基于malab的電磁場(chǎng)與電磁波課程教學(xué)設(shè)計(jì)

基于malab的電磁場(chǎng)與電磁波課程教學(xué)設(shè)計(jì)

b軟件提供各種集群、各種函數(shù)和開放編程環(huán)境，并提供二維或三維模擬圖像。本文針對(duì)“電磁場(chǎng)與電磁波”課程教學(xué)過(guò)程中存在的難點(diǎn)和重點(diǎn),借助Matlab軟件工具,選用Karl等編寫的教材給出的具體實(shí)例,對(duì)矢量分析中的梯度、散度和旋度的分布及特性,鏡像法中電場(chǎng)和電位的分布特征,分別給出了直觀形象的兩維或三維的仿真圖形,實(shí)現(xiàn)了可視化教學(xué),豐富了教學(xué)內(nèi)容,提高了學(xué)生學(xué)習(xí)電磁場(chǎng)理論知識(shí)的興趣。1散度和旋度梯度、散度和旋度是研究場(chǎng)論的主要數(shù)學(xué)工具,是描述場(chǎng)源的主要參數(shù)。標(biāo)量場(chǎng)有梯度,矢量場(chǎng)有散度和旋度。三度的計(jì)算通常比較復(fù)雜,而且計(jì)算結(jié)果沒(méi)有直觀效果。對(duì)梯度、散度和旋度的定義及物理意義的理解和掌握,一直都是教學(xué)的難點(diǎn)和重點(diǎn),在教學(xué)中我們嘗試?yán)肕atlab軟件工具,對(duì)三度分別進(jìn)行了計(jì)算和仿真,達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)效果。1.1meshc函數(shù)的求解標(biāo)量場(chǎng)的變化率或方向?qū)?shù)是非常重要的概念。一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)u的梯度是一個(gè)矢量場(chǎng),在某點(diǎn)M處標(biāo)量場(chǎng)梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)具有最大方向?qū)?shù)的方向,與標(biāo)量場(chǎng)的等值線或等值面垂直,且指向標(biāo)量場(chǎng)數(shù)值增大的方向,梯度的模等于標(biāo)量場(chǎng)在該點(diǎn)的方向?qū)?shù)可能取得的最大值。在直角坐標(biāo)系中,梯度的表達(dá)式為gradu=ax?u?x+ay?u?y+az?u?z=?ugradu=ax?u?x+ay?u?y+az?u?z=?u如選取某曲面函數(shù)方程為z=e-(x2+y2),利用梯度的定義公式則有?z=-2e-(x2+y2)(xax+yay)用Matlab軟件做出的梯度場(chǎng)?z的仿真如圖1所示。其中圖1(a)為標(biāo)量場(chǎng)z的等值線分布圖,函數(shù)z是一個(gè)二維標(biāo)量場(chǎng),將z的函數(shù)值作為高度值形成第三維,利用Meshc函數(shù)將其可視化。越是隆起其數(shù)值越大;圖1(b)為梯度場(chǎng)?z的分布圖,利用Quiver達(dá)到可視化效果。圖中近似圓形的曲線為標(biāo)量場(chǎng)z的等值線,多個(gè)箭頭為?z的矢量線。標(biāo)量場(chǎng)z的坡度越陡,梯度?z的模越大。梯度?z的方向指向z增大的方向,故箭頭指向內(nèi)圈等值線,即指向變化率最大的方向,且與等值線垂直。在x=0和y=0的點(diǎn)處,標(biāo)量場(chǎng)z取得最大值,無(wú)變化率,故標(biāo)量場(chǎng)z在(0,0)處的梯度為0。1.2a散度場(chǎng)的建立矢量場(chǎng)在某點(diǎn)的散度就表示從該點(diǎn)發(fā)出的凈通量,矢量場(chǎng)在某點(diǎn)的散度構(gòu)成一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)。某點(diǎn)的散度值取決于該點(diǎn)處沿x、y、z三個(gè)方向的變化率,即場(chǎng)量的各個(gè)分量沿著各自方向的變化情況。該點(diǎn)處的散度值也就代表著該處是否有散度源,以及源的強(qiáng)弱。在直角坐標(biāo)系中,散度的表達(dá)式為divA=?Ax?x+?Ay?y+?Az?z=??AdivA=?Ax?x+?Ay?y+?Az?z=??A選用一個(gè)兩維矢量場(chǎng)A=E-(r/k)2r,r=xax+yay,r2=x2+y2,k為常數(shù),利用散度定義公式則有?·A=2e-(r/k)2[1-(r/k)2]用Matlab仿真的散度場(chǎng)?·A如圖2所示。取常數(shù)k=1,圖2(a)為兩維矢量場(chǎng)A的分布圖。對(duì)它的可視化可以用Quiver函數(shù)處理。矢量場(chǎng)A沿r的方向,某點(diǎn)處的散度值取決于各分量沿著自身方向的變化情況,這種變化結(jié)果導(dǎo)致包圍該點(diǎn)的閉合面有A的凈通量發(fā)出;圖2(b)為?·A散度場(chǎng)分布的輪廓圖。利用Divergence函數(shù)對(duì)其進(jìn)行散度計(jì)算后,利用Meshc函數(shù)就可以畫出這個(gè)標(biāo)量場(chǎng)。穿過(guò)r=常數(shù)的閉合面的通量是相等的,圖形直觀給出了標(biāo)量場(chǎng)等值線的分布規(guī)律,等值線中心有正源,從原點(diǎn)向外散度值減小。1.3直角坐標(biāo)系的數(shù)值實(shí)現(xiàn)矢量場(chǎng)中某點(diǎn)的旋度仍然是一個(gè)矢量,其模值等于環(huán)量面密度的最大值,其方向?yàn)槭弓h(huán)量面密度取得最大值的面元的法線方向,也是渦旋源的方向,這個(gè)方向垂直于實(shí)際的渦旋面,并與旋轉(zhuǎn)方向成右手螺旋關(guān)系。矢量場(chǎng)的旋度揭示了場(chǎng)量沿其垂直方向向上的變化情況,旋度不為零是產(chǎn)生渦旋的基本條件。在直角坐標(biāo)系中,旋度的表達(dá)式為rotA=∣∣∣∣∣ax??xAxay??yAyaz??zAz∣∣∣∣∣=?×ArotA=|axayaz??x??y??zAxAyAz|=?×A選取一個(gè)兩維矢量場(chǎng)A=e-(r/k)2ω×r,r=xax+yay,r2=x2+y2,ω=waz,k和w均為常數(shù)。利用旋度的定義公式可推出?×A=2we-(r/k)2[1-(r/k)2]az用Matlab仿真的旋度場(chǎng)?×A如圖3所示。取常數(shù)k=1,w=1。圖3(a)為兩維矢量場(chǎng)A的圖形。利用Quiver函數(shù)實(shí)現(xiàn)矢量場(chǎng)A的可視化,箭頭的長(zhǎng)短表示模量的大小,矢量A沿ω×r的方向;圖3(b)為?×A旋度矢量場(chǎng)的z分量的輪廓圖。利用Curl函數(shù)實(shí)現(xiàn)矢量場(chǎng)A的可視化,再利用Quiver函數(shù)畫出矢量圖,穿過(guò)r=常數(shù)的閉合線的環(huán)量是相等的,圖形直觀給出了矢量場(chǎng)等值線的分布規(guī)律。越靠近原點(diǎn)函數(shù)值越大,反映了渦旋源的強(qiáng)度。2膠片的幾何大小和位置鏡像法是基于唯一性定理,求解滿足拉普拉斯方程的電位邊值問(wèn)題中的一種非常重要的方法。利用在求解區(qū)域之外配置的一個(gè)或幾個(gè)虛設(shè)的集中等效電荷代替媒質(zhì)分界面上復(fù)雜分布電荷的作用。將有界的空間轉(zhuǎn)換為無(wú)限大的空間,并且保持原來(lái)的邊界條件不變,從而求出待求區(qū)域中的電位。僅僅對(duì)某些特殊的邊界及特殊的電荷分布才能確定鏡像電荷的大小和位置。一直以來(lái),教學(xué)僅僅局限于確定鏡像電荷的大小和位置,求出電位和電場(chǎng)的分布,但具體分布特性如何,卻討論甚少。如果兩個(gè)接地的半無(wú)限大導(dǎo)體平板分別放置在x軸和y軸上,形成90°夾角,有一正電荷q=4πε0放置在點(diǎn)(a,a)處,如圖4(a)所示。根據(jù)鏡像法的原理和分析方法,可以確定三個(gè)鏡像電荷-q、q、-q的大小和位置,分別位于(-a,a)、(-a,-a)和(a,-a)處,如圖4(b)所示。圖中,R1-R4分別為源電荷及三個(gè)鏡像電荷到所求場(chǎng)點(diǎn)P的距離。直角區(qū)域中任意點(diǎn)處的電位可通過(guò)這四個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位疊加求出,即有Φ=q4πε0(1R1?1R2+1R3?1R4)Φ=q4πε0(1R1-1R2+1R3-1R4)用Matlab仿真原電荷q周圍的電位和電場(chǎng)分布如圖5所示。圖中近似圓形的閉合曲線為電位分布的等值線,由E=-?Φ,多個(gè)箭頭為電場(chǎng)的分布特性,箭頭指向電位減小的方向,且電力線與電位線垂直。該圖形直觀清楚,準(zhǔn)確的示意了90°夾角的無(wú)限大導(dǎo)體平板中一個(gè)正電荷q的電位和電場(chǎng)分布,有利于掌握鏡像法的基本原理和計(jì)算方法。3