固體物理學例題課件

補充例題03

試做出簡單立方晶格、面心立方晶格和體心立方晶格的維格納—塞茨原胞(Wingner-Seitz)

WS原胞——由某一個格點為中心做出最近各點和次近各點連線的中垂面——這些包圍的空間為維格納—塞茨原胞補充例題03試做出簡單立方晶格、面心立方晶格和補充例題03試做出簡單立方晶格、面心立方晶格和補充例題01

做出石墨烯Graphene的原胞Graphene(石墨烯)的兩種原胞取法，每個原胞有2個碳原子Graphene補充例題01做出石墨烯Graphene的原胞Gr補充例題01做出石墨烯Graphene的原胞Gr補充例題02

做出石墨Graphite的原胞

石墨原胞取法，每層2個原子，取兩層原胞有4個碳原子GraphiteA層B層補充例題02做出石墨Graphite的原胞石墨補充例題02做出石墨Graphite的原胞石墨簡單立方的WS原胞——原點和6個近鄰格點連線的垂直平分面圍成的立方體簡單立方的WS原胞——原點和6個近鄰格點連線的垂直平分面圍成簡單立方的WS原胞——原點和6個近鄰格點連線的垂直平分面圍成面心立方晶格的WS原胞——為原點和12個近鄰格點連線的垂直平分面圍成的正十二面體

面心立方晶格的WS原胞——為原點和12個近鄰格點連線的垂直面心立方晶格的WS原胞——為原點和12個近鄰格點連線的垂直體心立方的WS原胞——為原點和8個近鄰格點連線的垂直平分面圍成的正八面體，和沿立方軸的6個次近鄰格點連線的垂直平分面割去八面體的六個角，形成的14面體（截角八面體）其中八個面是正六邊形，六個面是正四邊形

體心立方的WS原胞——為原點和8個近鄰格點連線的垂直平分面圍體心立方的WS原胞——為原點和8個近鄰格點連線的垂直平分面圍習題1.2習題1.1習題1.3晶格常數(shù)為a的簡立方晶格，與正格矢R正交的晶面族指數(shù)是什么？晶面間距d是？習題1.4繪畫石墨烯的普通原胞和WS原胞習題1.2習題1.1習題1.3晶格常數(shù)為a的簡立方晶格，習題1.2習題1.1習題1.3晶格常數(shù)為a的簡立方晶格，a1a2a3-a3-a2-a1四指數(shù)晶向指數(shù)，取與坐標軸的垂直截距，而非平行四邊形截距。[1,0,-1,0]a1a2-a2-a1[1,1/2,0]

[2,1,0]三指數(shù)晶向指數(shù)取與坐標軸的平行四邊形截距(坐標)。（為取指數(shù)方便，例子中紅色的晶向的表示矢量可以任意伸縮）六角晶格特殊的晶面指數(shù)表示

a1a2a3-a3-a2-a1四指數(shù)晶向指數(shù)，取與坐標a1a2a3-a3-a2-a1四指數(shù)晶向指數(shù)，取與坐標習題1.7證明：體心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是體心立方。習題1.8

證明：倒格子矢量垂直于密勒指數(shù)為(h1h2h3)的晶面系。習題1.6(試用倒格矢關系證明)習題1.5計算二維六角的倒格子基矢，畫出其1BZ習題1.7證明：體心立方晶格的倒格子是面心立習題1.7證明：體心立方晶格的倒格子是面心立習題二提示1)：提示2)：習題二提示1)：提示2)：習題二提示1)：提示2)：習題二提示1)：提示2)：雙原子鏈：M=m:得到等質量一維雙原子鏈：

雙原子鏈：M=m:得到等質量一維雙原子鏈：雙原子鏈：M=m:得到等質量一維雙原子鏈：等質量一維雙原子鏈：

一維單原子鏈：

等價性？等質量一維雙原子鏈相當于取單原子鏈原胞兩倍為晶胞，對應1BZ大小減半，單原子鏈超出部分的色散曲線折疊入1BZ成為光學支，保持1BZ總格波模式為“N=原子數(shù)”-----------這也是為什么使用原胞概念.等質量一維雙原子鏈：一維單原子鏈：等價性？等質量一維等質量一維雙原子鏈：一維單原子鏈：等價性？等質量一維練習3.1解釋概念格波色散關系聲子練習3.1解釋概念練習3.1解釋概念練習3.1解釋概念幾種簡單情況下振動模式密度的表示

例1：計算一維單原子鏈的振動模式密度?！畲箢l率振動模式密度定義：一維情況下每個波矢占據寬度單位長度里的波矢密度：dq長度里的波矢數(shù)：幾種簡單情況下振動模式密度的表示例1：計算一維單原子幾種簡單情況下振動模式密度的表示例1：計算一維單原子考慮到一個頻率可以有兩個值振動模式密度考慮到一個頻率可以有兩個值振動模式密度考慮到一個頻率可以有兩個值振動模式密度考慮到一維單原子鏈的振動模式密度一維單原子鏈的振動模式密度一維單原子鏈的振動模式密度一維單原子鏈的振動模式密度類似的，一維雙原子鏈的振動模式密度類似的，一維雙原子鏈的振動模式密度類似的，一維雙原子鏈的振動模式密度類似的，一維雙幾種簡單情況下振動模式密度的表示

例2：計算三維長聲學波在彈性波近似下的振動模式密度。其中彈性波色散關系，由于波速(色散關系)與傳播方向q無關，故在q空間等頻面為球面，球殼體積：彈性波態(tài)密度呈現(xiàn)拋物線形。10/36直接由態(tài)密度定義，dn=密度*體積1.幾種簡單情況下振動模式密度的表示例2：計算三維長聲學幾種簡單情況下振動模式密度的表示例2：計算三維長聲學由于波速(色散關系)與傳播方向q無關，故在q空間等頻面為球面，ds積分即該球面面積：于是：方法2.直接利用公式：由于波速(色散關系)與傳播方向q無關，故在q空間等頻面為球面由于波速(色散關系)與傳播方向q無關，故在q空間等頻面為球面固體物理教程--王矜奉習題3.10習題3.1固體物理教程--王矜奉習題3.10習題3.1固體物理教程--王矜奉習題3.10習題3.1固體物理教程色散關系沒有方向性(qx,qy

無區(qū)分),等頻率面在二維情況下為圓環(huán)，圓環(huán)周長為：

例3：

N個相同原子組成二維簡單晶格，面積為S，用徳拜模型計算比熱,證明其低溫下與T2正比。證：徳拜模型使用彈性波近似，色散關系為w=vq。qxqyq二維晶格有兩支格波，一支橫波、一支縱波，速度分別為vL,vT。令色散關系沒有方向性(qx,qy無區(qū)分),等頻率面在二維情色散關系沒有方向性(qx,qy無區(qū)分),等頻率面在二維情先確定德拜頻率wD：熱容表示為，二維格波總模式數(shù)2N,把態(tài)密度和德拜頻率wD帶入熱容公式：做變量代換,先確定德拜頻率wD：熱容表示為，二維格波總模式數(shù)2N先確定德拜頻率wD：熱容表示為，二維格波總模式數(shù)2N熱容表示為，高溫時

，對積分內只保留x的一階小量,

與經典熱容理論一致.低溫時

，熱容與溫度平方成正比.熱容表示為，高溫時，對積分內只保留x的一階小量,熱容表示為，高溫時，對積分內只保留x的一階小量,固體物理教程--王矜奉習題3.10習題3.2其中ds為該支格波的等頻面，由于題中色散關系沒有方向性，故為球面：推廣可以證明：如果色散關系提示：二維三維一維固體物理教程--王矜奉習題3.10習題3.2其中ds為固體物理教程--王矜奉習題3.10習題3.2其中ds為習題3.3對一維簡單晶格(一維單原子鏈)，按照徳拜模型，求晶格熱容；并證明高溫熱容為常數(shù)NkB,低溫熱容正比于T。固體物理教程--王矜奉習題3.13注：徳拜模型即使用彈性波近似，色散關系為w=vq。習題3.3對一維簡單晶格(一維單原子鏈)，按照徳拜習題3.3對一維簡單晶格(一維單原子鏈)，按照徳拜色散關系沒有方向性(qx,qy

無區(qū)分),等頻率面在二維情況下為圓環(huán)，圓環(huán)周長為：

例3：

N個相同原子組成二維簡單晶格，面積為S，用徳拜模型計算比熱,證明其低溫下與T2正比。證2：徳拜模型使用彈性波近似，色散關系為w=vq。qxqyq色散關系沒有方向性(qx,qy無區(qū)分),等頻率面在二維情色散關系沒有方向性(qx,qy無區(qū)分),等頻率面在二維情二維簡單晶格共有2支格波：二維簡單晶格共有2支格波：二維簡單晶格共有2支格波：二維簡單晶格共有2支格波：

例1：分別以定義和態(tài)密度計算自由電子的0K費米能。

方法1電子濃度例1：分別以定義和態(tài)密度計算自由電子的0K費米能。例1：分別以定義和態(tài)密度計算自由電子的0K費米能。方法2E到E+dE間電子數(shù)總電子數(shù)方法2E到E+dE間電子數(shù)總電子數(shù)方法2E到E+dE間電子數(shù)總電子數(shù)習題：證明二維自由電子的態(tài)密度(除以單位面積)為常數(shù);一維自由電子的態(tài)密度(除以單位長度)~E-1/2；（并求出各自費米面處態(tài)密度）習題：證明習題：證明習題：證明自由電子模型，溫度T下電子滿足:TESTtest

例1：分別以定義和態(tài)密度計算自由電子的0K費米能。

TEST自由電子模型，溫度T下電子滿足:TEST例1：分別自由電子模型，溫度T下電子滿足:TEST例1：分別

例題1計算一維單原子鏈的緊束縛能帶

(L=na)對于中心原子，只考慮左右近鄰，Rs=±a利用具有相同的值例題1計算一維單原子鏈的緊束縛能帶(L=na例題1計算一維單原子鏈的緊束縛能帶(L=nak=0k=0k=0k=0

例題2計算簡單立方晶格中由原子s態(tài)形成的能帶

s態(tài)的波函數(shù)是球對稱的，在各個方向重疊積分相同,

對于不同方向的近鄰，有相同的值具有相同的值s態(tài)波函數(shù)為偶宇稱能量本征值例題2計算簡單立方晶格中由原子s態(tài)形成的能帶例題2計算簡單立方晶格中由原子s態(tài)形成的能帶補充例題03

試做出簡單立方晶格、面心立方晶格和體心立方晶格的維格納—塞茨原胞(Wingner-Seitz)

WS原胞——由某一個格點為中心做出最近各點和次近各點連線的中垂面——這些包圍的空間為維格納—塞茨原胞補充例題03試做出簡單立方晶格、面心立方晶格和補充例題03試做出簡單立方晶格、面心立方晶格和補充例題01

做出石墨烯Graphene的原胞Graphene(石墨烯)的兩種原胞取法，每個原胞有2個碳原子Graphene補充例題01做出石墨烯Graphene的原胞Gr補充例題01做出石墨烯Graphene的原胞Gr補充例題02

做出石墨Graphite的原胞

石墨原胞取法，每層2個原子，取兩層原胞有4個碳原子GraphiteA層B層補充例題02做出石墨Graphite的原胞石墨補充例題02做出石墨Graphite的原胞石墨簡單立方的WS原胞——原點和6個近鄰格點連線的垂直平分面圍成的立方體簡單立方的WS原胞——原點和6個近鄰格點連線的垂直平分面圍成簡單立方的WS原胞——原點和6個近鄰格點連線的垂直平分面圍成面心立方晶格的WS原胞——為原點和12個近鄰格點連線的垂直平分面圍成的正十二面體

面心立方晶格的WS原胞——為原點和12個近鄰格點連線的垂直面心立方晶格的WS原胞——為原點和12個近鄰格點連線的垂直體心立方的WS原胞——為原點和8個近鄰格點連線的垂直平分面圍成的正八面體，和沿立方軸的6個次近鄰格點連線的垂直平分面割去八面體的六個角，形成的14面體（截角八面體）其中八個面是正六邊形，六個面是正四邊形

體心立方的WS原胞——為原點和8個近鄰格點連線的垂直平分面圍體心立方的WS原胞——為原點和8個近鄰格點連線的垂直平分面圍習題1.2習題1.1習題1.3晶格常數(shù)為a的簡立方晶格，與正格矢R正交的晶面族指數(shù)是什么？晶面間距d是？習題1.4繪畫石墨烯的普通原胞和WS原胞習題1.2習題1.1習題1.3晶格常數(shù)為a的簡立方晶格，習題1.2習題1.1習題1.3晶格常數(shù)為a的簡立方晶格，a1a2a3-a3-a2-a1四指數(shù)晶向指數(shù)，取與坐標軸的垂直截距，而非平行四邊形截距。[1,0,-1,0]a1a2-a2-a1[1,1/2,0]

[2,1,0]三指數(shù)晶向指數(shù)取與坐標軸的平行四邊形截距(坐標)。（為取指數(shù)方便，例子中紅色的晶向的表示矢量可以任意伸縮）六角晶格特殊的晶面指數(shù)表示

a1a2a3-a3-a2-a1四指數(shù)晶向指數(shù)，取與坐標a1a2a3-a3-a2-a1四指數(shù)晶向指數(shù)，取與坐標習題1.7證明：體心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是體心立方。習題1.8

證明：倒格子矢量垂直于密勒指數(shù)為(h1h2h3)的晶面系。習題1.6(試用倒格矢關系證明)習題1.5計算二維六角的倒格子基矢，畫出其1BZ習題1.7證明：體心立方晶格的倒格子是面心立習題1.7證明：體心立方晶格的倒格子是面心立習題二提示1)：提示2)：習題二提示1)：提示2)：習題二提示1)：提示2)：習題二提示1)：提示2)：雙原子鏈：M=m:得到等質量一維雙原子鏈：

雙原子鏈：M=m:得到等質量一維雙原子鏈：雙原子鏈：M=m:得到等質量一維雙原子鏈：等質量一維雙原子鏈：

一維單原子鏈：

等價性？等質量一維雙原子鏈相當于取單原子鏈原胞兩倍為晶胞，對應1BZ大小減半，單原子鏈超出部分的色散曲線折疊入1BZ成為光學支，保持1BZ總格波模式為“N=原子數(shù)”-----------這也是為什么使用原胞概念.等質量一維雙原子鏈：一維單原子鏈：等價性？等質量一維等質量一維雙原子鏈：一維單原子鏈：等價性？等質量一維練習3.1解釋概念格波色散關系聲子練習3.1解釋概念練習3.1解釋概念練習3.1解釋概念幾種簡單情況下振動模式密度的表示

例1：計算一維單原子鏈的振動模式密度?！畲箢l率振動模式密度定義：一維情況下每個波矢占據寬度單位長度里的波矢密度：dq長度里的波矢數(shù)：幾種簡單情況下振動模式密度的表示例1：計算一維單原子幾種簡單情況下振動模式密度的表示例1：計算一維單原子考慮到一個頻率可以有兩個值振動模式密度考慮到一個頻率可以有兩個值振動模式密度考慮到一個頻率可以有兩個值振動模式密度考慮到一維單原子鏈的振動模式密度一維單原子鏈的振動模式密度一維單原子鏈的振動模式密度一維單原子鏈的振動模式密度類似的，一維雙原子鏈的振動模式密度類似的，一維雙原子鏈的振動模式密度類似的，一維雙原子鏈的振動模式密度類似的，一維雙幾種簡單情況下振動模式密度的表示

例2：計算三維長聲學波在彈性波近似下的振動模式密度。其中彈性波色散關系，由于波速(色散關系)與傳播方向q無關，故在q空間等頻面為球面，球殼體積：彈性波態(tài)密度呈現(xiàn)拋物線形。10/36直接由態(tài)密度定義，dn=密度*體積1.幾種簡單情況下振動模式密度的表示例2：計算三維長聲學幾種簡單情況下振動模式密度的表示例2：計算三維長聲學由于波速(色散關系)與傳播方向q無關，故在q空間等頻面為球面，ds積分即該球面面積：于是：方法2.直接利用公式：由于波速(色散關系)與傳播方向q無關，故在q空間等頻面為球面由于波速(色散關系)與傳播方向q無關，故在q空間等頻面為球面固體物理教程--王矜奉習題3.10習題3.1固體物理教程--王矜奉習題3.10習題3.1固體物理教程--王矜奉習題3.10習題3.1固體物理教程色散關系沒有方向性(qx,qy

無區(qū)分),等頻率面在二維情況下為圓環(huán)，圓環(huán)周長為：

例3：

N個相同原子組成二維簡單晶格，面積為S，用徳拜模型計算比熱,證明其低溫下與T2正比。證：徳拜模型使用彈性波近似，色散關系為w=vq。qxqyq二維晶格有兩支格波，一支橫波、一支縱波，速度分別為vL,vT。令色散關系沒有方向性(qx,qy無區(qū)分),等頻率面在二維情色散關系沒有方向性(qx,qy無區(qū)分),等頻率面在二維情先確定德拜頻率wD：熱容表示為，二維格波總模式數(shù)2N,把態(tài)密度和德拜頻率wD帶入熱容公式：做變量代換,先確定德拜頻率wD：熱容表示為，二維格波總模式數(shù)2N先確定德拜頻率wD：熱容表示為，二維格波總模式數(shù)2N熱容表示為，高溫時

，對積分內只保留x的一階小量,

與經典熱容理論一致.低溫時

，熱容與溫度平方成正比.熱容表示為，高溫時，對積分內只保留x的一階小量,熱容表示為，高溫時，對積分內只保留x的一階小量,固體物理教程--王矜奉習題3.10習題3.2其中ds為該支格波的等頻面，由于題中色散關系沒有方向性，故為球面：推廣可以證明：如果色散關系提示：二維三維一維固體物理教程--王矜奉習題3.10習題3.2其中ds為固體物理教程--王矜奉習題3.10習題3.2其中ds為習題3.3對一維簡單晶格(一維單原子鏈)，按照徳拜模型，求晶格熱容；并證明高溫熱容為常數(shù)NkB,低溫熱容正比于T。固體物理教程--王矜奉習題3.13注：徳拜模型即使用彈性波近似，色散關系為w=vq。習題3.3對一維簡單晶格(一維單原子鏈)，按照徳拜習題3.3對一維簡單晶格(一維單原子鏈)，按照徳拜色散關系沒有方向性(qx,qy

無區(qū)分),等頻率面在二維情況下為圓環(huán)，圓環(huán)周長為：

例3：

N個相同原子組成二維簡單晶格，面積為S，用徳拜模型計算比熱,