解答題專項提分計劃四川省2023屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題13極坐標(biāo)與參數(shù)方程含解析

Page1極坐標(biāo)與參數(shù)方程1．（四川省廣安市2022-2023學(xué)年高三第一次診斷性考試數(shù)學(xué)（理）試題）在直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為，直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，．(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)若，求直線l的斜率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)直角的轉(zhuǎn)化，運(yùn)算求解；（2）聯(lián)立直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算求解.【詳解】（1）∵，則，∴，即，故曲線C的直角坐標(biāo)方程為.（2）將直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）代入曲線C的直角坐標(biāo)方程為，得，整理得，設(shè)A，B兩點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)為，則，∵，則，聯(lián)立，解得，將代入得，解得，故直線l的斜率為.2．（四川省南充高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第4次模擬測試數(shù)學(xué)理科試題）在直角坐標(biāo)系中，圓，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求的極坐標(biāo)方程；(2)若直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)，的交點(diǎn)為，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用得到的極坐標(biāo)方程；（2）方法一：代入，得到或，求出，利用垂徑定理求出高，從而求出面積；方法二：化為直角坐標(biāo)方程為，求出圓心到直線的距離，利用垂徑定理得到的長，從而求出面積.【詳解】（1）已知圓，得，因?yàn)椋詾閳A的極坐標(biāo)方程．（2）方法一：代入，可得，解得或，∴，又因?yàn)榘霃?，則，∴；方法二：直線：化為直角坐標(biāo)方程為，圓心到直線的距離，由半徑∴，∴.3．（四川省達(dá)州市2022屆高三第二次診斷性測試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.(1)寫出曲線C與直線l的普通方程；(2)設(shè)當(dāng)時l上的點(diǎn)為M﹐點(diǎn)N在曲線C上.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求線段中點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程.【答案】(1)；；(2).【分析】（1）消去參數(shù)即得；（2）由題可得，設(shè)，，進(jìn)而可得點(diǎn)P的軌跡方程為，再利用公式即得.【詳解】（1）∵曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），∴曲線C的普通方程為，∵直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）∴直線l的普通方程為；（2）由題可知，設(shè)，，則，即所以可得點(diǎn)P的軌跡方程為，即，∴，令，∴點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程為.4．（四川省成都市高新區(qū)2023屆高三一診模擬理科數(shù)學(xué)試題）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為(1)求曲線C的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；(2)若點(diǎn)，直線與曲線C的交點(diǎn)為M，N，求的值.【答案】(1)曲線的普通方程為；直線的直角坐標(biāo)方程為(2)【分析】（1）利用消參法求曲線的普通方程，根據(jù)求直線的直角坐標(biāo)方程；（2）根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算求解.【詳解】（1）∵曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)可得：，∴曲線的普通方程為，又∵直線的極坐標(biāo)方程為，且，∴直線的直角坐標(biāo)方程為綜上所述：曲線的普通方程為；直線的直角坐標(biāo)方程為.（2）由（1）可知：直線的直角坐標(biāo)方程為，即直線過點(diǎn)，斜率為，傾斜角為，則可設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將代入整理得：，設(shè)點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為，判別式恒成立，可得：，即，∴.5．（四川省宜賓市2023屆高三上學(xué)期第一次診斷性數(shù)學(xué)（理）數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求曲線的普通方程和極坐標(biāo)方程；(2)在平面直角坐標(biāo)中，若過點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線交于兩點(diǎn)，求證：成等差數(shù)列．【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）利用消參法求曲線的普通方程，并注意y的取值范圍，再利用求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）先求直線l的參數(shù)方程，根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義運(yùn)算求解.【詳解】（1）由得，代入整理得，即，∵，則，，故曲線的普通方程為，又∵，則，整理得曲線的極坐標(biāo)方程為（2）由題意可得：直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入，整理得，∴，，則，即，∴成等差數(shù)列6．（四川省綿陽市2023屆高三上學(xué)期第一次診斷性考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）在直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．(1)判斷直線和圓的位置關(guān)系，并說明理由；(2)設(shè)是圓上一動點(diǎn)，，若點(diǎn)到直線的距離為，求的值．【答案】(1)直線和圓C相離；理由見解析(2)【分析】（1）把直線方程和圓的方程都化為普通方程，利用圓心到直線距離判斷直線與圓的位置關(guān)系.（2）用參數(shù)方程表示點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線距離求值，再計算向量坐標(biāo)和向量數(shù)量積.【詳解】（1）圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消參得圓C的普通方程為，圓心坐標(biāo)為，半徑為3．直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消參得直線的普通方程為．∵圓心C到直線的距離，∴直線和圓C相離．（2）設(shè)，由點(diǎn)到直線的距離：，∴，則．∴，則，

∴，

，∴．7．（四川省甘孜州2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量統(tǒng)一監(jiān)測期末統(tǒng)考數(shù)學(xué)（文）試題）在直角坐標(biāo)系?中，直線?的參數(shù)方程為?(?為參數(shù))，在以?為極點(diǎn)，?軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線?的極坐標(biāo)方程為?(1)求直線?的普通方程與曲線?的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線?與?軸的交點(diǎn)為?，直線?與曲線?的交點(diǎn)為?，求?的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由消參，可將參數(shù)方程化為普通方程，由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的互化可將極坐標(biāo)方程化為普通方程，（2）根據(jù)直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義即可求弦長.（1）直線?的參數(shù)方程為?，曲線?的極坐標(biāo)方程為?，，?即?，曲線?的直角坐標(biāo)方程?，（2）將直線?的參數(shù)方程為?代入?，得到??故8．（四川省成都市溫江區(qū)2022屆高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)（文）試題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為常數(shù)且），在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為：．(1)求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；(2)點(diǎn)，直線與曲線交于兩點(diǎn)，若，求直線的斜率．【答案】(1)；(2)±1【分析】（1）消參可以把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，可將極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程.（2）根據(jù)直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程的幾何意義以及韋達(dá)定理即可求解，進(jìn)而可求.【詳解】（1），；（2）將代入得，，因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，故在點(diǎn)兩側(cè)，由題意知，，因此，即，故，解得，進(jìn)而因此斜率為±1．9．（四川省南充高級中學(xué)2023屆高考模擬檢測七文科數(shù)學(xué)試題）在直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為(為直線的傾斜角)．(1)求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程;(2)設(shè)，直線與曲線相交于兩點(diǎn)，求的最大值．【答案】(1)；；(2)2【分析】（1）利用與正弦的和差公式可求得直線的直角坐標(biāo)方程；利用消參法可求得曲線的普通方程；（2）法一：先由條件得到直線的參數(shù)方程，再聯(lián)立直線與曲線的方程，利用參數(shù)的幾何意義得到，從而得解；法二：利用圓的切割線定理得到，從而得到，由此得解.【詳解】（1）由，得，由，得直線的直角坐標(biāo)方程為，由(為參數(shù))，兩式相除得，所以，整理得曲線的普通方程為.（2）法一：因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，所以直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，代入中，得，由，得，又，故，所以，所以，因?yàn)椋?，故，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最大值為2.法二：直線經(jīng)過點(diǎn)，曲線為除點(diǎn)外，以為圓心半徑為的圓，易得圓心到直線的距離為，所以直線與圓相切，且為切點(diǎn)，所以由圓的切割線定理得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)為圓的直徑時，等號成立，故的最大值為2．10．（四川省營山縣第二中學(xué)2023屆高三第六次高考模擬檢測數(shù)學(xué)（文科）試題）在直角坐標(biāo)系中，曲線的方程為，曲線的方程為以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為(1)求曲線，的極坐標(biāo)方程；(2)若，直線與曲線交于，兩點(diǎn)，與曲線的一個交點(diǎn)為點(diǎn)，且，求的值【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)曲線的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式，即可求解；（2）將代入曲線的極坐標(biāo)方程，得，將代入曲線的極坐標(biāo)方程，得到韋達(dá)定理，并表示，即可求.【詳解】（1）由，得，所以曲線的極坐標(biāo)方程為由，得，即，此即曲線的極坐標(biāo)方程；（2）將代入（），得將代入，得，設(shè)對應(yīng)的參數(shù)分別是，則，，所以，解得：11．（四川省涼山州2023屆高三第一次診斷性檢測數(shù)學(xué)（理）試題）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．(1)求直線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程；(2)是曲線上的點(diǎn)，求到距離的最大值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用三角函數(shù)公式和極坐標(biāo)公式，代入?yún)?shù)方程即可得到直線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程（2）根據(jù)是曲線上的點(diǎn)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出點(diǎn)到直線的距離的表達(dá)式，求出取值范圍，即可得到到距離的最大值.【詳解】（1）由題意在中，，將代入上式得：，即直線的直角坐標(biāo)方程為：，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），∴，且，則曲線的普通方程為：．（2）由題意及（1）得，在中，是曲線上的點(diǎn)，設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離．∵，∴，∴，∴到距離的最大值為.12．（四川省攀枝花市第七高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第四次診斷考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）已知半圓C的參數(shù)方程為，其中為參數(shù)，且．(1)在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求半圓C的極坐標(biāo)方程；(2)在（1）的條件下，設(shè)T是半圓C上的一點(diǎn)，且，試寫出T點(diǎn)的極坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)．【分析】（1）把參數(shù)方程化為普通方程，得出圓心與半徑，然后直接根據(jù)圓的極坐標(biāo)方程寫出結(jié)論；（2）在（1）的極坐標(biāo)方程中由求得極角后可得點(diǎn)的極坐標(biāo)．【詳解】（1）根據(jù)半圓C的參數(shù)方程，其中為參數(shù)，且，得圓的普通方程為：，所以，半圓C的極坐標(biāo)方程為：，．（2）因?yàn)?，所以令，，則解得．故點(diǎn)T的極坐標(biāo)為．13．（四川省成都市2023屆高三第一次診斷性檢測數(shù)學(xué)（文科）試題）在直角坐標(biāo)系中，圓心為的圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．(1)求圓的極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)在曲線上，且滿足，求點(diǎn)的極徑．【答案】(1)(2)1或【分析】（1）根據(jù)參數(shù)方程，直角坐標(biāo)方程，極坐標(biāo)方之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系即可求解；（2）根據(jù)極坐標(biāo)方程和余弦定理以及一元二次方程即可求解.【詳解】（1）由圓的參數(shù)方程消去參數(shù)，得圓的普通方程為，圓心．把代入，化簡得圓的極坐標(biāo)方程為．（2）由題意，在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)．點(diǎn)在曲線上，設(shè)．在中，由余弦定理有，即．化簡得．解得或．故或．點(diǎn)的極徑為1或．14．（四川省攀枝花市2023屆高三第二次統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)曲線與曲線交于P、Q兩點(diǎn)，求的值．【答案】(1)曲線的極坐標(biāo)方程為；即曲線的直角坐標(biāo)方程為(2)2【分析】（1）通過消參求得曲線的普通方程，再將普通方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，將曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程；(2)利用極徑的幾何意義求解.【詳解】（1）∵,則，∵，曲線的極坐標(biāo)方程為；由，得，即曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）由得，①由得，②可得，即設(shè)P，Q兩點(diǎn)所對應(yīng)的極徑分別為，則，∴.15．（四川省綿陽市2023屆高三上學(xué)期第二次診斷性測試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）在極坐標(biāo)系中，若點(diǎn)為曲線上一動點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，且滿足，記動點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的極坐標(biāo)方程；(2)若過極點(diǎn)的直線交曲線和曲線分別于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，求的最大值．【答案】(1)或（或）(2)【分析】（1）當(dāng)在線段上時，可確定或；當(dāng)不在線段上時，設(shè)，采用相關(guān)點(diǎn)法可求得設(shè)點(diǎn)軌跡；綜合兩種情況可得結(jié)論；（2）當(dāng)時，重合，不合題意；當(dāng)，設(shè)，與曲線和曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)立可得，由此用表示出，結(jié)合正弦型函數(shù)值域求法和的單調(diào)性可求得最大值.【詳解】（1）當(dāng)在線段上時，由得：或；當(dāng)不在線段上時，設(shè)，則，，，即，又，；綜上所述：曲線的極坐標(biāo)方程為或（或）.（2）若曲線為（或），此時重合，不合題意；若曲線為，設(shè)，由得：，由得：，是中點(diǎn)，，令，，，，即，又在上單調(diào)遞增，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），即，的最大值為.16．（四川省內(nèi)江市2023屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）在直角坐標(biāo)系中，已知曲線（為參數(shù)）.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；(2)求曲線與直線交點(diǎn)的極坐標(biāo).【答案】(1)曲線；直線(2)和【分析】（1）根據(jù)參數(shù)方程與普通方程、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化原則直接求解即可；（2）聯(lián)立曲線與直線的直角坐標(biāo)方程，可求得交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化的方法可求得極坐標(biāo).【詳解】（1）由得：，即曲線的普通方程為；由得：，則，即直線的直角坐標(biāo)方程為.（2）由得：或，即曲線與直線交點(diǎn)為和，曲線與直線交點(diǎn)的極坐標(biāo)為和.17．（四川省資陽市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第一次診斷考試數(shù)學(xué)（理）試題）下圖所示形如花瓣的曲線稱為四葉玫瑰線，并在極坐標(biāo)系中，其極坐標(biāo)方程為．(1)若射線：與相交于異于極點(diǎn)的點(diǎn)，與極軸的交點(diǎn)為，求；(2)若，為上的兩點(diǎn)，且，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知得到、兩點(diǎn)的極坐標(biāo)，代入距離公式即可；（2）設(shè)，，根據(jù)極坐標(biāo)方程求出、，將三角形面積表示為的三角函數(shù)，根據(jù)三角恒等變換求三角函數(shù)的最大值.【詳解】（1）將代入方程，得，，則的極坐標(biāo)為.又與極軸的交點(diǎn)為的極坐標(biāo)為.則.（2）不妨設(shè)，，則，所以，的面積所以，當(dāng)，即時，.所以，面積最大值為.18．（四川省南江中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月階段考試數(shù)學(xué)（文）試題）已知曲線C：和直線l：（t為參數(shù)）．(1)求曲線C的參數(shù)方程和直線l的普通方程；(2)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與直線l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求的最大值與最小值．【答案】(1)曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；直線l的普通方程為；(2)最大值為，最小值為．【分析】（1）令，即可得到橢圓的參數(shù)方程；消去，即可得到直線的普通方程；（2）根據(jù)參數(shù)方程，表示出點(diǎn)到直線的距離，再表示出，根據(jù)輔助角公式，即可求出的最值.【詳解】（1）令，可得曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．根據(jù)消去可得，直線l的普通方程為．（2）曲線C上任意一點(diǎn)到直線l：的距離為，其中，且為銳角．過點(diǎn)作，垂足為，則，.在中，，其中，且為銳角．當(dāng)時，取得最大值為．當(dāng)時，取得最小值為．19．（四川省瀘州市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試數(shù)學(xué)（理）試題）以等邊三角形的每個頂點(diǎn)為圓心，以其邊長為半徑，在另兩個頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形被稱為勒洛三角形．如圖，在極坐標(biāo)系中，曲邊三角形為勒洛三角形，且．以極點(diǎn)O為直角坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系．(1)求的極坐標(biāo)方程；(2)若曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），求曲線C與交點(diǎn)的極坐標(biāo)．【答案】(1)；(2).【分析】（1）求得的直角坐標(biāo)方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程即可；（2）求得曲線的普通方程，結(jié)合的直角坐標(biāo)方程，求得交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)即可.【詳解】（1）對點(diǎn)，設(shè)其直角坐標(biāo)為，則，即其直角坐標(biāo)為，故在直角坐標(biāo)系下的方程為：，由可得：，故的極坐標(biāo)方程為：.（2）由題可得曲線的普通方程為：，聯(lián)立，可得，解得或，又，故，則，即曲線C與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，設(shè)其極坐標(biāo)為，則，，即曲線C與交點(diǎn)的極坐標(biāo)為.20．（四川省成都市第七中學(xué)2023屆高三上學(xué)期零診模擬檢測理科數(shù)學(xué)試題）在直角坐標(biāo)系中，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為：(t為參數(shù))，在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為．(1)求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線與曲線交于兩點(diǎn)，且，求直線的傾斜角．【答案】(1)當(dāng)時，直線的普通方程為；當(dāng)時，直線的普通方程為；(2)或【分析】（1）因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），討論和時，消去參數(shù)，即可求出直線的普通方程，因?yàn)?，即可求出曲線的直角坐標(biāo)方程.（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的方程整理，．因?yàn)椋稍O(shè)該方程的兩個根為，所以，代入即可求出直線的傾斜角.【詳解】（1）因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），當(dāng)時，直線的普通方程為．當(dāng)時，直線的普通方程為．因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以．所以的直角坐?biāo)方程為．（2）曲線的直角坐標(biāo)方程為，將直線的參數(shù)方程代入曲線的方程整理，得．因?yàn)?，可設(shè)該方程的兩個根為，則，．所以．整理得，故．因?yàn)?，所以或，解得或或，綜上所述，直線的傾斜角為或．21．（四川省成都市第二十中學(xué)校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期一診模擬考試（二）數(shù)學(xué)試題）擺線是數(shù)學(xué)中眾多迷人曲線之一，一個圓沿一直線緩慢地滾動，則圓上一固定點(diǎn)所經(jīng)過的軌跡稱為擺線．在直角坐標(biāo)系中，擺線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），當(dāng)時，擺線上的對應(yīng)點(diǎn)為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線：與曲線交于，兩點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的極坐標(biāo)和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)請寫出直線的一個參數(shù)方程．【答案】(1)，曲線的直角坐標(biāo)方程(2)，其中為參數(shù)，【分析】（1）根據(jù)參數(shù)方程可將代入得直角坐標(biāo)，進(jìn)而可得極坐標(biāo)，根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)方程之間的互化，即可求解，（2）聯(lián)立直線方程和曲線方程，即可得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)可得直線方程，進(jìn)而根據(jù)直線的普通方程即可求解參數(shù)方程.【詳解】（1）的參數(shù)方程為（為參數(shù)），當(dāng)時，,因此點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,所以極坐標(biāo)為，曲線的極坐標(biāo)方程為，所以，所以曲線的直角坐標(biāo)方程（2）曲線：的直角坐標(biāo)方程為，將代入得，解得，，將代入中得，所以點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，由于直線斜率的倒數(shù)為，所以直線的方程為，所以令，則，所以直線的一個參數(shù)方程為，其中為參數(shù)，22．（四川省綿陽市南山中學(xué)2022-2023學(xué)年高三二診熱身考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）在直角坐標(biāo)系中，曲線的方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，若的中點(diǎn)的軌跡為曲線，求的極坐標(biāo)方程；(2)若點(diǎn)分別是曲線和上的點(diǎn)，且，判斷是否為定值，若是求出定值，若不是說明理由.【答案】(1)(2)是定值，定值為16【分析】（1）先求出的極坐標(biāo)方程，然后根據(jù)是的中點(diǎn)求得的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)，結(jié)合以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系證得是定值.【詳解】（1）∵的方程為，將，代入，∴極坐標(biāo)方程:，設(shè)，則，的軌跡方程：；（2）設(shè)，，，因?yàn)椋瑒t，故為定值且為16.23．（四川省達(dá)州市普通高中2023屆高三第一次診斷性測試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，定點(diǎn)，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式,代入化簡,可得曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程,可得根與系數(shù)的關(guān)系式,利用參數(shù)t的幾何意義，結(jié)合更與系數(shù)的關(guān)系式化簡求值，即可求得答案.【詳解】（1）將代入的極坐標(biāo)方程中,得曲線的直角坐標(biāo)方程為，即.（2）點(diǎn)在直線上，將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）代入曲線方程,得，整理得,滿足,設(shè)點(diǎn)對應(yīng)該的參數(shù)分別為，則，由參數(shù)的幾何意義不妨令,,當(dāng)，即時，.24．（四川省遂寧市第二中學(xué)校2023屆高三上學(xué)期一診模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（二））在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．(1)求直線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程;(2)已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，求的值．【答案】(1)曲線?的普通方程為?；直線?的直角坐標(biāo)方程為?(2)?【分析】（1）根據(jù)線的普通方程，根據(jù)，，得到直線的直角坐標(biāo)方程；（2）根據(jù)點(diǎn)在直線上得到直線的參數(shù)方程，然后根據(jù)直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求即可.【詳解】（1）由曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)，得曲線的普通方程為，由得，所以，∵，，∴直線的直角坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），點(diǎn)在直線上，將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，整理可得，，設(shè)，是方程的兩個實(shí)數(shù)根，∴，，∴.25．（四川省南充市2023屆高三上學(xué)期高考適應(yīng)性考試（一診）文科數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C滿足參數(shù)方程為（為參數(shù)，）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)m的值．【答案】(1)曲線的普通方程為；直線的直角坐標(biāo)方程為(2)【分析】（1）根據(jù)參數(shù)方程轉(zhuǎn)為普通方程、極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程的方法求得正確答案.（2）由判斷三角形的形狀，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式以及圖象求得的值.【詳解】（1）由（為參數(shù)，），消去參數(shù)得，注意到，所以，所以曲線的普通方程為.由于直線l的極坐標(biāo)方程為，所以直線的直角坐標(biāo)方程為.（2），，由于向量夾角的取值范圍是，所以，所以三角形是等邊三角形，邊長為，所以到直線的距離為，即，結(jié)合圖象可知，所以.26．（四川省綿陽中學(xué)2023屆高三上學(xué)期綜合質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.(1)求的普通方程并指出它的軌跡；(2)以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線：與曲線的交點(diǎn)為O，P，與的交點(diǎn)為Q，求線段的長.【答案】(1)答案見詳解；(2).【分析】（1）消去，即可求得的普通方程為，軌跡為圓，又，方程為，可知軌跡為上半圓及其與軸的兩個交點(diǎn)；（2）根據(jù)（1）可求得的極坐標(biāo)方程為，，代入，可求得.將的參數(shù)方程化為普通方程后，可求得極坐標(biāo)方程，代入，可求得，進(jìn)而求出線段的長.【詳解】（1）由已知可得，，則，又，所以，則.所以的普通方程為，軌跡為以為圓心，2為半徑的圓的上半圓以及其與軸的兩個交點(diǎn)，.（2）由曲線化為極坐標(biāo)方程：，.把代入可得，所以.的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），消去參數(shù)可得，可得極坐標(biāo)方程為，把代入方程可得，所以，所以.又三點(diǎn)共線，且有.27．（四川省遂寧市2023屆高三零診考試數(shù)學(xué)（文科）試題）平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為(1)寫出曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)曲線與交于M，N兩點(diǎn)，求與直線MN平行且過原點(diǎn)的直線l的極坐標(biāo)方程及的值．【答案】(1)；(2)；【分析】（1）求曲線的普通方程只需把平方即可，求曲線的方程只需極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式化簡即可.（2）兩圓方程聯(lián)立即可求相交弦方程，即直線MN的方程，再根據(jù)平行求出直線l的方程，進(jìn)而可求直線l的極坐標(biāo)方程，再利用圓的弦長與圓心到直線的距離，半徑之間的關(guān)系即可求出的值．【詳解】（1）由曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），可得，即曲線的普通方程為；曲線的極坐標(biāo)方程為

.故曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）由（1）得即直線的方程為，則與直線平行且過原點(diǎn)的直線的方程為，其傾斜角為所以直線的極坐標(biāo)方程為；設(shè)曲線的圓心到直線的距離為，則