初二數(shù)學分段函數(shù)例題

初二數(shù)學分段函數(shù)例題對不起，由于文本生成AI的限制，我將盡可能地寫到2000個字符，而不是2000字。

分段函數(shù)的例題：

題目：已知函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x-1,&x\le1\\2-x,&x>1\end{cases}$，求$f(x)$的值域。

解析：首先我們可以看到$f(x)$是一個分段函數(shù)，分段點為$x=1$。當$x\le1$時，函數(shù)$f(x)=x-1$；當$x>1$時，函數(shù)$f(x)=2-x$。我們可以分別考慮這兩種情況下函數(shù)的取值范圍。

當$x\le1$時，函數(shù)$f(x)=x-1$。顯然，當$x=1$時，$f(x)=0$。當$x<1$時，$f(x)<0$，當$x>1$時，$f(x)>0$。因此，當$x\le1$時，函數(shù)$f(x)$的取值范圍為$(-\infty,0]$。

當$x>1$時，函數(shù)$f(x)=2-x$。顯然，當$x=2$時，$f(x)=0$。當$x<2$時，$f(x)>0$，當$x>2$時，$f(x)<0$。因此，當$x>1$時，函數(shù)$f(x)$的取值范圍為$[0,\infty)$。

綜上所述，函數(shù)$f(x)$的取值范圍為$(-\infty,0]\cup[0,\infty)=(-\infty,\infty)$，即$f(x)$的值域為$(-\infty,\infty)$。

題目：已知函數(shù)$g(x)=\begin{cases}2x+1,&x<0\\x^2,&x\ge0\end{cases}$，求$g(x)$的零點和極值。

解析：同樣地，我們可以看到$g(x)$是一個分段函數(shù)，分段點為$x=0$。當$x<0$時，函數(shù)$g(x)=2x+1$；當$x\ge0$時，函數(shù)$g(x)=x^2$。我們分別考慮這兩種情況下函數(shù)的零點和極值。

當$x<0$時，函數(shù)$g(x)=2x+1$。顯然，當$x=-\frac{1}{2}$時，$g(x)=0$。函數(shù)$g(x)$在$x<0$的區(qū)間上單調(diào)遞減，因此此處無極值。

當$x\ge0$時，函數(shù)$g(x)=x^2$。顯然，當$x=0$時，$g(x)=0$。函數(shù)$g(x)$在$x>0$的區(qū)間上單調(diào)遞增，因此$x=0$是函數(shù)$g(x)$的極小值點。

綜上所述，函數(shù)$g(x)$的零點為$x=-\frac{1}{2}$，極小值點為$x=0$。

題目：已知函數(shù)$h(x)=\begin{cases}-x+2,&x<1\\x^2-2x+3,&x\ge1\end{cases}$，求$h(x)$的最小值和最大值。

解析：同樣地，我們可以看到$h(x)$是一個分段函數(shù)，分段點為$x=1$。當$x<1$時，函數(shù)$h(x)=-x+2$；當$x\ge1$時，函數(shù)$h(x)=x^2-2x+3$。我們分別考慮這兩種情況下函數(shù)的最小值和最大值。

當$x<1$時，函數(shù)$h(x)=-x+2$。此時$h(x)$在$x<1$的區(qū)間上單調(diào)遞減，其最小值為$h(1)=1$。

當$x\ge1$時，函數(shù)$h(x)=x^2-2x+3$。我們將其寫成標準形式：$h(x)=(x-1)^2+2$。因此，當$x\ge1$時，函數(shù)$h(x)$的最小值為$2$，即當$x=1$時取得。

綜上所述，函數(shù)$h(x)$的最小值為$1$（當$x<1$時取得），最大值為$2$