中考數(shù)學復習滿分突破（全國通用）：專題07 不等式（組）（原卷版）

專題07不等式（組）【熱考題型】【知識要點】知識點一不等式的有關(guān)概念和性質(zhì)不等式的定義：用不等號“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等關(guān)系的式子，叫作不等式?！咀⒁狻?）方程與不等式的區(qū)別：方程表示的是相等關(guān)系，不等式表示的是不等關(guān)系。2）常用的不等號有：“≠”（不等于），“>”（大于），“≥”（大于或等于），“<”（小于），“≤”（小于或等于）五種。3）在不等式a>b或a<b，a叫做不等式的左邊，b叫做不等式的右邊。4）在列不等式時，一定要注意表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞。不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫作不等式的解。不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解的集合。它可以在數(shù)軸上直觀地表示出來，是數(shù)形結(jié)合的具體表現(xiàn)。解不等式的概念：求不等式的解集的過程叫作解不等式。數(shù)軸表示不等式的解集：不等式的解集用數(shù)軸表示有以下四種情況：【易錯點】用數(shù)軸表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等號畫實心圓點，無等號畫空心圓圖。不等式的解與不等式的解集的區(qū)別與聯(lián)系：1）不等式的解是指滿足這個不等式的未知數(shù)的某個值。2）不等式的解集是指滿足這個不等式的未知數(shù)的所有的值。3）不等式的所有解組成了這個不等式的解集，不等式的解集中包括這個不等式的每一個解。不等式的性質(zhì)：基本性質(zhì)1：不等式兩邊同時加或減去同一個整式，不等號方向不變，即

若a>b，則a+c>b+c，a-c>b-c。

基本性質(zhì)2：不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個大于0的整式，不等號方向不變，即

若a>b,c>0，則ac>bc（或ac>bc）

基本性質(zhì)3（易錯）：不等式兩邊同時乘以（或除以）若a>b,c<0，則ac<bc（或ac基本性質(zhì)4：若a>b，則b<a?；拘再|(zhì)5：若a>b>c，則a>c。基本性質(zhì)6：如果，，那么.【注意】1）不等式變形時，要注意性質(zhì)2和3的區(qū)別，需先判斷要乘（或除以）的數(shù)的正負，若負注意不等號方向發(fā)生改變。2）不等號方向發(fā)生改變就是指原來的不等號方向變成其相反方向。不等式性質(zhì)與等式性質(zhì)的相同和不同點：相同點：都可以在兩邊加上或減去同一個式子。不同點：1）對于等式兩邊，乘（或除）以同一個正數(shù)（或負數(shù)），結(jié)果依然成立。2）對于不等式兩邊，乘（或除）以同一個正數(shù)，不等號方向不變；乘（或除）以同一個負數(shù)，不等號方向發(fā)生改變?！究偨Y(jié)】等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)對稱性：若a=b，則b=a反對稱性：若a>b，則b<a傳遞性：若a=b，b=c，則a=c傳遞性：若a>b，b>c，則a>c性質(zhì)1：若a=b，則a±c=b±c性質(zhì)1：若a>b，則a±c>b±c性質(zhì)2：若a=b，c≠0，則ac=bc，性質(zhì)2：若a>b，c>0，則ac>bc，性質(zhì)3：若a>b，c<0，則ac<bc，考查題型一不等式的性質(zhì)題型1．（2022年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學真題）若m>n，則下列不等式中正確的是（

）A．m?2<n?2 B．?1C．n?m>0 D．1?2m<1?2n題型1-1．（2022年湖南省湘潭市中考數(shù)學真題）若a>b，則下列四個選項中一定成立的是（

）A．a(chǎn)+2>b+2 B．?3a>?3b C．a(chǎn)4<b題型1-2．（2022年浙江省杭州市中考數(shù)學真題）已知a，b，c，d是實數(shù)，若a>b，c=d，則（

）A．a(chǎn)+c>b+d B．a(chǎn)+b>c+d C．a(chǎn)+c>b?d D．a(chǎn)+b>c?d題型1-3．（2022·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，數(shù)軸上的兩點A、B對應的實數(shù)分別是a、b，則下列式子中成立的是（）A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a(chǎn)+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0題型1-4．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，數(shù)軸上的點A、B分別表示實數(shù)a、b，則1a______1題型1-5．（2021·山西·中考真題）（1）計算：?14（2）下面是小明同學解不等式的過程，請認真閱讀并完成相應任務．2x?1解：22x?14x?2>9x?6?6第二步4x?9x>?6?6+2第三步?5x>?10第四步x>2第五步任務一：填空：①以上解題過程中，第二步是依據(jù)______________（運算律）進行變形的；②第__________步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是________________；任務二：請直接寫出該不等式的正確解集．易錯點總結(jié)：知識點二解一元一次不等式一元一次不等式的概念:不等式的左右兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，像這樣的不等式叫一元一次不等式。一元一次不等式的一般形式為：或。例如，，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式。解一元一次不等式的一般步驟：去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤未知數(shù)的系數(shù)化為1解一元一次方程和解一元一次不等式的區(qū)別：一元一次方程一元一次不等式解法的依據(jù)方程得兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），方程的解不變方程的兩邊乘（或除以）同一個不為零的數(shù)，方程的解不變不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變不等式的兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變不等式的兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變解法的步驟①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤未知數(shù)的系數(shù)化為1①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤未知數(shù)的系數(shù)化為1在步驟①和步驟⑤中，如果乘數(shù)（或除以）是負數(shù)，不等號要改變方向解得情況一元一次方程只有一個解一元一次不等式可以有無數(shù)多個解【備注】去分母時不等號兩邊的每一項都要乘各分母的最小公倍數(shù)，千萬不要漏乘?？疾轭}型二求一元一次不等式解集題型2（2022·遼寧大連·中考真題）不等式4x<3x+2的解集是（

）A．x>?2 B．x<?2 C．x>2 D．x<2題型2-1．（2022·四川攀枝花·中考真題）若關(guān)于x的方程x2?x?m=0有實數(shù)根，則實數(shù)m的取值的范圍是（A．m<14 B．m≤14 C．題型2-2．（2022·山東聊城·中考真題）關(guān)于x，y的方程組2x?y=2k?3x?2y=k的解中x與y的和不小于5，則k的取值范圍為（

A．k≥8 B．k>8 C．k≤8 D．k<8題型2-3．（2022·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）若關(guān)于x的分式方程：2?1?2kx?2=12?xA．k<2 B．k<2且k≠0C．k>?1 D．k>?1且k≠0題型2-4．（2022·貴州遵義·中考真題）關(guān)于x的一元一次不等式x?3≥0的解集在數(shù)軸上表示為（

）A． B．C． D．題型2-5．（2022·北京·中考真題）若x?8在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是___________．題型2-6．（2022·安徽·中考真題）不等式x?32題型2-7．（2022·四川攀枝花·中考真題）解不等式：12題型2-8．（2022·河北·中考真題）整式313?m(1)當m＝2時，求P的值；（2）若P的取值范圍如圖所示，求m的負整數(shù)值易錯點總結(jié)：考查題型三在數(shù)軸上表示不等式的解集題型3．（2022·四川雅安·中考真題）使x?2有意義的x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）A． B．C． D．題型3-1．（2022·遼寧錦州·中考真題）不等式12x?1≤7?3A． B．C． D．題型3-2．（2022·江蘇連云港·中考真題）解不等式2x﹣1＞3x?12題型3-3．（2022·湖北宜昌·中考真題）解不等式x?13易錯點總結(jié)：考查題型四用一元一次不等式解決實際問題題型4．（2022·浙江麗水·中考真題）已知電燈電路兩端的電壓U為220V，通過燈泡的電流強度I(A)的最大限度不得超過0.11A．設(shè)選用燈泡的電阻為A．R至少2000Ω B．R至多2000Ω C．R至少24.2Ω D．題型4-1．（2022·山西·中考真題）某品牌護眼燈的進價為240元，商店以320元的價格出售．“五一節(jié)”期間，商店為讓利于顧客，計劃以利潤率不低于20%的價格降價出售，則該護眼燈最多可降價_________元．題型4-2．（2022·遼寧阜新·中考真題）某公司引入一條新生產(chǎn)線生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，其中A產(chǎn)品每件成本為100元，銷售價格為120元，B產(chǎn)品每件成本為75元，銷售價格為100元，A，B兩種產(chǎn)品均能在生產(chǎn)當月全部售出．(1)第一個月該公司生產(chǎn)的A，B兩種產(chǎn)品的總成本為8250元，銷售總利潤為2350元，求這個月生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品各多少件？(2)下個月該公司計劃生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品共180件，且使總利潤不低于4300元，則B產(chǎn)品至少要生產(chǎn)多少件？題型4-3．（2022·山東濟寧·中考真題）某運輸公司安排甲、乙兩種貨車24輛恰好一次性將328噸的物資運往A，B兩地，兩種貨車載重量及到A，B兩地的運輸成本如下表：貨車類型載重量（噸/輛）運往A地的成本（元/輛）運往B地的成本（元/輛）甲種161200900乙種121000750(1)求甲、乙兩種貨車各用了多少輛；(2)如果前往A地的甲、乙兩種貨車共12輛，所運物資不少于160噸，其余貨車將剩余物資運往B地．設(shè)甲、乙兩種貨車到A，B兩地的總運輸成本為w元，前往A地的甲種貨車為t輛．①寫出w與t之間的函數(shù)解析式；②當t為何值時，w最??？最小值是多少？題型4-4．（2022·黑龍江哈爾濱·中考真題）紹云中學計劃為繪畫小組購買某種品牌的A、B兩種型號的顏料，若購買1盒A種型號的顏料和2盒B種型號的顏料需用56元；若購買2盒A種型號的顏料和1盒B種型號的顏料需用64元．(1)求每盒A種型號的顏料和每盒B種型號的顏料各多少元；(2)紹云中學決定購買以上兩種型號的顏料共200盒，總費用不超過3920元，那么該中學最多可以購買多少盒A種型號的顏料？題型4-5．（2022·廣西玉林·中考真題）我市某鄉(xiāng)村振興果蔬加工公司先后兩次購買龍眼共21噸，第一次購買龍眼的價格為0.4萬元/噸：因龍眼大量上市，價格下跌，第二次購買龍眼的價格為0.3萬元/噸，兩次購買龍眼共用了7萬元．(1)求兩次購買龍眼各是多少噸？(2)公司把兩次購買的龍眼加工成桂圓肉和龍眼干，1噸龍眼可加工成桂圓肉0.2噸或龍眼干0.5噸，桂圓肉和龍眼干的銷售價格分別是10萬元/噸和3萬元/噸，若全部的銷售額不少于39萬元，則至少需要把多少噸龍眼加工成桂圓肉？題型4-6（2022·湖南邵陽·中考真題）2022年2月4日至20日冬季奧運會在北京舉行．某商店特購進冬奧會紀念品“冰墩墩”擺件和掛件共180個進行銷售．已知“冰墩墩”擺件的進價為80元/個，“冰墩墩”掛件的進價為50元/個．(1)若購進“冰墩墩”擺件和掛件共花費了11400元，請分別求出購進“冰墩墩”擺件和掛件的數(shù)量．(2)該商店計劃將“冰墩墩”擺件售價定為100元/個，“冰墩墩”掛件售價定為60元/個，若購進的180個“冰墩墩”擺件和掛件全部售完，且至少盈利2900元，求購進的“冰墩墩”掛件不能超過多少個？知識點三解一元一次不等式組一元一次不等式組的解集概念：一般地，幾個一元一次不等式解集的公共部分，叫做它們所組成的不等式組的解集。不等式組解集的確定方法（a）b）：不等式解集在數(shù)軸上的表示方法：含≥或≤，用實心圓點，含＞或＜用空心圓圈：【注意】1）在求不等式組的解集的過程中，通常是利用數(shù)軸來表示不等式組的解集的。2）利用數(shù)軸表示不等式組解集時，要把幾個不等式的解集都表示出來，不能僅畫公共部分。解一元一次不等式組的一般步驟：求出不等式組中各不等式的解集。將各不等式的解決在數(shù)軸上表示出來。在數(shù)軸上找出各不等式解集的公共部分，這個公共部分就是不等式組的解集?？疾轭}型五解一元一次不等式組題型5．（2022·浙江衢州·中考真題）不等式組3x?2＜2（x+1），x?12＞1的解集是（

）A．題型5-1．（2022·湖南益陽·中考真題）若x＝2是下列四個選項中的某個不等式組的一個解，則這個不等式組是（

）A．x<1x<?1 B．x<1x>?1 C．x>1x<?1題型5-2．（2022·遼寧阜新·中考真題）不等式組?x?1≤20.5x?1<0.5的解集，在數(shù)軸上表示正確的是（

A． B．C． D．題型5-3．（2022·湖南益陽·中考真題）如圖1所示，將長為6的矩形紙片沿虛線折成3個矩形，其中左右兩側(cè)矩形的寬相等，若要將其圍成如圖2所示的三棱柱形物體，則圖中a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．4題型5-4．（2022·山東濟寧·中考真題）若關(guān)于x的不等式組x?a>0,7?2x>5僅有3個整數(shù)解，則A．－4≤a＜－2 B．－3＜a≤－2C．－3≤a≤－2 D．－3≤a＜－2題型5-5．（2022·廣西河池·中考真題）如果點P（m，1+2m）在第三象限內(nèi)，那么m的取值范圍是(

)A．?12<m<0 B．m>?12 題型5-6．（2022·湖南邵陽·中考真題）關(guān)于x的不等式組?13x>23A．3 B．4 C．5 D．6題型5-7．（2022·四川攀枝花·中考真題）如果一元一次方程的解是一元一次不等式組的解．則稱該一元一次方程為該一元一次不等式組的關(guān)聯(lián)方程．若方程13x?1=0是關(guān)于x的不等式組x?2≤n2n?2x<0題型5-8．（2022·湖北黃石·中考真題）已知關(guān)于x的方程1x+1題型5-9．（2022·江蘇淮安·中考真題）解不等式組：2x?1題型5-10．（2022·山東棗莊·中考真題）在下面給出的三個不等式中，請你任選兩個組成一個不等式組，解這個不等式組，并把解集表示在數(shù)軸上．①2x﹣1＜7；②5x﹣2＞3（x+1）；③43x+3≥1﹣23題型5-11．（2022·四川樂山·中考真題）解不等式組5x+1>3x?1解：解不等式①，得______．解不等式②，得______．把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來．所以原不等式組解集為______．易錯點總結(jié)：考查題型六由一元一次不等式解集求參數(shù)題型6．（2022·黑龍江·中考真題）若關(guān)于x的一元一次不等式組2x?1＜3x?a<0的解集為x<2題型6-1．（2022·四川綿陽·中考真題）已知關(guān)于x的不等式組2x+3≥x+m2x+53?3<2?x題型6-2．（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）若關(guān)于x的分式方程1x?2+2題型6-3．（2022·黑龍江綏化·中考真題）不等式組{3x?6>0x>m的解集為x>2，則題型6-4．（2022·湖北荊州·中考真題）已知方程組x+y=3①x?y=1②的解滿足2kx?3y<5易錯點總結(jié)：知識點四一元一次不等式（組）的實際應用一元一次不等式(組)的實際應用：分析數(shù)量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)，根據(jù)不等關(guān)系列出相應不等式(組)，解不等式(組)，作答?；具^程：這一過程可簡單表述為：問題不等式(組)解答。中考出現(xiàn)一元一次不等式(組)試題類型總結(jié)：1）類型一：一元一次不等式的解集問題；2）類型二：一元一次不等式組無解的情況；3）類型三：明確一元一次不等式組的解集求范圍；4）類型四：一元一次不等式組有解求未知數(shù)的范圍；5）類型五：一元一次不等式組有整數(shù)解求范圍；6）類型六：一元一次不等式(組)應用題?？疾轭}型七用一元一次不等式組解決實際問題題型7．（2022·內(nèi)蒙古內(nèi)蒙古·中考真題）某商店決定購進A、B兩種北京冬奧會紀念品．若購進A種紀念品10件，B種紀念品5件，需要1000元；若購進A種紀念品5件，B種紀念品3件，需要550元．(1)求購進A、B兩種紀念品的單價；(2)若該商店決定拿出1萬元全部用來購進這兩種紀念品，考慮市場需求，要求購進A種紀念品的數(shù)量不少于B種紀念品數(shù)量的6倍，且購進B種紀念品數(shù)量不少于20件，那么該商店共有幾種進貨方案？(3)若銷售每件A種紀念品可獲利潤20元，每件B種紀念品可獲利潤30元，在第（2）問的各種進貨方案中，哪一種方案獲利最大？求出最大利潤．題型7-1．（2022·四川綿陽·中考真題）某水果經(jīng)營戶從水果批發(fā)市場批發(fā)水果進行零售，部分水果批發(fā)價格與零售價格如下表：水果品種梨子菠蘿蘋果車厘子批發(fā)價格（元/kg）45640零售價格（元/kg）56850請解答下列問題：(1)第一天，該經(jīng)營戶用1700元批發(fā)了菠蘿和蘋果共300kg，當日全部售出，求這兩種水果獲得的總利潤？(2)第二天，該經(jīng)營戶依然用1700元批發(fā)了菠蘿和蘋果，當日銷售結(jié)束清點盤存時發(fā)現(xiàn)進貨單丟失，只記得這兩種水果的批發(fā)量均為正整數(shù)且菠蘿的進貨量不低于88kg，這兩種水果已全部售出且總利潤高于第一天這兩種水果的總利潤，請通過計算說明該經(jīng)營戶第二天批發(fā)這兩種水果可能的方案有哪些？題型7-2．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）今年我市某公司分兩次采購了一批土豆，第一次花費30萬元，第二次花費50萬元，已知第一次采購時每噸土豆的價格比去年的平均價格上漲了200元，第二次采購時每噸土豆的價格比去年的平均價格下降了200元，第二次的采購數(shù)量是第一次采購數(shù)量的2倍．(1)問去年每噸土豆的平均價格是多少元？(2)該公司可將土豆加工成薯片或淀粉，因設(shè)備原因，兩種產(chǎn)品不能同時加工，若單獨加工成薯片，每天可加工5噸土豆，每噸土豆獲利700元；若單獨加工成淀粉，每天可加工8噸土豆，每噸土豆獲利400元．由于出口需要，所有采購的土豆必須全部加工完且用時不超過60天，其中加工成薯片的土豆數(shù)量不少于加工成淀粉的土豆數(shù)量的23題型7-3．（2022·四川內(nèi)江·中考真題）為貫徹執(zhí)行“德、智、體、美、勞”五育并舉的教育方針，內(nèi)江市某中學組織全體學生前往某勞動實踐基地開展勞動實踐活動．在此次活動中，若每位老師帶隊30名學生，則還剩7名學生沒老師帶；若每位老師帶隊31名學生，就有一位老師少帶1名學生．現(xiàn)有甲、乙兩型客車，它們的載客量和租金如表所示：甲型客車乙型客車載客量（人/輛）3530租金（元/輛）400320學校計劃此次勞動實踐活動的租金總費用不超過3000元．(1)參加此次勞動實踐活動的老師和學生各有多少人？(2)每位老師負責一輛車的組織工作，請問有哪幾種租車方案？(3)學校租車總費