方程的根及函數(shù)的零點(diǎn)練習(xí)題

方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)一、選擇題1．以下函數(shù)中在區(qū)間[1,2]上有零點(diǎn)的是()A．f(*)＝3*2－4*＋5 B．f(*)＝*3－5*－5C．f(*)＝ln*－3*＋6 D．f(*)＝e*＋3*－6[答案]D[解析]對于函數(shù)f(*)＝e*＋3*－6來說f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2>0∴f(1)f(2)<0，應(yīng)選D.2．函數(shù)f(*)＝m*2＋(m－3)*＋1的圖象與*軸的交點(diǎn)至少有一個在原點(diǎn)右側(cè)，則實數(shù)m的取值圍是()A．(0,1] B．(0,1)C．(－∞，1) D．(－∞，1][答案]D[解析]解法1：取m＝0有f(*)＝－3*＋1的根*＝eq\f(1,3)>0，則m＝0應(yīng)符合題設(shè)，所以排除A、B，當(dāng)m＝1時，f(*)＝*2－2*＋1＝(*－1)2它的根是*＝1符合要求，排除C.∴選D.解法2：直接法，∵f(0)＝1，∴(1)當(dāng)m<0時必成立，排除A、B，當(dāng)m>0時，要使與*軸交點(diǎn)至少有一個在原點(diǎn)右側(cè)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,Δ＝(m－3)2－4m>0，,－\f(m－3,2m)>0，))∴0<m≤1.(3)當(dāng)m＝0時根為*＝eq\f(1,3)>0.∴選D.3．函數(shù)y＝f(*)與函數(shù)y＝2*－3的圖象關(guān)于直線y＝*對稱，則函數(shù)y＝f(*)與直線y＝*的一個交點(diǎn)位于區(qū)間()A．(－2，－1) B．(2,3)C．(1,2) D．(－1,0)[答案]B[解析]y＝2*－3的反函數(shù)為y＝log2(*＋3)由圖象得：交點(diǎn)分別位于區(qū)間(－3，－2)與(2,3)，應(yīng)選B.4．函數(shù)f(*)＝lg*－eq\f(9,*)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()A．(6,7) B．(7,8)C．(8,9) D．(9,10)[答案]D[解析]∵f(9)＝lg9－1<0，f(10)＝1－eq\f(9,10)>0，∴f(9)·f(10)<0，∴f(*)在(9,10)上有零點(diǎn)，應(yīng)選D.5．f(*)＝(*－a)(*－b)－2，并且α、β是函數(shù)f(*)的兩個零點(diǎn)，則實數(shù)a、b、α、β的大小關(guān)系可能是()A．a(chǎn)<α<b<β B．a(chǎn)<α<β<bC．α<a<b<β D．α<a<β<b[答案]C[解析]∵α、β是函數(shù)f(*)的兩個零點(diǎn)，∴f(α)＝f(β)＝0，又f(*)＝(*－a)(*－b)－2，∴f(a)＝f(b)＝－2<0.結(jié)合二次函數(shù)f(*)的圖象可知，a、b必在α、β之間．6．假設(shè)函數(shù)f(*)＝a*＋b的零點(diǎn)是2，則函數(shù)g(*)＝b*2－a*的零點(diǎn)是()A．0,2 B．0，eq\f(1,2)C．0，－eq\f(1,2) D．2，－eq\f(1,2)[答案]C[解析]由條件2a＋b＝0，∴b＝－2a∴g(*)＝－a*(2*＋1)的零點(diǎn)為0和－eq\f(1,2).7．函數(shù)f(*)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*2＋2*－3，*≤0，,－2＋ln*，*>0))的零點(diǎn)個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3[答案]C[解析]令*2＋2*－3＝0，∴*＝－3或1∵*≤0，∴*＝－3；令－2＋ln*＝0，∴l(xiāng)n*＝2∴*＝e2>0，故函數(shù)f(*)有兩個零點(diǎn)．8．函數(shù)y＝*3與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))*的圖象的交點(diǎn)為(*0，y0)，則*0所在區(qū)間為()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)[答案]C[解析]令f(*)＝*3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))*，則f(0)＝－1<0，f(1)＝eq\f(1,2)>0，應(yīng)選C.9．有以下四個結(jié)論：①函數(shù)f(*)＝lg(*＋1)＋lg(*－1)的定義域是(1，＋∞)②假設(shè)冪函數(shù)y＝f(*)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,4)，則該函數(shù)為偶函數(shù)③函數(shù)y＝5|*|的值域是(0，＋∞)④函數(shù)f(*)＝*＋2*在(－1,0)有且只有一個零點(diǎn)．其中正確結(jié)論的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4[答案]C[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＋1>0,*－1>0))，得*>1，故①正確；∵f(*)＝*α過(2,4)，∴2α＝4，∴α＝2，∴f(*)＝*2為偶函數(shù)，故②正確；∵|*|≥0，∴y＝5|*|≥1，∴函數(shù)y＝5|*|的值域是[1，＋∞)，故③錯；∵f(－1)＝－1＋2－1＝－eq\f(1,2)<0，f(0)＝0＋20＝1>0，∴f(*)＝*＋2*在(－1,0)至少有一個零點(diǎn)，又f(*)＝*＋2*為增函數(shù)，∴f(*)＝*＋2*在(－1,0)有且只有一個零點(diǎn)，∴④正確，應(yīng)選C.10．假設(shè)函數(shù)f(*)＝*2－a*＋b的兩個零點(diǎn)是2和3，則函數(shù)g(*)＝b*2－a*－1的零點(diǎn)是()A．－1和eq\f(1,6) B．1和－eq\f(1,6)C.eq\f(1,2)和eq\f(1,3) D．－eq\f(1,2)和－eq\f(1,3)[答案]B[解析]由于f(*)＝*2－a*＋b有兩個零點(diǎn)2和3，∴a＝5，b＝6.∴g(*)＝6*2－5*－1有兩個零點(diǎn)1和－eq\f(1,6).二、填空題1．二次函數(shù)y＝a*2＋b*＋c(*∈R)的局部對應(yīng)值如下表：*－3－2－101234y60－4－6－6－406則使a*2＋b*＋c>0的自變量*的取值圍是______．[答案](－∞，－2)∪(3，＋∞)2．關(guān)于*的不等式eq\f(a*－1,*＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).則a＝________.[答案]－2[解析]eq\f(a*－1,*＋1)<0?(a*－1)(*＋1)<0，∵其解集為(－∞，－1)∪(－eq\f(1,2)，＋∞)，∴a<0且－1和－eq\f(1,2)是(a*－1)(*＋1)＝0的兩根，解得a＝－2.[點(diǎn)評]由方程的根與不等式解集的關(guān)系及題設(shè)條件知，－eq\f(1,2)是a*－1＝0的根，∴a＝－2.三、解答題1．函數(shù)f(*)＝2*－*2，問方程f(*)＝0在區(qū)間[－1，0]是否有解，為什么？解析因為f(－1)＝2－1－(－1)2＝－eq\f(1,2)<0，f(0)＝20－02＝1>0，而函數(shù)f(*)＝2*－*2的圖象是連續(xù)曲線，所以f(*)在區(qū)間[－1,0]有零點(diǎn)，即方程f(*)＝0在區(qū)間[－1,0]有解．2．討論函數(shù)f(*)＝ln*＋2*－6的零點(diǎn)個數(shù)．解析函數(shù)的定義域為(0，＋∞)，任取*1、*2∈(0，＋∞)，且*1＜*2.f(*1)－f(*2)＝(ln*1＋2*1－6)－(ln*2＋2*2－6)＝(ln*1－ln*2)＋2(*1－*2)，∵0＜*1＜*2，∴l(xiāng)n*1＜ln*2.∴f(*1)－f(*2)<0，即f(*1)<f(*2)∴f(*)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．又f(1)＝ln1＋2×1－6＝－4<0.f(3)＝ln3＋2×3－6＝ln3＞0∴f(*)在(1,3)有零點(diǎn)．由f(*)是單調(diào)函數(shù)知，f(*)有且僅有一個零點(diǎn)．3．定義在R上的偶函數(shù)y＝f(*)在(－∞，0]上遞增，函數(shù)f(*)的一個零點(diǎn)為－eq\f(1,2)，求滿足f(logeq\f(1,4)*)≥0的*的取值集合．解析∵－eq\f(1,2)是函數(shù)的零點(diǎn)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0，∵f(*)為偶函數(shù)，∴f(eq\f(1,2))＝0，∵f(*)在(－∞，0]上遞增，f(logeq\f(1,4)*)≥feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，∴0≥logeq\f(1,4)*≥－eq\f(1,2)，∴1≤*≤2，∵f(*)為偶函數(shù)，∴f(*)在[0，＋∞)上單調(diào)減，又f(logeq\f(1,4)*)≥f(eq\f(1,2))，∴0≤logeq\f(1,4)*≤eq\f(1,2)，∴eq\f(1,2)≤*≤1，∴eq\f(1,2)≤*≤2.故*的取值集合為{*|eq\f(1,2)≤*≤2}．16．二次函數(shù)f(*)＝a*2＋b*＋c的零點(diǎn)是－2和3，當(dāng)*∈(－2,3)時，f(*)<0，且f(－6)＝36，求二次函數(shù)的解析式．解析由條件知f(*)＝a(*＋2)(*－3)且a>0∵f(－6)＝36，∴a＝1∴f(*)＝(*＋2)(*－3)滿足條件－2<*<3時，f(*)<0.∴f(*)＝*2－*－6.17．函數(shù)f(*)＝a*＋eq\f(*－2,*＋1)(a>1)．(1)證明：函數(shù)f(*)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)；(2)用反證法證明方程f(*)＝0沒有負(fù)數(shù)根．解析(1)任取*1、*2∈(－1，＋∞)，不妨設(shè)*1<*2，則*2－*1>0，a*2－*1>1，且a*1>0.∴a*2－a*1＝a*1(a*2－*1－1)>0.又∵*1＋1>0，*2＋1>0，∴eq\f(*2－2,*2＋1)－eq\f(*1－2,*1＋1)＝eq\f((*2－2)(*1＋1)－(*1－2)(*2＋1),(*1＋1)(*2＋1))＝eq\f(3(*2－*1),(*1＋1)(*2＋1))>0于是f(*2)－f(*1)＝a*2－a*1＋eq\f(*2－2,*2＋1)－eq\f(*1－2,*1＋1)>0，故函數(shù)f(*)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．(2)證法1：設(shè)存在*0<0(*0≠－1)，滿足f(*0)＝0，則a*0＝－eq\f(*0－2,*0＋1)，且0<a*0<1，∴0<－eq