從音樂中的“音調(diào)”談到律制

從音樂中的“音調(diào)”談到律制文/陳奕男注1:本文為跨學(xué)科綜合帖，適合具有高中物理、高中數(shù)學(xué)、以及基本樂理基礎(chǔ)知識的童鞋閱讀。學(xué)過弦樂器如吉他、小提琴的同學(xué)對本文會有更深刻的理解。注2：本人學(xué)識有限，文中難免有錯誤敬請各位讀者幫忙指出。注3：轉(zhuǎn)載請注明出處與作者。之所以會研究這么無聊的東西，估計都是學(xué)吉他給害的。話說當(dāng)年學(xué)吉他的時候，老濕跟我說到：“比一個音高八度的音，頻率也是那個音的兩倍?！蹦菚r青澀的我啊，回想起物理課上“聲音是由振動產(chǎn)生的”，恍然大悟：原來，音樂中的音調(diào)，其實就是不同頻率的聲音而已。那么，頻率和音調(diào)到底有什么樣的對應(yīng)關(guān)系呢？十二平均律我們知道，一個八度包含12個音名，分別是A#ABC#CD#DEF#FG#G。這其中，任意相鄰的兩個音名之間的“距離”（音程），都是一個“小二度”，或者說一個“半音”。于是我就開始瞎猜：???任意一個“小二度”給人聽起來的感覺是一樣的，正如A和#A、E和F的距離聽起來一樣，那么任意小二度的兩個音的頻率的比值應(yīng)該是一個確定的常數(shù)，假設(shè)它為a。..?因為相隔一個八度的兩個音的頻率比為1:2，而一個八度包含12個半音。a12=2.舉個例子吧，比如國際標(biāo)準(zhǔn)上定義A4這個音的頻率，A4=440Hz。那么#A4=A4*a=440Hz*a那么B4=#A4*a=A4*a*a=440Hz*a*a所以A5=A4*a12因為我們知道A5比A4高1個八度，所以A5的頻率將是A4的頻率的2倍，即A5=880Hz。所以代入A5、A4的值得到：880Hz=440Hz*a12兩邊同時除以440Hz同樣能得到a12=2.112112a=72^1.0594630943592952645618252949463,這個結(jié)論有什么用呢？它的用處在于，以A4=440Hz為基礎(chǔ)，我們可以推出其他所有音名的頻率值，比如#A4=440Hz*a=466.16376151808991640720312977639;B4=#A4*a=493.88330125612411183075454185882...以上所講的是使用十二平均律計算出各音名頻率的方法。我們來看看百度百科上對十二平均律的定義：十二平均律，亦稱“十二等程律”，世界上通用的把一組音（八度）分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的振動數(shù)之比完全相等。十二平均律是指將八度的音程（二倍頻程）按頻率等比例地分成十二等份，每一等份稱為一個半音即小二度。一個大二度則是兩等份。五度相生律本來按照以上推算，對各音名的頻率的研究就可以結(jié)束了?？墒怯幸惶?，我的吉他老濕又教了我一種新的吉他技法，叫做泛音。學(xué)過吉他的同學(xué)應(yīng)該知道，將手指輕輕放在12品品柱上彈奏琴弦可以發(fā)出12品自然泛音。自然泛音是如何產(chǎn)生的呢，我百度了下終于理解。這還涉及到一點物理知識。（圖片來自維基百科）正常情況下我們彈奏某一條琴弦，我們可以想象，弦會進行像下圖這樣的振動：然而事實是，弦同時還進行著除這種簡單的振動以外的其它許多振動:彈響一根弦時，弦的振動是這些振動的疊加。當(dāng)我們把手指按在弦的中點（1/2）處時，第一種振動和第三種振動就會被制止，而第二種振動，因為手指按著的地方剛好是簡諧振動的節(jié)點，所以對振動基本不影響。最終的結(jié)果便是：第二種振動發(fā)出的聲音被保留了下來。那么聽起來是什么效果呢？大家可以看到第二種振動的波長是第一種的1/2,又因為波長和頻率成反比，所以第二種振動會發(fā)出頻率為第一種的頻率的2倍的聲音。沒錯，剛好就是高一個八度的音！到這里是沒有問題的，問題是7品泛音和19品泛音。7品和19品的位置剛好是一條弦1/3點和2/3點，所以如果把手指按在這兩個點上面，則上圖第一種振動和第二種振動將會被抑制，只留下第三種振動，根據(jù)波長和頻率成反比，將發(fā)出頻率為原弦的基頻的3倍的音。在音程上來講就是高1個八度+1個純五度。等等。。怎么有些不對？！1個八度+一個純五度也就是19個半音，理論上也就是吉他的第19品發(fā)出的音。那么，也就是19品的音和弦長2/3處（19品品柱）的音是一樣的咯？按照剛才所學(xué)的，假設(shè)第一弦空弦的音為e，那么根據(jù)12平均律，第一弦19品的音應(yīng)該是：119exa19=ex（［扼）的=ex2汀然而，根據(jù)泛音的頻率和波長的關(guān)系，第一弦19品泛音的頻率應(yīng)該是:2的（19/12）次方怎么可能等于3？！直覺告訴我不會，經(jīng)過計算:192i2a2.9966141537533629975985614640595與3非常接近！但不等于3！通過這種方式得到的原音和五度音的頻率比為2:3,也就是：五度音=基音*（3/2），通過對求出的五度音再求其五度音的方式，可以得到一個八度中所有音名的頻率，這種方法叫做五度相生律。百度百科是這樣定義的：五度相生律是根據(jù)復(fù)合音的第二分音和第三分音的純五度關(guān)系，即由某一音開始向上推一純五度，產(chǎn)生次一律，再由次一律向上推一純五度，產(chǎn)生再次一律，如此繼續(xù)相生年定出的音律叫做五度，產(chǎn)生再次一律，如此繼續(xù)相生所定出的音律叫做五度相生律。五度相生律所訂出的七個基本音級間的音高關(guān)系，和十二平均律中七個基本音級的音高關(guān)系是不同的。五度相生律以一音為基音，然后將頻率比為3：2的純五度音程作為生律要素，分別向基音兩側(cè)同時生音。下面以C為例，來闡述五度相生律的生律原理。假如C為基音，按照五度相生原理向上可生出G、D、A、E、B，向下可生出F、降B、降E、降A(chǔ)、降D、降G，將連同基音在內(nèi)的十二個音寫在一個八度之內(nèi)。真是顛覆了哥的世界觀。。。不過想想也對，古代勞動人民沒有測量頻率的計算工具，怎么可能算出2的12次方根這樣的數(shù)字呢。。所以古代人創(chuàng)造音律的時候，最先肯定是通過弦長的整數(shù)比為來確定的呀。。。純律知道了五度相生律的產(chǎn)生方法，純律就比較好理解了。五度相生律是通過一個音為基音，求它的五度音、再求五度音的五度音。。這樣反復(fù)求出所有音級。而純律，則是以一個音為基音，直接通過這個音求出其它音級的律制。來看百度百科：純律，是用純五度（弦長之比為2：3）和大三度（弦長之比為4：5）確定音階中各音高度的一種律制。例如：大七度為純五度加大三度，小三度為純五度減去大三度，由于純律音階中各音對主音的音程關(guān)系與純音程完全相符且其音響亦非凡協(xié)和，故稱“純律”?？偟膩碚f三種律制在實際的應(yīng)用上各有長處，五度相生律是根據(jù)純五度定律的，因此在音的先后結(jié)合上自然協(xié)調(diào)，適用于單音音樂。純律是根據(jù)自然三和弦而定律，因此在和弦音的同時結(jié)合上純正而和諧，適用于多聲音樂。但隨著多聲部音樂的發(fā)展，轉(zhuǎn)調(diào)的頻繁，加上鍵盤樂器在演奏純律上的困難，因而受到很大限制。十二平均律在音的先后結(jié)合和同時結(jié)合上都不是那么純正自然，但由于它轉(zhuǎn)調(diào)方便，在鍵盤樂器的演奏和制造上有著許多優(yōu)點，因此近百年來被廣泛采用。（十二平均律、五度相生律、純律）十二平均律的出現(xiàn)雖然解決了轉(zhuǎn)調(diào)問題，卻也產(chǎn)生另一個和音不夠完美的問一十二平均律中的和音均不是嚴(yán)格的整數(shù)比。（百度百科）五度相生律EF、BC之間亦為半音，但比十二平均律中的半音要小。其余相鄰兩音級之間雖然亦為全音，但比十二平均律中的全音要大。純律的EF、BC之間的半音比其他兩種律制的半音要大。全音的情況有兩種：CD、FG、AB為大全音，和五度相生律中的全音相等，比十二平均律中的全音大。ED、GA為小全音，比其他兩種律制的全音都小。三種律制在同一種樂器中有時均會用到，比如鋼琴本身是一種十二平均律樂器，但是由于人耳對音高的感覺在低音區(qū)和高音區(qū)并不與頻率完全對應(yīng)，因為在鋼琴低音和高音的調(diào)律中，也會用到純