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福建省羅源縣第一中學(xué)2024屆高一上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為A. B.C. D.2.已知是定義在上的奇函數(shù),且在上單調(diào)遞增,若,則的解集為()A. B.C. D.3.下列說(shuō)法不正確的是()A.方向相同大小相等的兩個(gè)向量相等B.單位向量模長(zhǎng)為一個(gè)單位C.共線向量又叫平行向量D.若則ABCD四點(diǎn)共線4.已知實(shí)數(shù)a、b,滿足,,則關(guān)于a、b下列判斷正確的是()A.a<b<2 B.b<a<2C.2<a<b D.2<b<a5.若直線與直線垂直,則()A.6 B.4C. D.6.已知函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.A. B.C. D.7.已知sinα+cosα=,則sin的值為()A.- B.C.- D.8.已知,則角的終邊所在的象限是()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限9.函數(shù)fxA.2π B.-πC.π D.π10.已知函數(shù),則()A.5 B.2C.0 D.1二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.如圖,在四面體ABCD中,AB⊥平面BCD,△BCD是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形.若AB=4,則四面體ABCD外接球的表面積為_(kāi)_______12.已知向量的夾角為,,則__________.13.已知,則函數(shù)的最大值為_(kāi)__________,最小值為_(kāi)__________.14.有關(guān)數(shù)據(jù)顯示,2015年我國(guó)快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾約為400萬(wàn)噸.有專(zhuān)家預(yù)測(cè),如果不采取措施,快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾年平均增長(zhǎng)率將達(dá)到50%.由此可知,如果不采取有效措施,則從___________年(填年份)開(kāi)始,快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾超過(guò)4000萬(wàn)噸.(參考數(shù)據(jù):,)15.若關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.16.設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),且其定義域?yàn)?則函數(shù)在上的值域?yàn)開(kāi)_______.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.2020年初至今,新冠肺炎疫情襲擊全球,對(duì)人民生命安全和生產(chǎn)生活造成嚴(yán)重影響.在黨和政府強(qiáng)有力抗疫領(lǐng)導(dǎo)下,我國(guó)控制住疫情后,一方面防止境外疫情輸入,另一方面逐步復(fù)工復(fù)產(chǎn),減輕經(jīng)濟(jì)下降對(duì)企業(yè)和民眾帶來(lái)的損失.為降低疫情影響,某廠家擬在2022年舉行某產(chǎn)品的促銷(xiāo)活動(dòng),經(jīng)調(diào)查測(cè)算,該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬(wàn)件與年促銷(xiāo)費(fèi)用m萬(wàn)元(m≥0)滿足x=4?.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本為8萬(wàn)元,生產(chǎn)成本為16萬(wàn)元/萬(wàn)件,廠家將產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為萬(wàn)元/萬(wàn)件(產(chǎn)品年平均成本)的1.5倍.(1)將2022年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷(xiāo)費(fèi)用m萬(wàn)元的函數(shù);(2)該廠家2022年的促銷(xiāo)費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大?18.設(shè)集合.(1)當(dāng)時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)當(dāng)時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.函數(shù)的定義域?yàn)?定義域?yàn)?(1)求;(2)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.在密閉培養(yǎng)環(huán)境中,某類(lèi)細(xì)菌的繁殖在初期會(huì)較快,隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加,繁殖速度又會(huì)減慢.在一次實(shí)驗(yàn)中,檢測(cè)到這類(lèi)細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量(單位:百萬(wàn)個(gè))與培養(yǎng)時(shí)間(單位:小時(shí))的關(guān)系為:根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖如下:為了描述從第小時(shí)開(kāi)始細(xì)菌數(shù)量隨時(shí)間變化的關(guān)系,現(xiàn)有以下三種模型供選擇:①,②,③(1)選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型,并說(shuō)明理由;(2)利用和這兩組數(shù)據(jù)求出你選擇的函數(shù)模型的解析式,并預(yù)測(cè)從第小時(shí)開(kāi)始,至少再經(jīng)過(guò)多少個(gè)小時(shí),細(xì)菌數(shù)量達(dá)到百萬(wàn)個(gè)21.已知函數(shù),,其中a為常數(shù)當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù),判斷函數(shù)在上是增函數(shù)還是減函數(shù),并說(shuō)明理由;設(shè)函數(shù),若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】,所以.故選A2、D【解題分析】由可得,由單調(diào)性即可判定在和上的符號(hào),再由奇偶性判定在和上的符號(hào),即可求解.【題目詳解】∵即,∵在上單調(diào)遞增,∴當(dāng)時(shí),,此時(shí),當(dāng)時(shí),,此時(shí),又∵是定義在上的奇函數(shù),∴在上單調(diào)遞增,且,當(dāng)時(shí),,此時(shí),當(dāng)時(shí),,此時(shí),綜上可知,的解集為,故選:D【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的交匯,求得函數(shù)在各個(gè)區(qū)間上的符號(hào)是關(guān)鍵,考查了推理能力,屬于中檔題.3、D【解題分析】利用平面向量相等概念判斷,利用共線向量和單位向量的定義判斷.【題目詳解】根據(jù)向量相等的概念判斷正確;根據(jù)單位向量的概念判斷正確;根據(jù)共線向量的概念判斷正確;平行四邊形中,因此四點(diǎn)不共線,故錯(cuò)誤.故選:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了命題真假性的判斷及平面向量的基礎(chǔ)知識(shí),注意反例的積累,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】先根據(jù)判斷a接近2,進(jìn)一步對(duì)a進(jìn)行放縮,,進(jìn)而通過(guò)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)和基本不等式可以判斷a>2;根據(jù)b的結(jié)構(gòu),構(gòu)造函數(shù),得出函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn),進(jìn)而得到a,b的大小關(guān)系,最后再判斷b和2的大小關(guān)系,最終得到答案.【題目詳解】.構(gòu)造函數(shù):,易知函數(shù)是R上的減函數(shù),且,由,可知:,又,∴,則a>b.又∵,∴a>b>2故選:D.【題目點(diǎn)撥】對(duì)數(shù)函數(shù)式比較大小通常借助中間量,除了0和1之外,其它的中間量需要根據(jù)題目進(jìn)行分析,中間會(huì)用到指對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和放縮法;另外,構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小是比較常用的一種方法,需要我們對(duì)式子的結(jié)構(gòu)進(jìn)行仔細(xì)分析,平常注意歸納總結(jié).5、A【解題分析】由兩條直線垂直的條件可得答案.【題目詳解】由題意可知,即故選:A.6、B【解題分析】令,得,令,由,得或,作出函數(shù)的圖象,結(jié)合函數(shù)的圖象,即可求解【題目詳解】由題意,令,得,令,由,得或,作出函數(shù)的圖象,如圖所示,結(jié)合函數(shù)的圖象可知,有個(gè)解,有個(gè)解,故的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為,故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,其中令,由,得到或,作出函數(shù)的圖象,結(jié)合函數(shù)的圖象求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題7、C【解題分析】應(yīng)用輔助角公式可得,再應(yīng)用誘導(dǎo)公式求目標(biāo)三角函數(shù)的值.【題目詳解】由題設(shè),,而.故選:C8、C【解題分析】化,可知角的終邊所在的象限.【題目詳解】,將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)即可得到,角的終邊在第三象限.故選:C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了象限角的概念,屬于容易題.9、C【解題分析】由題意得ω=2,再代入三角函數(shù)的周期公式T=【題目詳解】根據(jù)三角函數(shù)的周期公式T=2π函數(shù)fx=cos故選:C10、C【解題分析】由分段函數(shù),選擇計(jì)算.【題目詳解】由題意可得.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)的求值,屬于簡(jiǎn)單題.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解題分析】由題設(shè)知,四面體ABCD的外接球也是與其同底等高的三棱柱的外接球,球心為上下底面中心連線EF的中點(diǎn),所以,所以球的半徑所以,外接球的表面積,所以答案應(yīng)填:考點(diǎn):1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征;2、空間幾何體的表面積12、【解題分析】由已知得,所以,所以答案:點(diǎn)睛:向量數(shù)量積的求法及注意事項(xiàng):(1)計(jì)算數(shù)量積的三種方法:定義、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的幾何意義,要靈活選用,和圖形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用(2)求向量模的常用方法:利用公式,將模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運(yùn)算,解題時(shí)要注意向量數(shù)量積運(yùn)算率的靈活應(yīng)用(3)利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問(wèn)題常用的方法與技巧13、①.②.【解題分析】利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性直接計(jì)算函數(shù)的最大值和最小值作答.【題目詳解】因函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,即有當(dāng)時(shí),,而當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,則,所以函數(shù)的最大值為,最小值為.故答案為:;14、2021【解題分析】根據(jù)條件列指數(shù)函數(shù),再解指數(shù)不等式得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾為萬(wàn)噸,表示從2015年開(kāi)始增加的年份數(shù),由題意可得,,得,兩邊取對(duì)數(shù)可得,∴,得,解得,∴從2015+6=2021年開(kāi)始,快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾超過(guò)4000萬(wàn)噸.故答案為:202115、【解題分析】把關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)根,轉(zhuǎn)化為曲線與直線的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn),在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出曲線與直線的圖象,結(jié)合圖象,即可求解.【題目詳解】由題意,關(guān)于方程只有一個(gè)實(shí)根,轉(zhuǎn)化為曲線與直線的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn),在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出曲線與直線的圖象,如圖所示,結(jié)合圖象可知,當(dāng)直線介于和之間的直線或與重合的直線符合題意,又由直線在軸上的截距分別為,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,其中解答中把方程的解轉(zhuǎn)化為直線與曲線的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),結(jié)合圖象求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了轉(zhuǎn)化思想,以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】∵函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),且其定義域?yàn)椤啵?,且為偶函?shù)∴,即∴∴函數(shù)在上單調(diào)遞增∴,∴函數(shù)在上的值域?yàn)楣蚀鸢笧辄c(diǎn)睛:此題主要考查函數(shù)二次函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的值域的求法,求解的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì),本題理解對(duì)稱(chēng)性很關(guān)鍵三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)3萬(wàn)元【解題分析】(1)依據(jù)題意列出該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元關(guān)于年促銷(xiāo)費(fèi)用m萬(wàn)元的解析式即可;(2)依據(jù)均值定理即可求得促銷(xiāo)費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大.【小問(wèn)1詳解】由題意知,每萬(wàn)件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格為(萬(wàn)元),x=4?則2022年的利潤(rùn)【小問(wèn)2詳解】∵當(dāng)時(shí),,∴,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)∴,當(dāng)且僅當(dāng)萬(wàn)元時(shí),(萬(wàn)元)故該廠家2022年的促銷(xiāo)費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大為29萬(wàn)元18、(1)(2)【解題分析】(1)化簡(jiǎn)集合A,B,由,得,轉(zhuǎn)化為不等式關(guān)系,解之即可;(2)由,得到或,解之即可.試題解析:(1),,,即.(2)法一:,或,即法二:當(dāng)時(shí),或解得或,于是時(shí),即19、(1);(2).【解題分析】(1)求函數(shù)的定義域,就是求使得根式有意義的自變量的取值范圍,然后求解分式不等式即可;(2)因?yàn)?,所以一定有,從而得到,要保證,由它們的端點(diǎn)值的大小列式進(jìn)行計(jì)算,即可求得結(jié)果.【題目詳解】(1)要使函數(shù)有意義,則需,即,解得或,所以;(2)由題意可知,因?yàn)?,所以,由,可求得集合,若,則有或,解得或,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)函數(shù)的定義域的求解,以及根據(jù)集合之間的包含關(guān)系確定參數(shù)的取值范圍的問(wèn)題,屬于簡(jiǎn)單題目.20、(1),理由見(jiàn)解析;(2),至少再經(jīng)過(guò)小時(shí),細(xì)菌數(shù)量達(dá)到百萬(wàn)個(gè)【解題分析】(1)分析可知,所選函數(shù)必須滿足三個(gè)條件:(ⅰ)定義域包含;(ⅱ)增函數(shù);(ⅲ)隨著自變量的增加,函數(shù)值的增長(zhǎng)速度變?。畬?duì)比三個(gè)函數(shù)模型可得結(jié)論;(2)將所選的兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,求出參數(shù)值,可得出函數(shù)模型的解析式,再由,解該不等式即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】解:依題意,所選函數(shù)必須滿足三個(gè)條件:(ⅰ)定義域包含;(ⅱ)增函數(shù);(ⅲ)隨著自變量的增加,函數(shù)值的增長(zhǎng)速度變小因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋瑫r(shí)無(wú)意義;函數(shù)隨著自變量的增加,函數(shù)值的增長(zhǎng)速度變大函數(shù)可以同時(shí)符合上述條件,所以應(yīng)該選擇函數(shù)【小問(wèn)2詳解】解:依題意知,解得,所以令,解得所以,至少再經(jīng)過(guò)小時(shí),細(xì)菌數(shù)量達(dá)到百萬(wàn)個(gè)21、(1)見(jiàn)解析;(2),【解題分析】代入a的值,求出的解析式,判斷函數(shù)的單調(diào)性即可;由題意把函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根,通過(guò)討論a的范圍,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于a的不等式組,解出即可【題目詳解】(1)由題意,當(dāng)時(shí),,則,因?yàn)?,又由在遞減,所以遞增,所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,可得函數(shù)在單調(diào)遞增函數(shù);由,得,即,若函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn),則方程有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根,化簡(jiǎn)得,即
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