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山西省太原市迎澤區(qū)五中2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.若<α<π,化簡(jiǎn)的結(jié)果是()A. B.C. D.2.根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),可以判定函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為A. B.C. D.3.函數(shù)是()A.最小正周期為的奇函數(shù) B.最小正周期為的偶函數(shù)C.最小正周期為的奇函數(shù) D.最小正周期為的偶函數(shù)4.圓的半徑為,該圓上長為的弧所對(duì)的圓心角是A. B.C. D.5.樣本,,,的平均數(shù)為,樣本,,,的平均數(shù)為,則樣本,,,,,,,的平均數(shù)為A B.C. D.6.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn),則()A. B.C. D.7.已知函數(shù),的最值情況為()A.有最大值,但無最小值 B.有最小值,有最大值1C.有最小值1,有最大值 D.無最大值,也無最小值8.函數(shù)圖象大致是()A. B.C. D.9.體育老師記錄了班上10名同學(xué)1分鐘內(nèi)的跳繩次數(shù),得到如下數(shù)據(jù):88,94,96,98,98,99,100,101,101,116.這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)是()A.98 B.99C.99.5 D.10010.設(shè),,,則a、b、c的大小關(guān)系是A. B.C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.當(dāng)時(shí),函數(shù)的值總大于,則的取值范圍是________12.已知是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)滿足,則的取值范圍是______.13.體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球面的表面積為__________.14.寫出一個(gè)周期為且值域?yàn)榈暮瘮?shù)解析式:_________15.已知函數(shù)部分圖象如圖所示,則函數(shù)的解析式為:____________16.已知向量,若,則實(shí)數(shù)的值為______三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.某校高一(1)班共有學(xué)生50人,據(jù)統(tǒng)計(jì)原來每人每年用于購買飲料的平均支出是元,經(jīng)測(cè)算和市場(chǎng)調(diào)查,若該班學(xué)生集體改飲某品牌的桶裝純凈水,則年總費(fèi)用由兩部分組成:一部分是購買純凈水的費(fèi)用,另一部分是其他費(fèi)用780元,其中純凈水的銷售價(jià)(元/桶)與年購買總量(桶)之間滿足如圖所示的關(guān)系.(Ⅰ)求與的函數(shù)關(guān)系;(Ⅱ)當(dāng)為120時(shí),若該班每年需要純凈水380桶,請(qǐng)你根據(jù)提供的信息分析一下:該班學(xué)生集體改飲桶裝純凈水與個(gè)人買飲料相比,哪一種花錢更少?18.已知點(diǎn),圓(1)求過點(diǎn)M的圓的切線方程;(2)若直線與圓相交于A,B兩點(diǎn),且弦AB的長為,求的值19.設(shè)全集,集合,,(1)當(dāng)時(shí),求;(2)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.如圖,已知三棱錐中,,,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),且為正三角形.(1)求證:平面;(2)求證:平面;(3)若,,求三棱錐的體積.21.已知為第二象限角,且(1)求與的值;(2)的值
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】利用三角函數(shù)的平方關(guān)系式,根據(jù)角的范圍化簡(jiǎn)求解即可【題目詳解】=因?yàn)椋鸡粒鸡兴詂os<0,結(jié)果為,故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用,三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)求值,考查計(jì)算能力2、D【解題分析】函數(shù),滿足.由零點(diǎn)存在定理可知函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為.故選D.點(diǎn)睛:函數(shù)的零點(diǎn)問題,常根據(jù)零點(diǎn)存在性定理來判斷,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,且有f(a)·f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),即存在c∈(a,b)使得f(c)=0,
這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根.由此可判斷根所在區(qū)間.3、A【解題分析】由題可得,根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即得.【題目詳解】∵函數(shù),∴函數(shù)為最小正周期為的奇函數(shù).故選:A.4、B【解題分析】由弧長公式可得:,解得.考點(diǎn):弧度制.5、D【解題分析】樣本,,,的總和為,樣本,,,的總和為,樣本,,,,,,,的平均數(shù)為,選D.6、D【解題分析】推導(dǎo)出,,,再由,求出結(jié)果【題目詳解】∵角的終邊經(jīng)過點(diǎn),∴,,,∴故選:D7、C【解題分析】利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),得到二次函數(shù)的單調(diào)性,即可求解最值,得到答案.【題目詳解】由題意,函數(shù),可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值,最小值為,當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值,最小值為,故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用,其中解答中熟練利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】利用函數(shù)的奇偶性排除部分選項(xiàng),再利用當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)值的正負(fù)確定選項(xiàng)即可.【題目詳解】函數(shù)f(x)定義域?yàn)?,所以函?shù)f(x)是奇函數(shù),排除BC;當(dāng)x>0時(shí),,排除D故選:A9、C【解題分析】根據(jù)分位數(shù)的定義即可求得答案.【題目詳解】這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)是.10、D【解題分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)知,,,可比較大小,【題目詳解】解:,,;故選D【題目點(diǎn)撥】在比較冪或?qū)?shù)大小時(shí),一般利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性,有時(shí)還需要借助中間值與中間值比較大小,如0,1等等二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、或,【解題分析】由指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得即可求解.【題目詳解】因?yàn)闀r(shí),函數(shù)的值總大于,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得,解得:或,故答案為:或,12、【解題分析】由題意在上單調(diào)遞減,又是偶函數(shù),則不等式可化為,則,,解得13、【解題分析】正方體體積8,可知其邊長為2,正方體的體對(duì)角線為=2,即為球的直徑,所以半徑為,所以球的表面積為=12π故答案為:12π點(diǎn)睛:設(shè)幾何體底面外接圓半徑為,常見的圖形有正三角形,直角三角形,矩形,它們的外心可用其幾何性質(zhì)求;而其它不規(guī)則圖形的外心,可利用正弦定理來求.若長方體長寬高分別為則其體對(duì)角線長為;長方體的外接球球心是其體對(duì)角線中點(diǎn).找?guī)缀误w外接球球心的一般方法:過幾何體各個(gè)面的外心分別做這個(gè)面的垂線,交點(diǎn)即為球心.三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直,且棱長分別為,則其外接球半徑公式為:.14、【解題分析】根據(jù)函數(shù)的周期性和值域,在三角函數(shù)中確定一個(gè)解析式即可【題目詳解】解:函數(shù)的周期為,值域?yàn)?,則的值域?yàn)?,故答案為:15、【解題分析】先根據(jù)圖象得到振幅和周期,即求得,再根據(jù)圖象過,求得,得到解析式.【題目詳解】由圖象可知,,故,即.又由圖象過,故,解得,而,故,所以.故答案為:.16、;【解題分析】由題意得三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ)該班學(xué)生集體改飲桶裝純凈水花錢更少.【解題分析】(Ⅰ)根據(jù)題意設(shè)出直線方程,再代入圖示數(shù)據(jù),即可得出與的函數(shù)關(guān)系;(Ⅱ)分別求出兩種情形下的年花費(fèi)費(fèi)用,進(jìn)行比較即可.【題目詳解】(Ⅰ)根據(jù)題意,可設(shè),時(shí),;時(shí),,,解得,所以與的函數(shù)關(guān)系為:;(Ⅱ)該班學(xué)生購買飲料的年費(fèi)用為(元),由(Ⅰ)知,當(dāng)時(shí),,故該班學(xué)生購買純凈水的年費(fèi)用為:(元),比購買飲料花費(fèi)少,故該班學(xué)生集體改飲桶裝純凈水花錢更少.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)模型的選取及實(shí)際應(yīng)用,屬于簡(jiǎn)單題.18、(1)或.(2)【解題分析】(1)分切線的斜率不存在與存在兩種情況分析.當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè)方程為,再根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求解即可.(2)利用垂徑定理根據(jù)圓心到直線的距離列出等式求解即可.【題目詳解】解:(1)由題意知圓心的坐標(biāo)為,半徑,當(dāng)過點(diǎn)M的直線的斜率不存在時(shí),方程為由圓心到直線的距離知,此時(shí),直線與圓相切當(dāng)過點(diǎn)M的直線的斜率存在時(shí),設(shè)方程為,即.由題意知,解得,∴方程為故過點(diǎn)M的圓的切線方程為或(2)∵圓心到直線的距離為,∴,解得【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了直線與圓相切與相交時(shí)的求解.注意直線過定點(diǎn)時(shí)分析斜率不存在與存在兩種情況.直線與圓相切用圓心到直線的距離等于半徑列式,直線與圓相交用垂徑定理列式.屬于中檔題.19、(1)(2)【解題分析】(1)先求集合B補(bǔ)集,再根據(jù)數(shù)軸求交集(2)由數(shù)軸可得m條件,解方程組可得實(shí)數(shù)的取值范圍試題解析:(1)當(dāng)時(shí),,所以,故;(2)因?yàn)?,所以解?20、(1)見詳解;(2)見詳解;(3).【解題分析】(1)先證,可證平面.(2)先證,得,結(jié)合可證得平面.(3)等積轉(zhuǎn)換,由,可求得體積.【題目詳解】(1)證明:因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),為的中點(diǎn),所以是的中位線,.又,,所以.(2)證明:因?yàn)闉檎切?,為的中點(diǎn),所以.又,所以.又因?yàn)椋?,所?因?yàn)椋?又因?yàn)?,,所?(3)因?yàn)?,,所以,即是三棱錐的高.因?yàn)?,為的中點(diǎn),為正三角形,所以.由,可得,在直角三角形中,由,可得.于是.所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查空間線面平行與垂直的證
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