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圓的標(biāo)準方程授課人:宋立波班級:二年五班、十二班復(fù)習(xí)提問:圓的定義是什么?答:到定點的距離等于定長的點的集合r.C.圓的標(biāo)準方程設(shè)問題:求圓心是C(a,b),半徑為r的圓的方程。P={MMC=r}(x-a)+(y-b)=r222兩邊平方得:r.C解:Oxy所以:√(x-a)+(y-b)=r22設(shè)M(x,y)是圓上任意一點,M.根據(jù)定義得圓C集合為例1求以C(1,3)為圓心,并且和直線3x—4y—7=0相切的圓的方程。516│3×1-4×3-7│32+(-4)2解:因為圓C和直線3x-4y-7=0相切。所以半徑r等于圓心C到這條直線的距離。根據(jù)點到直線的距離公式,得r==25625因此,所求的圓的方程是(x-1)2+(y-3)2=y0xC1、已知:原點為圓心,點M(1,3)在圓上,求:
。?xM(1,3)Oy解:x+y=1022教師設(shè)計問題所以經(jīng)過點M的切線方程是
x+3y=10設(shè):切線斜率為K,半徑OM的斜率為3.因為圓的切線垂直于過切點的半徑,于是k=312、猜測:已知:圓的方程是x2+y2=r2,求經(jīng)過圓上一點M(x0,y0)的切線的方程。xMOy解:設(shè)切線的斜率為k,半徑OM的斜率為k1。因為圓的切線垂直于過切點的半徑,于是k=。-
k11∵k1=
x0y0∴x0k=-y0經(jīng)過點M的切線方程是y-y0=(x-x0)x0-y0整理得:x0x+y0y=x02+y02∵x02+y02=r2∴x0x+y0y=r2.AB例3圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖。該圓拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建造時每隔4m需用一個支柱支撐,求支柱A2P2的長度(精確到0.01m)。圓心在y軸上。設(shè)圓心的坐標(biāo)是(0,b),圓的半徑是r設(shè)圓的方程是x2+(y-b)2=r2因為P(0,4),B(10,0)都在圓上,所以得到方程組{02+(4-b)2=r2102+(0-b)2=r2xyOPA1A4A2A3P2建立直角坐標(biāo)系如圖所示。解:把點P2的橫坐標(biāo)X=-2代入這個圓的方程,得(-2)2+(y+10.5)2=14.52y+10.5=(因為P2的縱坐標(biāo)y>0,所以方根取正值)于是y=≈14.36-10.5≈3.86答:支柱A2P2
的長度約為3.86m。14.52-
(-2)214.52-
(-2)2解得b=-10.5,r2=14.52所以這個圓的方程是x2+(y+10.5)2=r2練習(xí):A、(x+1)2+(y-2)2=5(1,-2)01y0x1、圓C與已知圖形中的圓關(guān)于原點對稱,則圓C的方程是()y=x±2B、(x—1)2+(y-2)2=5C、(x+1)2+(y+2)2=5D、(x—1)2+(y+2)2=5A2、已知圓的方程是x2+y2=1,則斜率等于1的切線方程是xAOyB課堂小結(jié):1、要求學(xué)生掌握圓的標(biāo)準方程及應(yīng)用2、數(shù)學(xué)思想方法:解析法、待定系數(shù)法、由
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