九年級數(shù)學(xué)（北師大版）上冊課件-【第3課時(shí) 矩形的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用】

矩形的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用1北師版九年級上冊創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課矩形的定義矩形判定定理矩形判定定理有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.有一個(gè)角是直角的平行四邊形.對角線相等的平行四邊形是矩形.如圖，矩形ABCD

的兩條對角線相交于點(diǎn)O，已知∠AOD=120°，AB=2.5cm，則∠DAO=______，AC=______cm，30°5

如圖，四邊形

ABCD

是平行四邊形，添加一個(gè)條件__________________，可使它成為矩形?！螦BC=90°或AC=BD探究新知，經(jīng)歷過程

例3

如圖，在矩形ABCD

中，AD=6，對角線AC與BD

交于點(diǎn)O，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE.求AE

的長.解∵四邊形

ABCD是矩形，∴∠BAD=90°（矩形的四個(gè)都是直角），AC=BD（矩形的對角線相等）AO=CO=AC，BO=DO=BD（矩形的對角線互相平分）.∴AO=BO=DO=BD.∵ED=3BE，∴BE=OE，又∵AE⊥BD，∴AB=AO.∴AB=AO=BO，即△ABO是等邊三角形.∴∠ABO=60°.∴∠ADB=90°-∠ABO=90°-60°=30°.∴AE=AD=×6=3.

例4

如圖，在△ABC中，AB=AC，AD為∠BAC的平分線，AN為△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E.求證：四邊形ADCE是矩形.證明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，∴∠CAD=∠BAC，∠CAN=∠CAM.∴∠DAE=∠CAD+∠CAN=（∠BAC+∠CAM）

=×180°=90°.在△ABC中，∵AB=AC，AD為∠BAC的平分線，∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°.又∵CE⊥AN，∴∠CEA=90°.∴四邊形ADCE為矩形（有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形）.想一想在例題4中，若連接DE，交AC于點(diǎn)F.（1）試判斷四邊形ABDE的形狀，并證明你的結(jié)論.四邊形ABDE

是平行四邊形，證明：∵△ABC是等腰三角形且AD⊥BC，∴BD=CD,又∵ADCE是矩形，∴AE=CD，AE∥CD，∴BD=AE,BD∥AE,∴四邊形ABDE是平行四邊形.想一想在例題4中，若連接DE，交AC于點(diǎn)F.（2）線段DF與AB有怎樣的關(guān)系？請證明你的結(jié)論.DF∥AB，DF=AB.證明：四邊形ABDE是平行四邊形，∴AC=DE,∴DF=AC.又∵AB=AC，∴DF=AB.∴DF∥AB.∵四邊形ABDE是平行四邊形.已知：如圖，四邊形ABCD由兩個(gè)全等的等邊三角形ABD

和CBD

組成，M，N

分別是BC

和AD

的中點(diǎn).求證：四邊形BMDN是矩形.【選自教材P18隨堂練習(xí)】鞏固練習(xí)，深化提高證明:∵△ABD≌△CBD,且△ABD

，△CBD

為等邊三角形，M

，N

分別為BC，AD

中點(diǎn)，∴MD⊥BC，BN⊥AD,∠DMB＝90°,∠DNB

＝90°,∠DBM

＝60°,∠DBN

＝30°,即∠NBM

＝90°,得證四邊形BMDN

是矩形．【選自教材P18習(xí)題1.6第1題】2.如圖，在矩形ABCD

中，對角線AC

與BD相交于點(diǎn)O，

∠ACB=30°，BD=4，求矩形ABCD

的面積.解:∵∠ACB＝30°,AC＝BD

＝4，∴AB＝2，BC＝．∴S矩形ABCD

＝AB·BC＝．【選自教材P19習(xí)題1.6第2題】3.如圖，在矩形ABCD

中，對角線AC

與BD相交于點(diǎn)O，

過點(diǎn)A

作BD的垂線，垂足為E.已知∠EAD=3∠BAE，求∠EAO

的度數(shù).解:由題意,可得∠EAD

＝×90°＝67.5°．∵AE⊥BD，∴∠BAE＝90°－∠EAD

＝∠ADE．∴∠ADE＝∠DAO＝22.5°,則∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°．4.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，D為

BC的中點(diǎn)，四邊形ABDE

是平行四邊形.求證：四邊形ADCE

是矩形.【選自教材P19習(xí)題1.6第3題】證明:在△ABC

中,AB＝AC,D

為BC

的中點(diǎn),∴∠ADC＝90°,BD

＝CD

．又∵四邊形ABDE

是平行四邊形,∴BD

AE,則CD

AE．∴四邊形ADCE

為平行四邊形．又∵∠ADC＝90°,∴四邊形ADCE為矩形．∥=∥=5.如圖，在矩形紙片ABCD

中，AB=6cm，BC=8cm，

將矩形紙片折疊，使點(diǎn)C

與點(diǎn)A

重合.請?jiān)趫D中畫出

折痕的長.【選自教材P19習(xí)題1.6第4題】解:如圖,連接EC．在矩形ABCD

中,AB

＝6cm,BC＝8cm,∴AC

＝10cm,∴AO＝CO＝5cm．易證Rt△AOE≌Rt△COE,AE

＝EC．由勾股定理,得ED2＋DC2＝EC2＝AE2,得EC＝cm．∴OE＝cm,折痕長EF＝2OE＝7.5cm．6.如圖，在矩形紙片ABCD

中，AB=3，AD=4，P

是AD

上不與A

與D

重合的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作AC

和BD

的垂線，垂足為E，F(xiàn).求PE+PF

的值.【選自教材P19習(xí)題1.6第5題】解:如圖,連接PO．在矩形ABCD中,AB＝3,AD

＝4,∴AC＝BD

＝5,OA

＝OD

＝．又∵S△AOD

＝S△APO＋S△DPO

＝