從牟合方蓋引發(fā)關(guān)于球體積公式的思考 論文

從牟合方蓋引發(fā)關(guān)于球體積公式的思考摘要：本文先從中國古代對這個問題的研究開始談起，簡單介紹了祖暅原理的內(nèi)容和牟合方蓋的構(gòu)造，并將這二者結(jié)合起來得出球的體積公式，在此基礎(chǔ)上對牟合方蓋模型限”得到了關(guān)于球的體積公式，并得出微積分在球體積公式推導(dǎo)上的應(yīng)用。最后，探討了對級數(shù)的思考。關(guān)鍵詞：祖暅原理，牟合方蓋，微積分，級數(shù)，球的體積公式引言：2019年人教數(shù)學(xué)A版中在介紹祖暅原理推導(dǎo)幾何體的體積公式中，忽略了球的體積公式的推導(dǎo)，所以這篇論文主要目的是為學(xué)有余力的同學(xué)解釋球的體積公式的由來，并加入高等數(shù)學(xué)在這方面的研究，以豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。本論文參考了2003版的人教數(shù)學(xué)A版，所以也一并采納了以前教材中的推導(dǎo)方法。與之前的相關(guān)研究相比，本文在介紹了新的微積分法以及由此對級數(shù)的發(fā)散思考。一、牟合方蓋在球體積的應(yīng)用1.祖暅原理行平面之間的兩個幾何體，被平行與平面的任意平面所截，如果截得的兩個截圖1祖暅原理圖解這個原理通俗的解釋是：如果一摞紙擺在桌上，那么我們可以近似看作是一個直四棱柱，若將這摞紙從側(cè)面使它傾斜一個角度，那么雖然不在是直四棱柱，但是由于其高度不變，它的體積任然不會發(fā)生變化。圖2祖暅原理通俗的解釋祖暅原理對柱體體積公式的解釋：對于形狀各異的柱體，我們選取一個棱柱，一個圓柱和一個長方體，并使他們的下底面在同一平面上。當(dāng)我們用平行于下底面的平面去截這三個柱體，根據(jù)祖暅原理，這三個柱體的體積相同，所以體積公式均為v=sh祖暅原理對椎體的體積公式可以類比上述柱體的推導(dǎo)。圖3柱體體積公式2.牟合方蓋（1）牟合方蓋的提出：牟合方蓋是由我國古代魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽（約公元225年-公元295年）提出。當(dāng)時劉徽對于體積的求解存在如下問題：對于一個底面是正方形的四棱底面為上述邊長為a的正方形的內(nèi)接圓高度仍為h的圓柱，則我們也容易得到該4圓柱的體積為為πa2h。4圖4正方體與內(nèi)接等高圓柱在劉徽所處的時代，已經(jīng)能夠認(rèn)識到：若每個截面的面積的比值恒為4：π，則體積比值也為4：π，所以四棱柱的體積與圓柱的體積比值為4：π。所以現(xiàn)在只需要找到每個截面都與球?qū)?yīng)的等高的截面面積之比為定值的幾何體，就可以間接通過該幾何體的體積利用比值關(guān)系間接的得出球的體積。（2）牟合方蓋的構(gòu)造：劉徽對于牟合方蓋的描述為：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸。規(guī)之為圓囷，徑二寸，高二寸。又復(fù)橫規(guī)之，則其形有似牟合方蓋大概的意思為，拿8個正方體，正方體的邊長均為一寸，把它們堆積成一個邊長為兩寸的正方體。在這個正方體內(nèi)部做一個直徑為兩寸，高為兩寸的圓柱。然后在橫著做一個相同的圓柱，就可以得到牟合方蓋。圖5牟合方蓋的構(gòu)造這樣我們就能得到類似于圖3的一個牟合方蓋和它當(dāng)中的一個內(nèi)嵌的球。牟合方蓋的體積：球的體積=4：π。但是可惜的是，對于牟合方蓋的體積劉徽未能成功攻克。根據(jù)他的表述：“觀立方之內(nèi)，合蓋之外，雖衰殺有漸，而多少不掩。判合總結(jié)，方圓相纏，濃纖詭互，不可等正。欲陋形措意，懼失正理。敢不闕疑，以俟能言者?！眻D6牟合方蓋及其內(nèi)接球但是劉徽指出只要計(jì)算出牟合方蓋的八分之一，問題就能解決。大約200多年后的祖沖之父子從劉徽手中接過了接力棒，將體積計(jì)算出來。圖7八分之一牟合方蓋3.牟合方蓋在球的體積推導(dǎo)過程的應(yīng)用根據(jù)祖暅原理我們知道：若相同高度的截面面積相同，則幾何體的體積相同。對于牟合方蓋的八分之一，我們可以采用“挖補(bǔ)法”：正方體可以看成由八分之一牟合方蓋加上剩下的部分構(gòu)成。我們稱八分之一牟合方蓋為“小牟合底面，下底面為頂點(diǎn)的四棱錐體積相同。在高度為h處，外棋的橫截面（藍(lán)色部分）是一個由大正方形的面積減去小正方形的面積。若正方體的棱長為r,因?yàn)閭?cè)面為四分之一圓弧在側(cè)面使用勾股定理有，小正方形的邊長為r2-h2所以小正方形的面積（紅色區(qū)域）為：r2-h2所以藍(lán)色的面積為：r2-(r2-h2)=h2圖8牟合方蓋的“外棋”對于高度為h處的四棱錐的截面積:在正方體的側(cè)面使用相似三角形,我們可以得到，該四棱錐的截面（黃色部分）為邊長為h的正方形，所以面積為h2圖9正方形的上底面為底面，下底面為頂點(diǎn)的四棱錐rr3

3，所以小牟合方3r蓋的體積等于r3-13r

2=3r

3，所以牟合方蓋的體積8×2r3=3

16r33因?yàn)槟埠戏缴w的體積：球的體積4：π所以球的體積:4.對于牟合方蓋模型的改進(jìn)

4πr33數(shù)學(xué)家劉輝的牟合方蓋構(gòu)造巧妙，理解起來有一定難度。所以在2003版的人教數(shù)學(xué)A版本中并未介紹此模型，而是利用同底同高的圓柱圓錐模型進(jìn)行推導(dǎo)。因?yàn)榕f版教科書中對此進(jìn)行了詳細(xì)的介紹，本文不在贅述，詳見附件一。二、微元法與微積分在球體積上的應(yīng)用1.牟合方蓋背后的數(shù)學(xué)思想：數(shù)學(xué)家劉徽從正方體的等高內(nèi)接圓柱出發(fā)，構(gòu)造出一個與球的體積之比仍舊為4：π的幾何體。雖然沒有求出該幾何體的體積，但是這種類比的數(shù)學(xué)思想是難能可貴的。祖暅原理實(shí)際上就是微元法的一種體現(xiàn)，接下來我們使用微元法接著探究球的體積。2.微元法求球的體積通過將不規(guī)則的幾何體不斷的分成足夠“細(xì)”的幾何體的體積然后累加求為了計(jì)算方便，我們對半球進(jìn)行分割，將最后所得結(jié)果翻倍就可以得到整個球的體積。我們把半徑進(jìn)行n等分，過這些等分點(diǎn)分別做相互平行的平面，把球分割成n個“小圓片”圖10球的分割當(dāng)n→+∞時，小圓片的上下底面面積近似相等，每個“小圓片”近似可看成圓柱。我們選取第iR的高為,下底面的半徑根據(jù)勾股定理有nRRn]2所以該小圓柱體的體積為：Rn

2R])?n=R

[ (π?[ (n 1-

)]i-12)]n所以半球的體積為：V=V1+V2+?+Vi+?+Vn-1+Vnπ?R32=2n2n)]

2[ (n)]

2[ (n)][

(n)]}[π?R3[= n-n

12+22+?+i2+?+(n-2)2+(n-1)2]n2]我們知道：所以：

12+22+?+n2=1n(n+1)(2n+1)6[π?R3[V= n-

[6(n-1)n(n-1)]]

=π?R31-(n-1)(2n-1)1n n21

( 6n2 )圖11“小圓片”近似圓柱當(dāng)n→+∞時:)3((n-1)(2n-)3(6n2 =π?R2)1-6n2)

2π?R3=3所以整個球的體積是上述半球體積的兩倍，體積為4π?R333.微積分公式。那么進(jìn)入立體幾何之后，由此我們不禁思考球的體積又該使用什么積分方法才能得到呢？我們將上述的分割的“小圓片”可以看成是由曲邊梯形以高為軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體。圖12球沿x軸方向的分割圖13曲邊梯形所以積分區(qū)間為[-R,R]。在每一個小區(qū)間[x,x+dx]中，均可以看成以f(x)為底面半徑,根據(jù)勾股定理有：f(x)= R2-x2，dx為高的圓柱。這里的dx是微分符號，不在理解為積分的一個后綴，可以理解成對x的微分。所以積分可以寫成R R R R2∫πf(x)dx=

∫π(R2-x2)

dx=

∫π(R2-x2)dx=2π∫

(R2-x2)dx-R -R

-R∫R∫(R2-x2)dx=xR2-0

01x3|R=03

02R33所以積分結(jié)果為2π?

2R3=3

4πR33三、“求和”與級數(shù)級數(shù)先簡單介紹一下級數(shù)：給定一個數(shù)列{un},對它的各項(xiàng)依次用“+”號連接起來的表達(dá)式u1+u2+?+un+?在差別的，就等比數(shù)列而言，它是一個有限級數(shù)，一般加到到第n項(xiàng)停止下來。對于有限項(xiàng)而言，它的各項(xiàng)之和毫無疑問是一個定值。在微分法中，我們將半球進(jìn)行n等分，然后進(jìn)行近似求和，得到了一個確定的結(jié)果。由此引發(fā)了對無限項(xiàng)的思考，也就是無限項(xiàng)的和是一個怎樣的情況。這就是級數(shù)的斂散性問題。以高中數(shù)學(xué)知識為載體：對于一個等比數(shù)列，有無窮項(xiàng)，它的所有的和是否是確定的；換而言之也就是思考等比級數(shù)的斂散性。對于無限項(xiàng)的和，直覺反應(yīng)是它的和是很大的，不會是一個定值。事實(shí)上就等比級數(shù)而言，它的斂散性取決于公比。例如1+2+4+?+2n+?這個級數(shù)的各項(xiàng)和只會越加越大又例如：0.9+0.09+0.009+?+9×10-n+?這個級數(shù)的各項(xiàng)和只會無限接近1。這個問題屬于數(shù)學(xué)分析學(xué)中的級數(shù)理論，再這只做淺顯的介紹，起到啟蒙作用，這在大學(xué)數(shù)學(xué)中將詳細(xì)介紹。四、總結(jié)本文從中國古代數(shù)學(xué)歷史開始，介紹了古人的智慧，牟合方蓋和祖暅原理無不透露著智慧的結(jié)晶。在微元法的基礎(chǔ)上，我們又再一次利用近代數(shù)學(xué)的成就——微積分解決了球的體積問題。在求和的問題上我們拓展了無限項(xiàng)的問題——級數(shù)?，F(xiàn)在數(shù)學(xué)命題更靈活，更新穎。命題根植于課本，發(fā)散到其他領(lǐng)域。有時也往往以大學(xué)數(shù)學(xué)為引子，對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)進(jìn)行考察。本文最主要的目的就是將書本上一個簡單的祖暅原理進(jìn)行拓展，盡可能的豐富學(xué)生的見識。從整個內(nèi)容來看，數(shù)學(xué)知識得益于數(shù)學(xué)思想的發(fā)展，一個想法的產(chǎn)生往往會推動數(shù)學(xué)的向前發(fā)展。祖暅原理的提出比西方早了一千多年。圓周率的計(jì)算也是領(lǐng)先一千多年?？梢哉f中國古代的數(shù)學(xué)是領(lǐng)先于當(dāng)時世界各國的，但是當(dāng)下數(shù)學(xué)領(lǐng)域的中心已經(jīng)轉(zhuǎn)移到了西方。所以數(shù)學(xué)領(lǐng)域要想重振輝煌需要我們教育工作者多讓學(xué)生思考，一些奇思妙想，天馬行空的想法往往就是推動數(shù)學(xué)的向前發(fā)展。參考文獻(xiàn)[1]朱亞萍,馬晟.基于歷史發(fā)生原理的高中數(shù)學(xué)學(xué)科育人教學(xué)實(shí)踐探索——以“球的體積”為例[J].湖北工程學(xué)院學(xué)報(bào),2022,42(03):74-80.[2]張瑤,王保紅.略論數(shù)學(xué)教師專業(yè)素養(yǎng)提升——以球體積公式的推導(dǎo)為例[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2021(24):44-47.[3]于子杰.基于Geogebra的球體積公式可視化探究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2021(29):142-145.[4]李習(xí)凡,朱勝強(qiáng).類比思想引路，數(shù)學(xué)軟件輔助——“球的表面積和體積公式”的探究教學(xué)[J].教育研究與評論(中學(xué)教育教學(xué)),2021(08):90-92.[5]梅穎穎.“球的體積和表面積”教學(xué)設(shè)計(jì)[J].中國數(shù)學(xué)教育,2021(08):43-47+49.積和表面積”的點(diǎn)評[J].中國數(shù)學(xué)教育,2021(08):48-49.[7]林佳樂,徐慶惠.“球的體積公式及其應(yīng)用”的教學(xué)設(shè)計(jì)、實(shí)踐與反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(華南師范大學(xué)版),2021(06):15-19.[8]楊新鵬,董蓉艷.利用祖原理推導(dǎo)球的體積公式的教學(xué)設(shè)計(jì)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2021(06):46-47.[9]胡愛芬.HPM視角下球體積公式的研究性學(xué)習(xí)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2020(22):52-54.[10]張樂瑛.HPM視角下球體積公式推導(dǎo)的教學(xué)設(shè)計(jì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2019(13):7-9.[11]何嗣澎,鄭勝.圓面積與球體積的統(tǒng)一探討[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2019(09):142.[12]張劍平.核心素養(yǎng)視域下的高效課堂建設(shè)——以球的表面積、體積公式為例[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2019(08):84.[13]齊丹丹.HPM視角下球體積公式的教學(xué)[D].華東師范大學(xué),2018.[14]孫鋆.數(shù)學(xué)文化下的球體