微分方程穩(wěn)定性課件

數(shù)學(xué)建模

微分方程專題1數(shù)學(xué)建模微分方程專題1part1：微分方程一微分方程模型二差分方程模型2part1：微分方程一微分方程模型二差分方程模型2

在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí),我們常常不能直接得出變量之間的關(guān)系，但卻能容易得出包含變量導(dǎo)數(shù)在內(nèi)的關(guān)系式，這就是微分方程.

在現(xiàn)實(shí)社會(huì)中，又有許多變量是離散變化的，如人口數(shù)、生產(chǎn)周期與商品價(jià)格等,而且離散的運(yùn)算具有可操作性,差分正是聯(lián)系連續(xù)與離散變量的一座橋梁.3在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí),我們常常不能直接得出變量之間的關(guān)

不管是微分方程還是差分方程模型，有時(shí)無(wú)法得到其解析解(必要時(shí)，可以利用計(jì)算機(jī)求其數(shù)值解)，既使得到其解析解，尚有未知參數(shù)需要估計(jì)(這時(shí)可利用第二章參數(shù)估計(jì)方法).

而在實(shí)際問(wèn)題中，討論問(wèn)題的解的變化趨勢(shì)很重要，因此，以下只對(duì)其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性加以討論.4不管是微分方程還是差分方程模型，有時(shí)無(wú)法得到其解析解如果則稱平衡點(diǎn)x0是穩(wěn)定的.稱代數(shù)方程

f(x)=0的實(shí)根x=x0為方程(4-1)的平衡點(diǎn)(或奇點(diǎn)).它也是方程(4-1)的解.設(shè)一維微分方程模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性5如果則稱平衡點(diǎn)x0是穩(wěn)定的.稱代數(shù)方程f(x)=0的實(shí)由于在討論方程(4-1)的來(lái)代替.穩(wěn)定性時(shí)，可用一階微分方程模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性6由于在討論方程(4-1)的來(lái)代替.穩(wěn)定性時(shí)，可用一階微分方程

易知

x0也是方程(4-2)的平衡點(diǎn).(4-2)的通解為關(guān)于x0是否穩(wěn)定有以下結(jié)論：①若則x0是穩(wěn)定的；②

若則x0是不穩(wěn)定的.這個(gè)結(jié)論對(duì)于(4-1)也是成立的.一階微分方程模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性7易知x0也是方程(4-2)的平衡點(diǎn).(4-2)的代數(shù)方程組的實(shí)根x=x0,y=y0稱為方程(4-3)的平衡點(diǎn),記作P0(x0,y0).它也是方程(4-3)的解.微分方程組的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性8代數(shù)方程組的實(shí)根x=x0,y=y0稱為方程(4-3如果則稱平衡點(diǎn)P0是穩(wěn)定的.微分方程組的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性9如果則稱平衡點(diǎn)P0是穩(wěn)定的.微分方程組的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性9

下面給出判別平衡點(diǎn)P0是否穩(wěn)定的判別準(zhǔn)則.設(shè)

則當(dāng)p＞0且q＞0時(shí)，平衡點(diǎn)P0是穩(wěn)定的；當(dāng)p＜0或q＜0時(shí)，平衡點(diǎn)P0是不穩(wěn)定的.微分方程組的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性10下面給出判別平衡點(diǎn)P0是否穩(wěn)定的判別準(zhǔn)則.設(shè)穩(wěn)定性模型建模目的是研究時(shí)間充分長(zhǎng)以后過(guò)程的變化趨勢(shì)——平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。11穩(wěn)定性模型建模目的是研究時(shí)間充分長(zhǎng)以后過(guò)程的變化趨勢(shì)——平

再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再生資源（礦業(yè)等）

再生資源應(yīng)適度開發(fā)——在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。問(wèn)題及分析

在捕撈量穩(wěn)定的條件下，如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。

如果使捕撈量等于自然增長(zhǎng)量，漁場(chǎng)魚量將保持不變，則捕撈量穩(wěn)定。背景實(shí)例：捕魚業(yè)的持續(xù)收獲12再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再生資源（礦業(yè)等）再生資源應(yīng)假設(shè)

無(wú)捕撈時(shí)魚的自然增長(zhǎng)服從Logistic規(guī)律

單位時(shí)間捕撈量與漁場(chǎng)魚量成正比建模

捕撈情況下漁場(chǎng)魚量滿足r~固有增長(zhǎng)率,N~最大魚量h(x)=Ex,E~捕撈強(qiáng)度x(t)~漁場(chǎng)魚量，產(chǎn)量模型13假設(shè)無(wú)捕撈時(shí)魚的自然增長(zhǎng)服從Logistic規(guī)律單位時(shí)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性判斷x0穩(wěn)定,可得到穩(wěn)定產(chǎn)量x1穩(wěn)定,

漁場(chǎng)干枯E~捕撈強(qiáng)度r~固有增長(zhǎng)率產(chǎn)量模型14平衡點(diǎn)穩(wěn)定性判斷x0穩(wěn)定,可得到穩(wěn)定產(chǎn)量x1穩(wěn)定,漁圖解法P的橫坐標(biāo)x0~平衡點(diǎn)y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的縱坐標(biāo)h~產(chǎn)量產(chǎn)量最大f與h交點(diǎn)Phmx0*=N/2P*y=E*x控制漁場(chǎng)魚量為最大魚量的一半產(chǎn)量模型－最大產(chǎn)量15圖解法P的橫坐標(biāo)x0~平衡點(diǎn)y=rxhPx0y0y=h(x效益模型假設(shè)

魚銷售價(jià)格p

單位捕撈強(qiáng)度費(fèi)用c

單位時(shí)間利潤(rùn)穩(wěn)定平衡點(diǎn)求E使R(E)最大漁場(chǎng)魚量收入T=ph(x)=pEx支出S=cE16效益模型假設(shè)魚銷售價(jià)格p單位捕撈強(qiáng)度費(fèi)用c單位時(shí)間利潤(rùn)對(duì)于k階差分方程F(n;xn,xn+1,…,xn+k)=0(4-6)若有xn=x(n),滿足F(n;x(n),x(n+1),…,x(n+k))=0,則稱xn=x(n)是差分方程(4-6)的解,包含k個(gè)任意常數(shù)的解稱為(4-6)的通解,x0,x1,…,xk-1為已知時(shí)稱為(4-6)的初始條件,通解中的任意常數(shù)都由初始條件確定后的解稱為(4-6)的特解.差分方程模型17對(duì)于k階差分方程F(n;xn,xn+1,…,xn

若x0,x1,…,xk－1已知，則形如xn+k=g(n;xn,xn+1,…,xn+k-1)的差分方程的解可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn).

若有常數(shù)a是差分方程(4-6)的解，即F(n;a,a,…,a)=0,則稱

a是差分方程(4-6)的平衡點(diǎn).

又對(duì)差分方程(4-6)的任意由初始條件確定的解

xn=x(n)都有xn→a(n→∞),則稱這個(gè)平衡點(diǎn)a是穩(wěn)定的.差分方程模型18若x0,x1,…,xk－1已知，則形如

一階常系數(shù)線性差分方程

xn+1+axn=b,

(其中a,b為常數(shù)，且a≠-1,0)的通解為xn=C(-

a)n+b/(a+1)

易知b/(a+1)是其平衡點(diǎn)，由上式知，當(dāng)且僅當(dāng)|a|＜1時(shí)，b/(a+1)是穩(wěn)定的平衡點(diǎn).差分方程模型19一階常系數(shù)線性差分方程差分方程模型19

二階常系數(shù)線性差分方程xn+2+axn+1+bxn=r,其中a,b,r為常數(shù).

當(dāng)r=0時(shí)，它有一特解x*=0；

當(dāng)r≠0，且a+b+1≠0時(shí)，它有一特解x*=r/(a+b+1).

不管是哪種情形，x*是其平衡點(diǎn).設(shè)其特征方程

2+a

+b=0的兩個(gè)根分別為

=

1,

=

2.差分方程模型20二階常系數(shù)線性差分方程當(dāng)r=0時(shí)，它有一

①當(dāng)

1,

2是兩個(gè)不同實(shí)根時(shí)，二階常系數(shù)線性差分方程的通解為xn=x*+C1(

1)n+C2(

2)n;

②當(dāng)

1,2=

是兩個(gè)相同實(shí)根時(shí)，二階常系數(shù)線性差分方程的通解為xn=x*+(C1+C2n)

n;

則差分方程模型21①當(dāng)1,2是兩個(gè)不同實(shí)根時(shí)，二階常系數(shù)線性③當(dāng)

1,2=

(cos

+isin

)是一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)，二階常系數(shù)線性差分方程的通解為xn=x*+

n(C1cosn

+C2sinn

).

易知，當(dāng)且僅當(dāng)特征方程的任一特征根|

i|＜1時(shí),平衡點(diǎn)x*是穩(wěn)定的.差分方程模型22③當(dāng)1,2=(cos+isin)是對(duì)于一階非線性差分方程xn+1=f(xn)其平衡點(diǎn)x*由代數(shù)方程x=f(x)解出.

為分析平衡點(diǎn)x*的穩(wěn)定性,將上述差分方程近似為一階常系數(shù)線性差分方程時(shí),上述近似線性差分方程與原非線性差分方程的穩(wěn)定性相同.

因此當(dāng)時(shí),x*是穩(wěn)定的；當(dāng)時(shí),x*是不穩(wěn)定的.當(dāng)差分方程模型23對(duì)于一階非線性差分方程其平衡點(diǎn)x*由代數(shù)方程x=f(x問(wèn)題供大于求現(xiàn)象商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定價(jià)格下降減少產(chǎn)量增加產(chǎn)量?jī)r(jià)格上漲供不應(yīng)求描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律數(shù)量與價(jià)格在振蕩市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型24問(wèn)供大于求現(xiàn)商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定當(dāng)不穩(wěn)gx0y0P0fxy0xk~第k時(shí)段商品數(shù)量；yk~第k時(shí)段商品價(jià)格消費(fèi)者的需求關(guān)系生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系供應(yīng)函數(shù)需求函數(shù)f與g的交點(diǎn)P0(x0,y0)~平衡點(diǎn)一旦xk=x0，則yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0

模型建立25gx0y0P0fxy0xk~第k時(shí)段商品數(shù)量；yk~第k時(shí)段設(shè)x1偏離x0P0是穩(wěn)定平衡點(diǎn)P0是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)

蛛網(wǎng)模型

穩(wěn)定性分析26設(shè)x1偏離x0P0是穩(wěn)定平衡點(diǎn)P0是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)蛛網(wǎng)xy0fgy0x0P0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P1P2P3P4xy0y0x0P0fg曲線斜率穩(wěn)定性分析27xy0fgy0x0P0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y在P0點(diǎn)附近用直線近似曲線P0穩(wěn)定P0不穩(wěn)定方程模型方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致穩(wěn)定性分析28在P0點(diǎn)附近用直線近似曲線P0穩(wěn)定P0不穩(wěn)定方程模型方

~商品數(shù)量減少1單位,價(jià)格上漲幅度

~價(jià)格上漲1單位,(下時(shí)段)供應(yīng)的增量

~消費(fèi)者對(duì)需求的敏感程度

~生產(chǎn)者對(duì)價(jià)格的敏感程度

小,有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定

小,有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定xk~第k時(shí)段商品數(shù)量；yk~第k時(shí)段商品價(jià)格經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋29~商品數(shù)量減少1單位,價(jià)格上漲幅度~價(jià)格上漲11.使

盡量小，如

=0

以行政手段控制價(jià)格不變2.使

盡量小，如

=0靠經(jīng)濟(jì)實(shí)力控制數(shù)量不變xy0y0gfxy0x0gf需求曲線變?yōu)樗焦?yīng)曲線變?yōu)樨Q直結(jié)果解釋－政府干預(yù)301.使盡量小，如=0以行政手段控制價(jià)格不變2.

生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時(shí)段和前一時(shí)段的價(jià)格決定下一時(shí)段的產(chǎn)量。生產(chǎn)者管理水平提高設(shè)供應(yīng)函數(shù)為需求函數(shù)不變二階線性常系數(shù)差分方程模型的推廣31生產(chǎn)者