2021年主成分分析法及其在SPSS中的操作

木歐陽光明*創(chuàng)編 木歐陽光明*創(chuàng)編 2021.03.07—、主成分分析基本原理歐陽光明(2021.03.07)概念：主成分分析是把原來多個變量劃為少數(shù)幾個綜合指標的—種統(tǒng)計分析方法。從數(shù)學角度來看，這是一種降維處理技術(shù)。思路：一個研究對象，往往是多要素的復雜系統(tǒng)。變量太多無疑合增加分析冋題的難度和復雜性，利用原變量之間的相關關系，用較少的新變量代替原來較多的變量，并使這些少數(shù)變量盡可能多的保留原來較多的變量所反應的信息，這樣冋題就簡單化了。原理：假定有n個樣本，每個樣本共有p個變量，構(gòu)成—個nxp階的數(shù)據(jù)矩陣，記原變量指標為xl,x2,…，xp,設它們降維處理后的綜合指標，即新變量為zl,z2,z3,...,zm(m<p),貝?。菹禂?shù)lij的確定原則：zi與zj(i為；i,j=l,2,m)相互無關;zl是xl,x2,…，xP的一切線性組合中方差最大者，z2是與zl不相關的xl,x2,…，xP的所有線性組合中方差最大者；zni是與zl,z2,……,zm-1都不相關的xl,x2,…xP,的所有線性組合中方差最大者。新變量指標zl,z2,…，zm分別稱為原變量指標xl,x2,…，xP的第1,第2,第m主成分。從以上的分析可以看出，主成分分析的實質(zhì)就杲確定原來變量xj(j=l,2,…，p)在諸主成分zi(i=l,2,…，m)上的荷載lij*歐陽光明*創(chuàng)編 2021.03.07水歐陽光明*創(chuàng)編 水歐陽光明*創(chuàng)編 2021.03.07**歐陽光明*創(chuàng)編 2021.03.072021.03.072021.03.07**歐陽光明*創(chuàng)編 2021.03.07*歐陽光明*創(chuàng)編(i=l,2,...?m;j=l,2,p)o從數(shù)學上可以證明，它們分別杲相關矩陣m個較大的特征值所對應的特征向量。二、主成分分析的計算步驟1、計算相關系數(shù)矩陣rij(i,j=l,2,…，p)為原變量xi與xj的相關系數(shù),rij=rji,其計算公式為2、計算特征僵解特征方程PUU/Z-X(Jacobi)解特征方程PUU/Z-X(Jacobi)求出特征值，并使其按大小順展琲列;分別求出對應于特彳芒直的特征向工其中耳表示向卍的第j個分量。要求兇，即3使其按大小順展琲列;分別求出對應于特彳芒直的特征向工其中耳表示向卍的第j個分量。要求兇，即3、計算主成分貢獻率及累計貢獻率貢獻率:累計貢獻率:—般取累計貢獻率達85%-95%—般取累計貢獻率達85%-95%的特征所對應的第1、第2 第m(ni<p)個主成分。4、計算主成分載荷5、各主成分得分三、主成分分析法在SPSS中的操作K指標數(shù)據(jù)選取、收集與錄入(表1)2、Analyze-^DataReduction-^FactorAnalysis,彈出FactorAnalysis對話框：3、把指標數(shù)據(jù)選入Variables框，Descriptives:CorrelationMatrix框組中選中Coefficients,然后點擊Continue,返回FactorAnalysis對話框，單擊OK。注意：SPSS在調(diào)用FactorAnalyze過程進行分析時,SPSS會自動對原始數(shù)據(jù)逬行標準化處理,所以在得到計算結(jié)果后的變量都是指經(jīng)過標準化處理后的變量，但SPSS并不直接給出標準化后的數(shù)據(jù),如需要得到標準化數(shù)據(jù)，則需調(diào)用Descriptives過程進行計算。從表3可知GDP與工業(yè)增加值，第三產(chǎn)業(yè)增加值、固定資產(chǎn)投資、基本建設投資.社會消費品零售總額、地方財政收入這幾個指標存在著極其顯著的關系，與海關出□總額存在著顯著關系?？梢娫S多變量之間直接的相關性比較強，證明他們存在信息上的重疊。主成分個數(shù)提取原則為主成分對應的特征值大于1的前m個主成分。特征值在某種程度上可以被看成是表示主成分影響力度大小的指標，如果特征值小于1,說明該主成分的解釋力度還不如直接引入—個原變量的平均解釋力度大,因此一般可以用特征值大于1作為納入標準。通過表4（方差分解主成分提取分析）可知，提取2個主成分，即m=2,從表5（初始因子載荷矩陣）可知GDP、工業(yè)增加值.第三產(chǎn)業(yè)增加值、固定資產(chǎn)投資、基本建設投資、社會消費品零售總額、海關出□總額、地方財政收入在第一主成分上有較高載荷，說明第—主成分基本反映了這些指標的信息;人均GDP和農(nóng)業(yè)增加值指標在第二主成分上有較高載荷，說明第二主成分基本反映了人均GDP和農(nóng)業(yè)增加值兩個指標的信息。所以提取兩個主成分是可以基本反映全部指標的信息，所以決定用兩個新變量來代替原來的十個變

量。但這兩個新變量的表達還不能從輸出窗□中直接得到，因為"ComponentMatrix,^是指初始因子載荷矩陣，每一個載荷量表示主成分與對應變量的相關系數(shù)。用表5（主成分載荷矩陣）中的數(shù)據(jù)除以主成分相對應的特征值開平方根便得到兩個主成分中每個指標所對應的系數(shù)。將初始因子載荷矩陣中的兩列數(shù)據(jù)輸入（可用復制粘貼的方法）到數(shù)據(jù)編輯窗口（為變量B1、B2）,然后利用"Transfonn^ComputeVariable",在ComputeVariable對話框中輸入“A1=B1/SQR（7.22）“［注:第二主成分SQR后的括號中填1.235,即可得到特征向量A1（見表6）。同理，可得到特征向量A2。將得到的特征向量與標準化后的數(shù)據(jù)相乘，然后就可以得出主成分表達式［注:因本例只是為了說明如何在SPSS進行主成分分析,故在此不對提取的主成分進行命名，有興i的讀者可自主成分分析,故在此不對提取的主成分進行命名，有興i的讀者可自行命名。標準化：通過Analyze—DescriptiveStatistics^Descriptives對話框來實現(xiàn):彈出Descriptives對話框后，把Xl—X10選入Variables框，在Savestandardizedvaluesasvariables前的方框打上鉤，點擊"OK",經(jīng)標準化的數(shù)據(jù)合自動填入數(shù)據(jù)窗□中，并以Z開頭命名。以每個主成分所對應的特征值占所提取主成分總的特征值之和的比例作為權(quán)重計算主成分綜合模型，即用第一主成分F1中每個指標所對應的系數(shù)乘上第一主成分F1所對應的貢獻率再除以所提取兩個主成分的兩個貢獻率之和，然后