近世代數(shù)考題整理

、二、(45分)單項(xiàng)選擇題和填空題的知識(shí)點(diǎn):任何有限群G的子群H的階數(shù)是G階數(shù)的因子任何素?cái)?shù)階數(shù)的群是循環(huán)群，而循環(huán)群是交換群群的定義是什么？給出一些集合和集合上的運(yùn)算，能判斷集合關(guān)于運(yùn)算是不是群。P31-32第一定義：一個(gè)不空集合G對于一個(gè)叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來說作成一個(gè)群G對于這個(gè)乘法來說是閉的結(jié)合律成立a(bc)=(ab)c，對于G的任意三個(gè)元a,b,c都對對于G的任意兩個(gè)元a,b來說，方程ax=b和ya=b都在G里有解第二定義：一個(gè)不空集合G對于一個(gè)叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來說作成一個(gè)群G對于這個(gè)乘法來說是閉的結(jié)合律成立a(bc)=(ab)c，對于G的任意三個(gè)元a,b,c都對G里至少存在一個(gè)左單位元e，能讓ea=a，對于G的任何元a都成立對于G的每一個(gè)元a，在G里至少存在一個(gè)左逆元a-1，能讓a-1a=e什么是一個(gè)群G的生成元，給出一個(gè)子集合會(huì)判斷該子集是不是子群若一個(gè)群G的每一個(gè)元都是G的某一個(gè)固定元a的乘方，我們就把G叫做循環(huán)群，也說G是由a所生成，并且用符號(hào)G=(a)來表示，a叫做G的一個(gè)生成元P63什么叫做結(jié)合律？給出一個(gè)集合和集合上的運(yùn)算，會(huì)判斷該運(yùn)算是不是可結(jié)合的。一個(gè)集合A的代數(shù)運(yùn)算o適合結(jié)合律，對于A的任意三個(gè)元a,b,c來說，都有(aob)oc=ao(boc)已知群G的元素a的階是n,那么am的階是。(n,m)環(huán)、整環(huán)、除環(huán)、域的定義。環(huán)：一個(gè)集合R叫做環(huán)R是一個(gè)加群，R對于一個(gè)叫做加法的代數(shù)運(yùn)算來說作成一個(gè)交換群R對于另一個(gè)乘法的代數(shù)運(yùn)算來說是閉的這個(gè)乘法適合結(jié)合律：a(bc)=(ab)c，不管a,b,c是R的哪三個(gè)元兩個(gè)分配律都成立a(b+c)=ab+ac，(b+c)a=ba+ca，不管a,b,c是R的哪三個(gè)元整環(huán)：一個(gè)環(huán)R叫做整環(huán)，假如(1)乘法適合交換律ab=ba(2)R有單位元1：1a=a1=aR沒有零因子：ab=0->a=0或b=0a,b可以是R的任意元，整數(shù)環(huán)是整環(huán)除環(huán)：一個(gè)環(huán)R叫做一個(gè)除環(huán)R至少包含一個(gè)不等于零的元R有一個(gè)單位元R的每一個(gè)不等于零的元有一個(gè)逆元域：一個(gè)交換除環(huán)叫做一個(gè)域一個(gè)除環(huán)沒有零因子。一個(gè)除環(huán)R的不等于零的元對于乘法來說作成一個(gè)群R*什么是單位元，什么是一個(gè)元的逆元素，單位元和一個(gè)元素的逆元素唯一嗎？單位元：一個(gè)環(huán)R的一個(gè)元e叫做一個(gè)單位元。唯一的單位元逆元：一個(gè)有單位元環(huán)的一個(gè)元叫做元a的一個(gè)逆元唯一的逆元8、什么是單位元，什么是…個(gè)元的逆元素，單位元和…個(gè)元素的逆元素唯…嗎？【定義】-個(gè)群G的唯-的能使心鹿"(口是G的任意元)的元￡叫做群G的單位無【定義】曝一的能使"口=皿的元/叫做元燈的逆元(有時(shí)簡稱逆人單位元和一個(gè)元素的逆元素足唯一的"什么叫做一個(gè)群的左、右陪集，有限群的左、右陪集的個(gè)數(shù)是什么關(guān)系？群的左陪集：a~'b,當(dāng)而且只當(dāng)bA(-i)aeH,由這個(gè)等價(jià)關(guān)系~'所決定的類叫做子群H的左陪集，用符號(hào)aH表示；群的右陪集：右陪集：a~b,當(dāng)而且只當(dāng)abA(-1)^H,由這個(gè)等價(jià)關(guān)系~所決定的類叫做子群H的右陪集，用符號(hào)Ha表示；有限群的左右陪集的個(gè)數(shù)相等9.什么叫融一個(gè)群的左、右陪年.有限捽購左、右陪集的個(gè)數(shù)是什么關(guān)乘？由等價(jià)關(guān)丟?所決定的類叫做子計(jì)廳的右陪集。包含元衛(wèi)的右陪旅用符號(hào)屜來卷示.hJr'dEH.Ha為右陪集°由等價(jià)關(guān)系」所決定的類叫他子群丹的左陪集.包含元口的左陪集用捋號(hào)然H來證示°廿?佔(zhàn)' 、aH為左陪集.左陪集和右陪集牛數(shù)相鋅。環(huán)無零因子是什么意思？一個(gè)沒有零因子的環(huán)R,里面所有不等于零的元對于加法來說的階都是一樣的無零因子的特征是什么意思？一個(gè)無零因子環(huán)R的非零元的相同的階叫做環(huán)R的特征有限群G的任何元素的階數(shù)都是G階數(shù)的因子。集合的直積是怎么定義的。設(shè)A、B是任意兩個(gè)集合，在集合A中任意取一個(gè)元素x，在集合B中任意取一個(gè)元素y,組成一個(gè)有序?qū)?x,y),把這樣的有序?qū)ψ鳛樾碌脑?，他們的全體組成的集合稱為集合A和集合B的直積，記為AXB,即AXB={(X,y)|x$A且y^B}。循環(huán)群的子群是循環(huán)群嗎？是一個(gè)集合可以和其真子集建立一一對應(yīng)嗎?不可以三、問答題知識(shí)點(diǎn)(25分)正規(guī)子群,舉例說明一個(gè)群G的一個(gè)子群H叫做一個(gè)不變子群(正規(guī)子群)，假如對于G的每一個(gè)元a來說,都有Na=aN(p70)例子：一個(gè)任意群G的子群G和e總是不變子群，因?yàn)閷τ谌我釭的元a來說，Ga=aG=G,ea=ae=a循環(huán)群,舉例說明若一個(gè)群G的每一個(gè)元都是G的某一個(gè)固定元a的乘方，我們就把G叫做循環(huán)群；我們也說G是由元a所生成的。并且用符號(hào)G(a)來表示。A叫做G的一個(gè)生成元。舉例:任意素?cái)?shù)階數(shù)的群是循環(huán)群。有限域,舉例說明一個(gè)只含有限個(gè)元素的域叫做一個(gè)有限域。例子：特征是p的素域就是一個(gè)有限域。5.群的左、右陪集，舉例說明假設(shè)一個(gè)群G和它的一個(gè)子群H,規(guī)定G的元a,b中間關(guān)系~：右陪集：a~b,當(dāng)而且只當(dāng)abA(-l)EH,由這個(gè)等價(jià)關(guān)系~所決定的類叫做子群H的右陪集，用符號(hào)Ha表示；左陪集：a~'b,當(dāng)而且只當(dāng)bY-1)aWH,由這個(gè)等價(jià)關(guān)系~'所決定的類叫做子群H的左陪集，用符號(hào)aH表示；例如：G={(1),(12),(13),(23),(132),(123)}；H={(1),(12)}；子群H把群G分成了H(1)={(1),(12)}H(13)={(13),(123)}H(23)={(23),(132)}三個(gè)右陪集；子群H把群G分成了(1)H={(1),(12)}(13)H={(13),(123)}(23)H={(23),(132)}三個(gè)左陪集；原根，舉例說明設(shè)Ovavp，使得素?cái)?shù)Z的乘法群Z*=<a>，這樣的正整數(shù)a稱為模p的一個(gè)原根。舉例：設(shè)p=41，貝川Zp*|=40=2八3*5,故a是模41的原根的充要條件是aA8^1,GA20H1。p由于1A8=1,2A20=1,3A8=1,4A20=1,5A20=1。但是6A8=10H1, 6A20=40H1。故6是模41的最小原根，Z41*=<6>。等價(jià)關(guān)系，舉例說明集合A的元間的一個(gè)關(guān)系~叫做一個(gè)等價(jià)關(guān)系，假如~滿足以下規(guī)律：I反射律：a?a，不管a是A的哪一個(gè)元II對稱律：a?b—b?aIlla?b,b?c—a?c若a?b，我們說a與b等價(jià)。舉例：“等于”是滿足這個(gè)等價(jià)關(guān)系的系統(tǒng)同態(tài)，舉例說明（找不到）檢錯(cuò)和糾錯(cuò)（找不到）理想和商環(huán)理想：環(huán)R的一個(gè)非空子集U叫做一個(gè)理想子環(huán)，簡稱理想，假如Ia,b^p=>a-b^pIlaUp,r$R=>ra,ar$p商環(huán)：設(shè)R是一個(gè)環(huán)，I是環(huán)R的一個(gè)理想。由于I是環(huán)R的加群的正規(guī)子群，（R/I,+）是交換群，其中R/I={a+l|aUR}o定義R/I上的乘法“?”如下：（a+I）?（b+I）=ab+I,任意a，bUR?？梢钥闯觯≧/I，+，?）是一個(gè)環(huán)。我們就將這個(gè)環(huán)（R/I,+，?）稱為環(huán)R關(guān)于理想I的商環(huán)四、證明題知識(shí)點(diǎn)（30分）1.lagrange定理。P.69（定理2）證明過程：G的階N是有限的，H的階n和指數(shù)j也都是有限正整數(shù)。G的N個(gè)元被分成j個(gè)右陪集，而且根據(jù)引理：一個(gè)子群H與H的每一個(gè)右陪集Ha之間都存在一個(gè)一一映射，每一個(gè)右陪集都有n個(gè)元，所以N=nj。例1. P.94證明過程：例1我們看一個(gè)模是索數(shù)）的剩余類環(huán)黑我們說材]是-亍域. I我們只須證明尸的不等于零的元作成一個(gè)乘群FJ因?yàn)槌朔ㄟm合結(jié)合律，而尸又是一牛有限集合，F(xiàn)?作成乘群的條件是：【尸?對于乘法來說是閉的，1\消去律成立，但】?由于戶是素?cái)?shù)、p\p\ ab這就是說*[毎]H[o]?[占]誕Co]=>「誼1[刃=[起占]換詢話說.[QN⑷CF8[小[幻￡尸■J p\ax—a^—a（北一丘）*p\a=>p\jc^^這就是說*SG [d]=A[0]=>[幻換一旬話說*Ml>]=0][H],R]EF=R]=[>?一這樣，F(xiàn)：杲坐是一牛乘群*而F是_個(gè)域.定理1p.72證明過程：定理1一個(gè)群G的一個(gè)子群N是一個(gè)不變子群的充分而且必要條件是；aNa^v=N對于G的任意一個(gè)元a都對證明假如N是不變子群*那么對于&的任何逢來說，aN=Na這樣*aNa^^（aN）a^=（Na） ^Ne^N假如對于G的任何屛來說，qNL=N那么Na=（aND應(yīng)=（辺）（U=〔冊）毛=少N是不變子群”證完. 、亠，定理p.88定理在一個(gè)沒有零因子的環(huán)里兩個(gè)消去律都成立：aHO,ab=acdb=caHO.ba=ca*b=c反過來，在一個(gè)環(huán)里如果有一個(gè)消去律成立，那么這個(gè)環(huán)沒有零