運籌學(xué)考研真題詳解

運籌學(xué)考研真題詳解1線性規(guī)劃問題的每一個基解對應(yīng)可行域的一個頂點。（??）[北京交通大學(xué)2010研]【答案】×查看答案【解析】基解不一定是可行解，基可行解一一對應(yīng)著可行域的頂點。2若線性規(guī)劃問題的可行解為最優(yōu)解，則該可行解必定是基可行解。（??）[南京航空航天大學(xué)2011研]【答案】√查看答案【解析】基解且可行才有可能是最優(yōu)解。3如果線性規(guī)劃問題無最優(yōu)解，則它也一定沒有基可行解。（??）[東北財經(jīng)大學(xué)2008研]【答案】×查看答案【解析】當(dāng)問題的可行域是無界的，因而有無界的可行解。此時該問題無有限最優(yōu)解，但是存在即可行解。4若x（1）、x（2）分別是某一線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解，則x＝λ1x（1）＋λ2x（2）也是該線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解，其中λ1、λ2為正的實數(shù)。（??）[北京交通大學(xué)2010研]【答案】×查看答案【解析】必須規(guī)定λ1＋λ2＝1，且λ1，λ2≥0。當(dāng)某一線性規(guī)劃問題存在兩個最優(yōu)解時，則它一定存在無數(shù)個最優(yōu)解，最優(yōu)解為x＝λ1x（1）＋λ2x（2）且λ1＋λ2＝1，λ1，λ2≥0。二、選擇題1若線性規(guī)劃問題沒有可行解，可行解集是空集，則此問題（??）。[暨南大學(xué)2019研]A．沒有無窮多最優(yōu)解B．沒有最優(yōu)解C．有無界解D．有最優(yōu)解【答案】B查看答案【解析】有最優(yōu)解的前提是有可行解，該題無可行解，則也無最優(yōu)解。2單純形法中，關(guān)于松弛變量和人工變量，以下說法正確的是（??）。[中山大學(xué)2008研]A．在最后的解中，松弛變量必須為0，人工變量不必為0B．在最后的解中，松弛變量不必為0，人工變量必須為0C．在最后的解中，松弛變量和人工變量都必須為0D．在最后的解中，松弛變量和人工變量都不必為0【答案】B查看答案【解析】松弛變量是在約束不等式號的左端加入的，在最后的解中，其值可以不必為0；人工變量是在原約束條件為等式的情況下加入的，只有其變量中不再含有非零的人工變量時，原問題才有解，所有最后的解中人工變量必須為0。如果人工變量不為0，則原問題無可行解。3（多選）線性規(guī)劃可行域為封閉的有界區(qū)域，最優(yōu)解可能是（??）。[中山大學(xué)2007研]A．唯一的最優(yōu)解B．一個以上的最優(yōu)解C．目標(biāo)函數(shù)無界D．沒有可行解【答案】AB查看答案【解析】可行域非空，故有可行解；可行域封閉，故目標(biāo)函數(shù)有界，有一個或多個最優(yōu)解。4（多選）線性規(guī)劃的最優(yōu)解有以下幾種可能？（??）[中山大學(xué)2008研]A．唯一最優(yōu)解B．多個最優(yōu)解C．沒有最優(yōu)解，因為目標(biāo)函數(shù)無界D．沒有最優(yōu)解，因為沒有可行解【答案】ABCD查看答案【解析】線性規(guī)劃問題的每個基可行解對應(yīng)可行域的一個頂點，若現(xiàn)行規(guī)劃問題有最優(yōu)解，必在某個頂點上得到，當(dāng)該頂點唯一時，有唯一最優(yōu)解；當(dāng)目標(biāo)函數(shù)在多個頂點上達(dá)到最大值時，則該問題有無限多個最優(yōu)解；目標(biāo)函數(shù)無界，稱線性規(guī)劃問題具有無界解，此時無最優(yōu)解；使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大的可行解稱為最優(yōu)解，故沒有可行解就沒有最優(yōu)解。三、填空題1對于線性規(guī)劃問題：MaxZ＝CX；AX≤b，X≥0，若B＝（P1，P2，…，Pm）為A中m個線性無關(guān)的列向量，且為該LP的一個可行基，則對應(yīng)于基B的基可行解為：______，該基可行解為最優(yōu)解的條件是：______。[武漢大學(xué)2005研]【答案】X＝（x1，x2，…，xm，0，…，0）T；對于一切j＝m＋1，…，n，有σj≤0【解析】若B＝（P1，P2，…，Pm）為A中m個線性無關(guān)的列向量，此時令非基變量xm＋1＝xm＋2＝…＝xn＝0，這時變量的個數(shù)等于線性方程組的個數(shù)，用高斯消去法，可求得對應(yīng)于基B的基可行解為X＝（x1，x2，…，xm，0，…，0）T。由最優(yōu)解的判別定理，若對于一切j＝m＋1，…，n，有σj≤0，則所求得的基可行解為最優(yōu)解。2當(dāng)極大化線性規(guī)劃模型達(dá)到最優(yōu)時，某非基變量xj的檢驗數(shù)為σj，當(dāng)價格系數(shù)為cj的變化量為?cj時，原線性規(guī)劃問題最優(yōu)解保持不變的條件是______。[武漢大學(xué)2005研]【答案】σj＋?cj≤0【解析】xj為非基變量，其價格系數(shù)變化?cj后，其檢驗數(shù)變?yōu)棣襧′＝σj＋?cj，極大化線性規(guī)劃模型最優(yōu)解保持不變的條件是σj′＝σj＋?cj≤0。3若X為某極大化線性規(guī)劃問題的一個基可行解，用非基變量表達(dá)其目標(biāo)函數(shù)的形式為則X為該LP最優(yōu)解的條件是：______。[武漢大學(xué)2006研]【答案】σj≤0【解析】求極大化問題，則當(dāng)所有非基變量的檢驗數(shù)均為非正時，即得最優(yōu)解。線性規(guī)劃最優(yōu)時要求非基變量檢驗數(shù)小于等于0，所以σj≤0。4兩階段法中，若第一階段目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值不為0，則原問題______。[北京科技大學(xué)2011研]【答案】無可行解查看答案【解析】第一階段目標(biāo)函數(shù)值不是0，則說明最優(yōu)解的基變量中含有非零的人工變量，表明原線性規(guī)劃