《應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》課件第十一章 數(shù)列和數(shù)學(xué)歸納法

第十一章數(shù)列和數(shù)學(xué)歸納法

本章將首先學(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)列、等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、公式及其實(shí)際應(yīng)用，然后介紹數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例.

第一節(jié)數(shù)列的概念第二節(jié)等差數(shù)列第三節(jié)等比數(shù)列*第四節(jié)數(shù)學(xué)歸納法及簡(jiǎn)單應(yīng)用舉例第一節(jié)數(shù)列的概念一、數(shù)列定義先看下面的例子：

一個(gè)細(xì)胞在一晝夜內(nèi)參分裂8次（一個(gè)分裂成兩個(gè)），記錄每次分裂后所得到的細(xì)胞的個(gè)數(shù)，并按其先后次序排列成一列數(shù)：（1）2，4，8，16，32，64，128，256；《莊子·天下篇》有一段話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，我們可得每日所剩下的棰的長(zhǎng)度記錄為：

把正整數(shù)按照奇數(shù)取正號(hào)，偶數(shù)取負(fù)號(hào)的規(guī)律依次排列成一列數(shù)：無窮多個(gè)1排列成一列數(shù)：上述例子中的一列數(shù)就是數(shù)列，下面給出數(shù)列的定義.定義二、數(shù)列的分類

1.按項(xiàng)數(shù)分類項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列稱為有窮數(shù)列，項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列稱為無窮數(shù)列，如開頭例子中的數(shù)列（1）為有窮數(shù)列，而數(shù)列(2),(3),(4),(5),(6)都是無窮數(shù)列.

2.按數(shù)列值大小分類一個(gè)數(shù)列，若從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它前面的一項(xiàng)，即那么這個(gè)數(shù)列稱為遞增數(shù)列，若從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它前面的一項(xiàng)，即

，那么這個(gè)數(shù)列稱為遞減數(shù)列.如開頭例子中數(shù)列(1),(4)是遞增數(shù)列，而數(shù)列(2),(3)是遞減數(shù)列.

一個(gè)數(shù)列，若它的項(xiàng)忽大忽小，那么這個(gè)數(shù)列稱為擺動(dòng)數(shù)列，如開頭例子中數(shù)列（5）.

一個(gè)數(shù)列，若每項(xiàng)的數(shù)值都相等，那么這個(gè)數(shù)列稱為常數(shù)數(shù)列，如開頭例子中數(shù)列（6）.習(xí)題思考題：課堂練習(xí)題：答案答案答案答案答案第二節(jié)等差數(shù)列一、等差數(shù)列的定義觀察下面兩個(gè)數(shù)列：

定義如果一個(gè)數(shù)列，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前面一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為公差，二、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式這就是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.三、等差中項(xiàng)定義等差中項(xiàng).四、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式圖11-1鋼管正放示意圖11-2鋼管倒放示意習(xí)題思考題：課堂練習(xí)題：答案答案答案答案答案第三節(jié)等比數(shù)列一、等比數(shù)列的定義又如下面的數(shù)列:定義

如果一個(gè)數(shù)列,從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前面一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列稱為等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)稱為公比,二、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式由等比數(shù)列的定義，可知：

這就是等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.它表明了四個(gè)量之間的關(guān)系，只要知道其中四個(gè)量中任意三個(gè)量，就可以求出另一個(gè)量.三、等比中項(xiàng)定義等比中項(xiàng).證明四、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式習(xí)題思考題：課堂練習(xí)題：答案答案答案答案答案*第四節(jié)數(shù)學(xué)歸納法及簡(jiǎn)單應(yīng)用舉例

在數(shù)學(xué)中，有不少關(guān)于正整數(shù)的命題，證明這類命題的常用方法就是下面我們要研究的“數(shù)學(xué)歸納法”.一、數(shù)學(xué)歸納法

這種由一系列有限的特殊事例得出一結(jié)論的推理方法，通常叫做歸納法.用歸納法可以幫助我們從具體事例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，但是應(yīng)該注意，僅根據(jù)一系列有限的特殊事例所得出的一般結(jié)論有時(shí)是不正確的，例如一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是：數(shù)學(xué)歸納法.證明證明二、數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用舉例下面舉一些用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的例子.證明注意證明證明解圖11-6例6猜想注意習(xí)題思考題：課堂練習(xí)題：答案答案答案答案部分思考題解答：返回思考題解答：返回思考題解答：返回課堂練習(xí)題解答：返回課堂練習(xí)題解答：返回思考題解答：返回思考題解答：返回課堂練習(xí)題解答：返回課堂練習(xí)題解答：返回課堂練習(xí)題解答：返回思考題解