第01講數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法（原卷版）

第六章《數(shù)列》第01講數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法1．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念(1)數(shù)列的定義：一般地，把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式．若已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1n＝1，,Sn－Sn－1n≥2.))(3)數(shù)列的遞推公式如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．2．?dāng)?shù)列與函數(shù)數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號(hào)n，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項(xiàng)an，記為an＝f(n)．也就是說(shuō)，當(dāng)自變量從1開(kāi)始，按照從小到大的順序依次取值時(shí)，對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是數(shù)列{an}．3．?dāng)?shù)列的分類(lèi)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型滿(mǎn)足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an＋1>an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1<an常數(shù)列an＋1＝an4．?dāng)?shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法．一．由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式例1．（1）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）．A．4043 B．4042 C．4041 D．2021（2）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．（3）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，則a6＝()A．3×44B．3×44＋1C．44D．44＋1（4）若數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為＝，=（

）A． B． C． D．（5）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式_________.（6）已知數(shù)列滿(mǎn)足條件，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)__________.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的關(guān)系式，再求通項(xiàng)公式．(2)Sn與an關(guān)系問(wèn)題的求解思路方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解．方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．(3)由Sn求通項(xiàng)公式an的步驟=1\*GB3①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1.=2\*GB3②當(dāng)n≥2時(shí)，根據(jù)Sn寫(xiě)出Sn－1，化簡(jiǎn)an＝Sn－Sn－1.=3\*GB3③如果a1也滿(mǎn)足當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1的通項(xiàng)公式，那么數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝Sn－Sn－1；否則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式要分段表示為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))二．由數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式命題點(diǎn)1累加法例2．（1）在數(shù)列中，，，則（

）．A．659 B．661 C．663 D．665（2）在數(shù)列中，，，則（

）A．958 B．967 C．977 D．997（3）在數(shù)列中，，，則等于（

）A． B．C． D．（4）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)到與一般的等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列．如數(shù)列1，3，6，10，前后兩項(xiàng)之差組成新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列、這樣的數(shù)列稱(chēng)為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為2，3，5，8，12，17，23則該數(shù)列的第100項(xiàng)為（

）A．4862 B．4962 C．4852 D．4952（5）已知數(shù)列滿(mǎn)足則求___________（6）數(shù)列中，且，則_________.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：根據(jù)形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的函數(shù))的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式時(shí)，常用累加法求出an－a1與n的關(guān)系式，進(jìn)而得到an的通項(xiàng)公式．命題點(diǎn)2累乘法例3．（1）若數(shù)列滿(mǎn)足，則（

）A．2 B．6 C．12 D．20（2）已知，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是（

）A． B． C． D．n（3）已知數(shù)列滿(mǎn)足，(，)，則數(shù)列的通項(xiàng)（

）A． B．C． D．（4）若數(shù)列的首項(xiàng)，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)______.（5）數(shù)列滿(mǎn)足：，，則數(shù)列的通項(xiàng)________________.（6）數(shù)列滿(mǎn)足：，，則的通項(xiàng)公式為_(kāi)____________.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：根據(jù)形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求積的函數(shù))的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式時(shí)，常用累乘法求出eq\f(an,a1)與n的關(guān)系式，進(jìn)而得到an的通項(xiàng)公式．命題點(diǎn)3構(gòu)造法例4．（1）已知數(shù)列中，，則等于（

）A． B．C． D．（2）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，則=（

）A．80 B．100 C．120 D．143（3）已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____．（4）數(shù)列{an}滿(mǎn)足，，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)__________.（5）已知在數(shù)列中，，，則______．（6）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，則_______.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：給定數(shù)列的遞推關(guān)系，我們常需要對(duì)其做變形構(gòu)建新數(shù)列（新數(shù)列的通項(xiàng)容易求得），常見(jiàn)的遞推關(guān)系和變形方法如下：（1），取倒數(shù)變形為；（2），變形為，也可以變形為．三．?dāng)?shù)列的性質(zhì)命題點(diǎn)1數(shù)列的單調(diào)性例5．（1）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．（2）在數(shù)列中，，，則（）A．?dāng)?shù)列單調(diào)遞減 B．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增C．?dāng)?shù)列先遞減后遞增 D．?dāng)?shù)列先遞增后遞減（3）已知數(shù)列，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．此數(shù)列沒(méi)有最大項(xiàng) B．此數(shù)列的最大項(xiàng)是C．此數(shù)列沒(méi)有最小項(xiàng) D．此數(shù)列的最小項(xiàng)是（4）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?shù)列滿(mǎn)足，則“數(shù)列為遞增數(shù)列”是“函數(shù)為增函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件（5）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則取最大值時(shí)，___________.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：解決數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題的三種方法(1)用作差比較法，根據(jù)an＋1－an的符號(hào)判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列．(2)用作商比較法，根據(jù)eq\f(an＋1,an)(an>0或an<0)與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷．(3)函數(shù)法．命題點(diǎn)2數(shù)列的周期性例6．（1）數(shù)列滿(mǎn)足，，則等于（

）A． B． C．2 D．（2）數(shù)列滿(mǎn)足，則的值為（

）A． B．1 C．3 D．2（3）已知數(shù)列滿(mǎn)足，若，則（

）A． B． C． D．2（4）若數(shù)列滿(mǎn)足，，則該數(shù)列的前2021項(xiàng)的乘積是（

）A． B． C．2 D．1（5）若，，（是正整數(shù)），寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)后猜測(cè)______．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：解決數(shù)列周期性問(wèn)題根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項(xiàng)，通過(guò)觀察歸納出數(shù)列的周期，進(jìn)而求有關(guān)項(xiàng)的值或者前n項(xiàng)的和．命題點(diǎn)3數(shù)列的最值例7．（1）已知數(shù)列滿(mǎn)足，為正整數(shù)，則該數(shù)列的最大值是（

）A． B． C． D．（2）已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，則的最小值是（

）A．15 B．14 C．11 D．6（3）等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列，則的最小值為（

）A． B． C． D．1（4）已知數(shù)列滿(mǎn)足，則當(dāng)取得最大值時(shí)的值為（

）A．2020 B．2024 C．2022 D．2023（5）若，則數(shù)列的最大項(xiàng)是第______項(xiàng)．（6）知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列的最大項(xiàng)為第______項(xiàng)．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法(1)函數(shù)法，利用函數(shù)求最值．(2)利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)確定最大項(xiàng)，利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)確定最小項(xiàng)．(3)比較法：若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)>0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或當(dāng)an>0時(shí)，\f(an＋1,an)>1))，則an＋1>an，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，所以數(shù)列{an}的最小項(xiàng)為a1；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)<0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或當(dāng)an>0時(shí)，\f(an＋1,an)<1))，則an＋1<an，則數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，所以數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為a1.1．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，則（

）A． B． C． D．2．設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（

）A．4045 B．4043 C．4041 D．20213．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，則（

）A．30 B．31 C．22 D．234．已知數(shù)列滿(mǎn)足，對(duì)任意的都有，則（

）A． B． C． D．5．在數(shù)列中，，則（

）A． B． C． D．6．若數(shù)列滿(mǎn)足且，則數(shù)列的第100項(xiàng)為（

）A．2 B．3 C． D．7．在數(shù)列中，且，則它的前項(xiàng)和（

）A． B． C． D．8．?dāng)?shù)列中，，，則（）A．32 B．62 C．63 D．649．在數(shù)列中，若，，則（

）A． B．C． D．10．已知為遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．11．設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．12．在數(shù)列中，，，則的值為（

）A．5 B． C． D．以上都不對(duì)13．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，，則（

）A． B． C． D．14．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足，且則的值為（）A．B．C．2D．115．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿(mǎn)足，則的最小的一項(xiàng)是（）A． B． C． D．16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，則數(shù)列的最大項(xiàng)為（

）A．第5項(xiàng) B．第6項(xiàng) C．第7項(xiàng) D．第8項(xiàng)17．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)和為，則取得最小值時(shí)，的值等于（

）A．10 B．9 C．8 D．418．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，則的最小值為（

）19．在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（

）．A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)C．無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)20．在數(shù)列中，已知，，則（

）A． B． C． D．21．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．22．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．23．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（

）A． B． C． D．24．已知數(shù)列滿(mǎn)足：，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，記為的前n項(xiàng)和，則（

）A．3 B．4 C．5 D．625．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足，則等于（

）A． B． C． D．26．若數(shù)列滿(mǎn)足，若恒成立，則的最大值（

）A． B． C． D．327．已知數(shù)列滿(mǎn)足且，則（

）A．是等差數(shù)列 B．是等比數(shù)列 C．是等比數(shù)列D．是等比數(shù)列28．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．是等比數(shù)列C． D．29．已知數(shù)列滿(mǎn)足，若對(duì)任意的正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．30．記數(shù)列前項(xiàng)和為，且數(shù)列滿(mǎn)足，，則（

）A． B． C． D．31．已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)且滿(mǎn)足，，數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則（

）A． B． C．2 D．332．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（

）A． B．0 C． D．33．已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿(mǎn)足．若對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．， B． C．， D．34．已知數(shù)列{}的通項(xiàng)為，則“”是“，”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件35．（多選）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，，則有（

）A．Sn＝3n－1 B．{Sn}為等比數(shù)列C．a(chǎn)n＝2·3n－1 D．36．（多選）數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則（）A．是遞增數(shù)列 B．C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)或4時(shí)，取得最大值37．（多選）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A． B．C． D．38．（多選）下列數(shù)列中，單調(diào)遞增的數(shù)列是（

）A． B．C． D．39．（多選）數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．是遞增數(shù)列 B．C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)或4時(shí)，取得最大值40．（多選）已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（

）．A．是遞增數(shù)列 B．是遞減數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為和41．（多選）