)減-在(1.4R)單調(diào)增.所以=/(I)=0<0二、虛設(shè)零點(diǎn)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)存在零點(diǎn)，但零點(diǎn)式子非常繁瑣或無(wú)法求解時(shí).可考慮虛設(shè)冬點(diǎn)心，再對(duì)/，(.xo)=0進(jìn)行合理的變形與代換.將超越式化為普通式，從而達(dá)到化簡(jiǎn)/(*)的目的例3：設(shè)函數(shù)/(工)=上也丄也(斗>0),若恒成立，求正整數(shù)斤的最人值.rx+1解：由題總得您十川皿匸")丁1］在(0.乜)內(nèi)恒成立>Jj(.T)>Jj(.T)=.Y-1-111(.Y+1)=>k*(T)=>0,所以城巧<￡(0￥)單調(diào)遞増而A(2)=l-ln3<0Jj(3)=2-In4>0.所以存在唯一的zqe(2,3)使毎況即“i+ln毓十1人當(dāng)*(0皿［時(shí)，hM<t?g'(-r)<0g(.T)ft-(0,^0)調(diào)遞減齊理e(山d十心吋■A(出)》Dng\.yJ：>0=g(x)任(旺.z>)單-凋遞增所以g(￡)諭三嵌9二伽十鞏皿氐煮)十H=5+1EG-4)’故*的最犬值為3例力己知代町二h—In(r+2)?求證/(T)>om^證明；廠d——(工>—2}■拙然廣住)在(―2?十切單調(diào)遞增即e迪二兩邊取對(duì)數(shù)得處二-ln(p專(zhuān)耳恥+2當(dāng)工e(-2.x0)時(shí)/Xv)cO?f(_N)單調(diào)遨喊.F總(譏、+旳}時(shí)，廠(a)>OtfM單調(diào)觀增1(V+W所=幾幣)-職?尙+2)=—%=土aQ耳fM>0恒成立洌苑<2016國(guó)卷)設(shè)f(y)^e~x-nto.v?求伍為心0時(shí)八兀)止加十eln：證明：/p(x3=2^--?uia>0時(shí)，戰(zhàn)然崔(G+x)單調(diào)遞增?又廣?}=2才”-1>0丫現(xiàn)^tib(O<b<a)使得廣(可=2八一?vET爪妨±(^<-故當(dāng)曰aO時(shí)，子心)存在唯零點(diǎn)：v當(dāng)時(shí)’fM<0當(dāng)玄:>%時(shí)./\.v)>0.故/(r)^(C?牝}曜調(diào)遞減.注⑴曠心)單訓(xùn)謹(jǐn)增.所以半.2%時(shí)，口刃取得現(xiàn)中值,)=hl--In.r,由廣代"加現(xiàn)-—=0n總吧工旦，取對(duì)數(shù)得2心=)=hl--In.r,%磯所臥y(.T0)=才“-frilly=7-——11(11]-7--2a0)=7—+2c7.T0i-C?hl—>2il4-(7hi—故當(dāng)應(yīng)AO時(shí).f⑴二加卡口h上百例(2018r州一測(cè))設(shè)找巧二皿+liM+h若對(duì)任意的.v>0,子(刃玄打戶(hù)怛誠(chéng)立.求d的范冊(cè)解：/(V)￡T戶(hù)u?①+11LE+1盂：V嚴(yán)o曹莖嚴(yán)_曲丁十」在(0十”)卜恒誠(chéng)立X#、<、些1dh*[,、2.r]:^-J'+lii.Y「人…、?2備,令菖(t｝=f=>g(.Y)=?再令幾(丫)=2尸廣+li).rr.vn/j'(.r)=4(ar2++—>0,h(y)在｛0.+旳)甲調(diào)遞増?3TXAfl)=2r>O.A(|)=屁;弘2<0,扒巧存在唯一零點(diǎn)心e(|.l)號(hào)0GTG?時(shí),h(X)f0—g'(3J)<0，'L1.Y>AqWjli(.X)A0二g'(p>0所以g(劃在做間單調(diào)邂減.崔鼠*羽單調(diào)遞增,所以g(對(duì)二盤(pán)羸｝由腮如)=2丸廿切+Lti.Y0=0n孑旳=一也耳■、(丄匕5<1)%4=1%=111(-111yc)一111(2心)—111扯=>111(2.v0)-+2.r(j.=111(-1ii.t0)+(-Iii.r0)令成H=Im十xr$r(x)=—+1>0^心)在?+kJ單調(diào)遞增?ffi以j(2,r0)=5(-111如x眇以2曲二一血％,才嘲二-烏=丄「所以￡(力2盤(pán)(?丫』二惑恥—也衛(wèi)也=2―仃總22吋q弘例7t(2017全國(guó)2卷[己村函垃/(一町三十—工—一訕".Hf(x)>0求證：/■(町隹東唯一的極大值點(diǎn).q,Ke"</(心)<2弋證明；廣(衛(wèi)=2^-2-h\xr設(shè)ft(.r)=2x-2-lirr?則FCO=2-丄r■易得機(jī)町伍([*+呵I：虞陰增?為(山?1:單闢減又低占)=加2-1<:67/(1)=0.則就町在(0丄)上存在唯一寥點(diǎn).％便得2^-2-hi%=0.即2.vq-2=lii.^,±L/(,r)為(IK%)、(1,卡乃)匕啊增函費(fèi)，為(xoil)k的減函敷.則廣㈣權(quán)衣值為幾0)=抵。一琢丄.而『e(①小心工幼4t岸山c、八匚#7”-】\”J屋匚3亠f\」r—

例&iS/Cv)=^-.Y-2.若.r>0時(shí)，(a+半亠l>0.求整數(shù)丘的城大值躺瞬離蟄數(shù)1f'(x)=ex-\,C.r-A-}/X-v)+x+1-Z'X^1)+x4^1(y-AO/Xv)+r+L>0^^<m7iJ=y+_￡2jL(十>0)于-1-1令g(H=令g(H=芝十字g二gV)=一1令/心)=*一—2口丹w=來(lái)-1ao?/心)崔(0.+X)草調(diào)遙增■且沁)=e-3<0.h(2)=p2-4>0,所h(x)存在唯一的零點(diǎn)％e(1.2),曲方〔曲)=Q=>滬=x0+2易得g(喲在(0心｝單調(diào)環(huán)減，在(心.皿)單調(diào)罐增，所以烈町==愿可=心+即g(E喚-5斗疋(23,又/c<g(x)^,所収整數(shù)斤的繪大值曲2三、分類(lèi)討論例9；設(shè)于&)二h—1—X—血=’彗當(dāng)>20時(shí)畑沁求口的脫值范鬧解：FtTfr(x)=-1-2ax令g(.T)*/-1一2打.xng'(.Y)=總”亠鮎"因淘bnl勺“E：吋?gX^)>O^g(r｝>g(0)二0n廣⑴>0^/(x)>/(0)=0,當(dāng)吃A#時(shí),昜得涇(時(shí)在(0.1ii2n)單調(diào)邀減，所=f'M<0此fftf(r)在(0、111加)單調(diào)遞腐麻以fW<f(0｝=0^符題瓠綜上：打￡丄例g<2012dj??>已知*十DO—工―￥血巧,求證/何門(mén)+滬賢+1證明；由h2耳十1易得0丘七一丈1?>1Hl-r-xln^<0=>f(x)<0<l+e~2e若玄吒1n1—.斗一片］肚y>0=f(x)<1--.xln.r-令茗(t)=!-^-atox令宇住)=—hit—2=0n±=bJ易得菖(列在?訂｝單調(diào)遞增.在@巴4^｝單調(diào)謹(jǐn)減所臥習(xí)(工)昨=g(A)"十曠\所以/(丫)：1十尹*綜bjf(x)<14-^例仃(2013T東卷)設(shè)/Cr)=U-lX-Ax\氣展G」］時(shí)?^/(.r)&［Q.A］上最大們解：由廠仙)=￥(/—/)，爭(zhēng)廣⑴=0二斗=11124考慮嶺是廳屈于區(qū)間0川

令金）3屮》伙）=孚皿故的<誚―\0iBtSfre(-|.l］吋，心=ln2Av/易得/(r)S［0.hi2*］單調(diào)減，在［in2k.k］單調(diào)增所小低為/（ii亡琦*捏大値為或址）、下曲比較/（Q）與/（燈的大小令風(fēng)&2/(們—川0)=的一1}/—P+Xfre(-J］(/f(^)=fr(Z-3fr)下面分析fr（k）下面分析fr（k）在時(shí)的零點(diǎn)問(wèn)題"即分析方程?3=Ort{^e(|J］的解又尸（頭2屁—令玖匚)=-—3^r\k)=v?^<0,r(k)^(-A］單調(diào)遡減k又尸（頭2屁—半心。3>0,KU=^-3<0,故r（燈圧百.1］例E唯一零點(diǎn)町且曲=3為易謝風(fēng)冊(cè)在（丁屁）單.調(diào)遞斷鉉（眾,i］單調(diào)邈減，又所以n淌血=hQ)=X從而^Jre&l］時(shí)?h(k)>0^f(k)>fW綜匕函數(shù)/⑴在［0X］匕的最人值為f伙）二曲一10—P半心。例12：雀畑=￡_$亠若-r>OW.Cv-fr）/W-rx+l>0.求整數(shù)斤時(shí)最加值解:（分類(lèi)討論）（芒一灼/（丫）+卞亠1》0o（X——1）+.v+1a0（.y>0）令&）=（*一燈（歹-1）+.r1>0（x>0）=>g\x）=為莊蘭1時(shí)?g\x）>Q.g（x）?。?.亠￡）單洞遞增、gCr2g（0）=l》0?符合題總當(dāng)斤》1時(shí)「令gf（x）-0二盤(pán)一1,易得班町在（0■片-1）遞減，在（it-L+oo）遞增所以罰=烈S+1-^1?令F（灼二矗*」一/—】（#>［）ng\k）=l-^<0則陶在Qg）單調(diào)遞喙且『（2）=3—年》0點(diǎn)3）=4—云故整數(shù)用的最大值為2四、拆分函數(shù)尚原函數(shù)比徴復(fù)雜時(shí)+可適尚瘵函數(shù)拆分成幾個(gè)簡(jiǎn)匏萌數(shù)’便丁■處理M13sC2014全國(guó)卷】求證；f（x）=^hlx^=—>L證明：/(.r)a1t+2_)A］0hi.r+^>廠u>.rh.vax八—：TOC\o"1-5"\h\zeveve設(shè)K(aO=.tIh.￥=>g&〕=11Lt+1+易得gh爲(wèi)=gt-)=--e￡?設(shè)ME=加丄=h\x)=尹(l-.Y).易得h(x)m=A(l)=一丄ee所ag(.rU>,乂g(x)和X.r)不能同時(shí)取得最值,所以g(x)>J心)nfM>L例1牡(2016山東卷)?/(x)=H(T-lnx)+^^.求證'當(dāng)/=1時(shí)-/(x)>/V)+-f2對(duì)任慮的ye［L2］tn^立證明：_fX.V)=f7(l—丄)勺d=1時(shí).f(,T)=”T■11】U2A'X-,Y'片f321122^312S/(.r)>f'(.r}+~?r-111.v+>1+：o了一lax*—+r一萬(wàn)>三2.V.V".t.V"*t2x屮x2令g(巧=X-hirji(x)=—十gyt則只需證g(x)十力(工)對(duì)任蕙的著亡［L2］恒成立

.T礦x2由于g匕)=—g(x)在［12］單調(diào)期=g(y)>g⑴=1.僅為丁=1時(shí)取等號(hào).r,+,ir\5a"-+2.V—6aj,/xf、a/19—J由Jh(x)±±:,令山(口巴0na■工X13JTg_1TlQ-1易得％乜在卩?；]單調(diào)舛在I；⑴單調(diào)減，所以恥r)的僉小值洵肌L)或秋2〉*T&⑴=2JA2)=-?所以風(fēng)町丄力⑵=?為且儀為t=2時(shí)取等號(hào)22乂旳)丸⑴"故呦+畑粋嶺卡敵幾》八”斗(1￡心)成立五、等價(jià)轉(zhuǎn)化例辰<2013四川高考、廢丁(工)工J/i—“.若1111線丁工山"上存在點(diǎn)(r0.r0)f$S/(/(y0))-,r0?求和的取值雄鬧解『因?yàn)閊=W^：,fe[-M]r且/(.V)>0t/!/(%))=如所以坯丘[0,1]X/(.r)單調(diào)逐增’若f{y.)>兒,則f(f(r^>f(yb)>片與/(/(.10))=y0孑盾I可理Av0)<Vo也不成立「所以/(片)二即fM=x在R?l]上有幣

所以g(P在01]上祇調(diào)邊增.故g<x)€[g(O).g(l)].HPae[Le]擱假已知函數(shù)/（.r）=—+丄，眾證：當(dāng)一、°1時(shí)?/（r）＞—.V+l.A-,T—1證明rf(x)a衛(wèi)匕<=>x(x-L)blx十.V2-1a.r(x+L)hlxG2blx-.x-h丄<;0x-1.T令呂（對(duì)=21iia-.v+丄ngV）=-*￥）＜0.馬以gCr）在（1,趙｝單調(diào)邀減所以肌力口菖⑴=0?即只力＞竺T-1六"降次代換例2已知/&）=疋十護(hù)+型+占有3個(gè)零點(diǎn)’求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：Fft/p{x)=3.r+2.r+fl?則A=4(1-3^)>0=><7<^3沒(méi)斤乃也匚勺）是廣（V）=0的兩點(diǎn)則/0）隹（Y.xJ.gp）遞増.在（曲宀）遞減所以/⑴的極大值與極小値分別為子⑶）Jgh且3x^2x^a=0^xr=驗(yàn)3"、耳丫1’"、耳丫1’2工1+門(mén)、2耳*應(yīng)16口—21+ax,+_=1279279x27打?qū)W幾將卅十龜9x27打?qū)W幾將卅十龜=-?杯=呂代入27?□6口—、1■"FfT6f7227所以/他HX勺）=（寧竝斗導(dǎo)”七二心+w二）27化簡(jiǎn)得于（對(duì)點(diǎn)時(shí)='27卩加+習(xí),由fMg=0=x—巨七、巧妙放縮利用常見(jiàn)的不等式1■丄＜hix^x-l.^2X+1,＞er?InxM■丄世行敕縮xey例⑹（20181^州一測(cè)｝a/Cv）=^+lll-T+b芳對(duì)任慮的H=恒成匕求疔的范園解（放縮淤）：Fher＞r+l得皿斗十1_一01M+1）￡腳我"一（加”十1）、2片十1口芒十1?（In卞十1）_刁■—仝—7-Y..lrIllT+1f?l以曲上b=19：求證：(x-1)(^~A-V)+2ill.V<—3<嚴(yán)廠例20：求還：blnx+蘭二A1YTOC\o"1-5"\h\z12嚴(yán)12嚴(yán)證明：ffe111X>及>r+1得ex111X+>云.()+=—>1exxex.Ta-例211求i"：xe^—2eUix>e(x2—2x+2)證明：原不等式oxe^-2lnx2x2-2(x-[)<=-—一1>加―尹一1)X,Y*Iiir<.T-1得J_l>5.故——L>0>—~空一?證畢XX'9v(r3+n例2厶求證，I時(shí).\J>9+hiv宀1證明：先把2放縮下，9，V^-+1)>>5(ln.r+1)>9+taxX-H-l-bl例23：求證Z-ln.r>2證明：由ex>x+l^-lii,Y>l-.rW^-hi,r>2例24；求證；(芒+口匕衛(wèi)土衛(wèi)vh+產(chǎn)上b證明；原不等式O^+l).[l-.Y(blJ-+L)]<(叭它(【4戸)對(duì)歹放縮，由出乏;v+1可知只需證賦+1）?[1一工011卞+1）]<:（十4嚴(yán)（1+歹?）

TV）在（氏滬〉單-調(diào)減，社（嚴(yán)調(diào)囲^f（x）>f（e-i）=e-：-e~3>0,證畢25=菠證’0時(shí)，代2r證明：先把H威締料，r-2,y+1>0=>?;2-T>x-1>hi.r=>—x4-—>Iii令/Cy)=In^+—=；>/'(x)=則/(刃亦(0?遞減.在點(diǎn)十對(duì)遞地所W/(r)>/(e)=2?證畢h—ft例跋,設(shè)&A<7AQ「我還;；<bI門(mén)3-In占證明：由垂車(chē)不等式1—丄生lomx—i得1—半*hi-<--lxbacb-a-..I>71lab-ln占1b-atn<hiy-Li(7<h—弋一；吒一=應(yīng)w<bbab0—說(shuō)ahiZ>-hii?例即：求還：0<x<2時(shí)，hiCr+I)+7^+i-l<-^r+6證明:由inr<.Y-l=>lii(.r+l)+V-V-ri-1=2inJx+1+VT+J-1<2（777T-i）-hV771-i-3（^