第五講函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性講義解析版

第五講：函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性【考點(diǎn)梳理】1．增函數(shù)與減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋?1)如果對于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值，，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)．(2)如果對于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值，，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．2．函數(shù)的最大值與最小值一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足：(1)對于任意的，都有；存在，使得，那么，我們稱是函數(shù)的最大值．(2)對于任意的，都有；存在，使得，那么我們稱是函數(shù)的最小值．3．函數(shù)單調(diào)性的兩個(gè)等價(jià)結(jié)論設(shè)則(1)(或在上單調(diào)遞增。(2)(或?f(x)在上單調(diào)遞減．4．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)都有，那么函數(shù)是偶函數(shù)關(guān)于對稱奇函數(shù)如果函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)都有，那么函數(shù)是奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱5.奇偶函數(shù)的性質(zhì)(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反．(2)在公共定義域內(nèi)(ⅰ)兩個(gè)奇函數(shù)的和函數(shù)是奇函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的積函數(shù)是偶函數(shù).(ⅱ)兩個(gè)偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)是偶函數(shù).(ⅲ)一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積函數(shù)是奇函數(shù).(3)若是奇函數(shù)且處有意義，則.6．函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱為這個(gè)函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做的最小正周期．(3)常見結(jié)論：若，則；若，則；若，則.【典型題型講解】考點(diǎn)一：函數(shù)的單調(diào)性【典例例題】例1.若定義在R上的函數(shù)f(x)對任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b，總有>0成立，則必有（

）A．f(x)在R上是增函數(shù) B．f(x)在R上是減函數(shù)C．函數(shù)f(x)先增后減 D．函數(shù)f(x)先減后增【答案】A【詳解】由>0知f(a)-f(b)與a-b同號，即當(dāng)a<b時(shí)，f(a)<f(b)，或當(dāng)a>b時(shí)，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函數(shù).故選：A.【方法技巧與總結(jié)】函數(shù)單調(diào)性的判斷方法①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結(jié)論”進(jìn)行判斷．②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性．③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．【變式訓(xùn)練】1.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___.【答案】解：和在上都是單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，由，可得，解得，即．故答案為：2.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覍θ我鈨蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有，則不等式的解集為（

）．A． B． C． D．【答案】B【詳解】不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，故是上的增函?shù)，原不等式等價(jià)于，解得．故選：B.3．（2022·廣東惠州·一模）已知，則當(dāng)時(shí)，與的大小關(guān)系是（

）A．B．C．D．不確定【答案】B【詳解】解：由函數(shù)，得函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增，作出函數(shù)和的圖像，如圖所示，令，得或，結(jié)合圖像可知，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，綜上所述，當(dāng)時(shí)，.故選：B.4.“”是“函數(shù)是在上的單調(diào)函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】依題意，函數(shù)是在上的單調(diào)函數(shù)，由于在上遞增，所以在上遞增，所以且，即.所以“”是“函數(shù)是在上的單調(diào)函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B5．已知函數(shù)若，，，且僅有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)镽，有，即，即與同號，所以在R上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，則，故；因?yàn)樵谔幍那芯€方程為，即，又，所以與沒有公共點(diǎn)，若函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)與圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)，則與有且僅有1個(gè)公共點(diǎn)，且為，所以在處的切線的斜率k大于等于1，而，得，即，解得，綜上，的取值范圍為.故選：C.6．若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)榉侄魏瘮?shù)在上的單調(diào)函數(shù)，由于開口向上，故在上單調(diào)遞增，故分段函數(shù)在在上的單調(diào)遞增，所以要滿足：，解得：故選：B考點(diǎn)二：判斷函數(shù)的奇偶性【典例例題】例1.已知函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)，且在是單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在是單調(diào)遞增C．是偶函數(shù)，且在是單調(diào)遞減 D．是奇函數(shù)，且在是單調(diào)遞減【答案】B【詳解】解：定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，又與在定義域上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增；故選：B【方法技巧與總結(jié)】函數(shù)的奇偶性的判斷：圖像法、解析式法；常見函數(shù)的奇偶性。【變式訓(xùn)練】1．下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】是奇函數(shù)，但整個(gè)定義域內(nèi)不是減函數(shù)，故A錯(cuò)誤；在定義域（0，+∞）上是減函數(shù)，但不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；在R上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)，故C正確；在R上是奇函數(shù)但不是單調(diào)函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C.2．（2022·廣東·二模）存在函數(shù)使得對于都有，則函數(shù)可能為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)閷τ诙加?，且為偶函?shù)，所以必為偶函數(shù).對于A：為奇函數(shù).故A錯(cuò)誤；對于B：為非奇非偶函數(shù).故B錯(cuò)誤；對于C：對于.定義域?yàn)镽.因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù).故C錯(cuò)誤；對于D：對于.定義域?yàn)镽.因?yàn)?，所以為偶函?shù).故D正確；故選：D3．（2022·廣東湛江·一模）下列函數(shù)是奇函數(shù)，且函數(shù)值恒小于1的是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)；因?yàn)?，又，所以，故A正確；因?yàn)?，故是非奇非偶函?shù)，故B錯(cuò)誤；函數(shù)滿足為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，故D錯(cuò)誤，故選：A.4．（2022·廣東廣東·一模）下列四個(gè)函數(shù)中，以為周期且在上單調(diào)遞增的偶函數(shù)有（

）A． B．C． D．【答案】．BD【詳解】對于選項(xiàng)A，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)；對于選項(xiàng)B，結(jié)合的圖象性質(zhì)，易知是以為周期且在上單調(diào)遞增的偶函數(shù)，故B正確；對于選項(xiàng)C，結(jié)合的圖象性質(zhì)，易知沒有周期性，故C錯(cuò)；對于選項(xiàng)D，令，易知是以為周期且在上單調(diào)遞增的偶函數(shù)，因也是單調(diào)遞增的，所以是以為周期且在上單調(diào)遞增的偶函數(shù)，故D正確.故選：BD.考點(diǎn)三：函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用【典例例題】例1．（2022·廣東中山·高三期末）（多選）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)是偶函數(shù) B．函數(shù)是奇函數(shù)C．函數(shù)在上為增函數(shù) D．函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮緼D【詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，又由，所以函數(shù)是偶函數(shù)，所以A正確，B錯(cuò)誤；由函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，，可得，所以在區(qū)間單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，可得，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，所以函數(shù)的值域?yàn)?，所以C不正確，D正確.故選：AD.例2．（2022·廣東汕尾·高三期末）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，函數(shù)的解析式常用來研究函數(shù)圖象的特征，函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】．A【詳解】所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除B，D；又，排除C，故選：A．【方法技巧與總結(jié)】函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合時(shí)，注意函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，以及奇偶函數(shù)圖像的對稱性.【變式訓(xùn)練】1.（2021·廣東汕頭·高三期末）已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，若f(-1)=0，則滿足f(m)>0的實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．【答案】．【詳解】由題意，偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以在上單調(diào)遞減，，的實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：2．（2022·廣東·金山中學(xué)高三期末）已知函數(shù)，則________．【答案】．2【詳解】令，則函數(shù)定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以所以.故答案為：2.3．（2022·廣東深圳·一模）已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則_________．【答案】.-2【詳解】由題設(shè)，，又，所以.故答案為：.4．（2022·廣東韶關(guān)·一模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則【答案】.-1【詳解】由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)得，，又當(dāng)時(shí)，，所以，所以5．（2022·廣東·一模）已知函數(shù)，，則圖象如圖的函數(shù)可能是(

)A． B． C． D．【答案】．D【詳解】由圖可知，該函數(shù)為奇函數(shù)，和為非奇非偶函數(shù)，故A、B不符；當(dāng)x＞0時(shí)，單調(diào)遞增，與圖像不符，故C不符；為奇函數(shù)，當(dāng)x→＋時(shí)，∵y＝的增長速度快于y＝lnx的增長速度，故＞0且單調(diào)遞減，故圖像應(yīng)該在x軸上方且無限靠近x軸，與圖像相符.故選：D.6．（2022·廣東湛江·一模）下列函數(shù)是奇函數(shù)，且函數(shù)值恒小于1的是（

）A． B．C． D．【答案】．A【詳解】因?yàn)椋院瘮?shù)為奇函數(shù)；因?yàn)?，又，所以，故A正確；因?yàn)?，故是非奇非偶函?shù)，故B錯(cuò)誤；函數(shù)滿足為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋蔇錯(cuò)誤，故選：A.7．（2022·廣東廣州·一模）若函數(shù)的大致圖象如圖，則的解析式可能是(

) B． C． D．【答案】．D【詳解】由圖可知函數(shù)定義域?yàn)閧x|x≠0}，由此排除A；該函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，則該函數(shù)為奇函數(shù)，需滿足f(x)＋f(－x)＝0，對于B項(xiàng)：f(x)＋f(－x)≠0，故排除B；C和D均滿足f(x)＋f(－x)＝0，對于C：，當(dāng)x→＋∞時(shí)，→0，故，∵y＝增長的速率比y＝增長的速率慢，∴，即圖像在x軸上方無限接近于x軸正半軸，與題意不符，故排除C.綜上，D選項(xiàng)正確.故選：D.8．（2022·廣東廣東·一模）函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】．C【詳解】，所以是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，排除A，B.當(dāng)且無限趨近于0時(shí)，趨近于，排除D，故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.考點(diǎn)四：函數(shù)的對稱性和周期性【典例例題】例1．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，若對任意的，且，恒有，則稱函數(shù)具有對稱性，其中點(diǎn)為函數(shù)的對稱中心，研究函數(shù)的對稱中心，求（

）A．2022 B．4043 C．4044 D．8086【答案】C【詳解】令函數(shù)，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可得的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，即當(dāng)，可得，設(shè)，所以所以.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】（1）若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（2）若函數(shù)的圖象有兩個(gè)對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（3）若函數(shù)有一條對稱軸和一個(gè)對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東珠?！じ呷谀┮阎嵌x域在上的奇函數(shù)，且滿足．當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C．4 D．【答案】A【詳解】解：由得，所以是周期為2的周期函數(shù)，且是定義域在上的奇函數(shù)，所以，所以，故選：A．2．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且是奇函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù) B．的圖象關(guān)于直線對稱C．是奇函數(shù) D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱【答案】C【詳解】由可得2是函數(shù)的周期，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，，所以是奇函數(shù)，故選：C.2．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且對任意恒成立，又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且，則（

）A．2021 B． C．2022 D．【答案】C【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，即函數(shù)為奇函數(shù)；因?yàn)閷θ我猓加?，令，得，又函?shù)為奇函數(shù)，故，解得，則，即，所以4是函數(shù)的一個(gè)周期；所以.故選：C.3．已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則下面結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】，時(shí)，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞增；，，綜上所述，.故選：A.4．已知函數(shù)滿足對任意恒成立，又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)閷θ我?，都有令得解得則即所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，即函數(shù)為奇函數(shù)，所以所以所以8是函數(shù)的一個(gè)周期，所以故選：D.5．已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且，且當(dāng)時(shí)，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，因此函?shù)的周期為，所以，又函數(shù)是上的奇函數(shù)，所以，所以，即，所以原式，又當(dāng)時(shí)，，可得，因此原式.故選：B．6．已知是定義在R上的奇函數(shù)，若為偶函數(shù)且，則（

）A． B． C． D．6【答案】C【詳解】解：因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，又為偶函數(shù)，所以、且，則，即，所以，即是以為周期的周期函數(shù)，由，所以，，，所以；故選：C【鞏固練習(xí)】一、單選題1．下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】是奇函數(shù)，但整個(gè)定義域內(nèi)不是減函數(shù)，故A錯(cuò)誤；在定義域（0，+∞）上是減函數(shù)，但不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；在R上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)，故C正確；在R上是奇函數(shù)但不是單調(diào)函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C.2．已知函數(shù)，不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞減，則等價(jià)于，解得，即原不等式的解集為.故選：B.3．已知函數(shù)在區(qū)間的最大值是M，最小值是m，則的值等于(

)A．0 B．10 C． D．【答案】C【詳解】令，則，∴f(x)和g(x)在上單調(diào)性相同，∴設(shè)g(x)在上有最大值，有最小值.∵，∴，∴g(x)在上為奇函數(shù)，∴，∴，∴，.故選：C.4．已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．-11 B．-8 C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，由知，函數(shù)是以4為周期的函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，則.故選：A.二、多選題5．下面關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，說法正確的是（

）A．的定義域?yàn)?B．的值域?yàn)镃．在定義域上單調(diào)遞減 D．點(diǎn)是圖象的對稱中心【答案】AD【詳解】解：由向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到，因?yàn)殛P(guān)于對稱，所以關(guān)于對稱，故D正確；函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，故A正確，B錯(cuò)誤；函數(shù)在和上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；故選：AD6．已知定義在R上的偶函數(shù)的圖像是連續(xù)的，，在區(qū)間上是增函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的一個(gè)周期為6 B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．的圖像關(guān)于直線對稱 D．在區(qū)間上共有100個(gè)零點(diǎn)【答案】BC【詳解】因?yàn)?，取，得，故，又是偶函?shù)，所以，所以，故，即的一個(gè)周期為12，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；又在區(qū)間上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上為減函數(shù)，由周期性可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B項(xiàng)正確；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以的圖像關(guān)于y軸對稱，由周期性可知的圖像關(guān)于直線對稱，故C項(xiàng)正確；因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上為減函數(shù)，，由周期性可知，在區(qū)間上，，而區(qū)間上有168個(gè)周期，故在區(qū)間上有336個(gè)零點(diǎn)，又，所以在區(qū)間上有337個(gè)零點(diǎn)，由為偶函數(shù)，可知在區(qū)間上有674個(gè)零點(diǎn)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：BC項(xiàng)．7．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)對任意都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且對任意的，且，都有，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 D．【答案】ABCD【詳解】對于選項(xiàng)A：由函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，根據(jù)函數(shù)的圖象變換，可得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以A正確；對于選項(xiàng)B：由函數(shù)對任意都有，可得，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，因?yàn)?，可得，則，所以B正確；又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，即，所以，可得，所以函數(shù)關(guān)于中心對稱，所以C正確；由對任意的，且，都有，可得函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，故函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)，故，所以D正確.故選：ABCD8．已知函數(shù)，，，則（

）A．的圖象關(guān)于對稱B．的圖象沒有對稱中心C．對任意的，的最大值與最小值之和為D．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】ACD【詳解】由題意知的定義域?yàn)?，因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于對稱，故A