2024屆北京市中央美術(shù)學(xué)院附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2024屆北京市中央美術(shù)學(xué)院附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．可以化簡(jiǎn)成（）A. B.C. D.2．為了給地球減負(fù)，提高資源利用率，2020年全國(guó)掀起了垃圾分類的熱潮，垃圾分類已經(jīng)成為新時(shí)尚．假設(shè)某市2020年全年用于垃圾分類的資金為3000萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，以后每年投入的資金比上一年增長(zhǎng)20%，則該市全年用于垃圾分類的資金開(kāi)始超過(guò)1億元的年份是（參考數(shù)據(jù)：，，）（）A2026年 B.2027年C.2028年 D.2029年3．如果，那么A. B.C. D.4．已知函數(shù)，則的（）A.最小正周期，最大值為 B.最小正周期為，最大值為C.最小正周期為，最大值為 D.最小正周期為，最大值為5．不等式的解集是（）A.或 B.或C. D.6．空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，則間的距離為A. B.C. D.7．長(zhǎng)方體中，，，則直線與平面ABCD所成角的大小A. B.C. D.8．在平行四邊形中，設(shè)，，，，下列式子中不正確的是（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)，則（）A.3 B.2C.1 D.010．下列所給四個(gè)圖象中，與所給3件事吻合最好的順序?yàn)椋ǎ?）我離開(kāi)家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作業(yè)本再去上學(xué)；（2）我騎著車一路以常速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時(shí)間；（3）我出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進(jìn)，后來(lái)為了趕時(shí)間開(kāi)始加速A.①②④ B.④②③C.①②③ D.④①②二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)，：①函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；②函數(shù)的最小正周期是；③把函數(shù)f(2x)圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與函數(shù)y=圖象的對(duì)稱軸完全相同；④函數(shù)在R上的最大值為2.則以上結(jié)論正確的序號(hào)為_(kāi)______________12．已知集合A＝{﹣1，2，3}，f：x→2x是集合A到集合B的映射，則寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的集合B_____13．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是___________.14．已知向量，，，則=_____.15．已知實(shí)數(shù)，執(zhí)行如圖所示的流程圖，則輸出的x不小于55的概率為_(kāi)_______16．已知集合，，則__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知.（1）在直角坐標(biāo)系中用“五點(diǎn)畫(huà)圖法”畫(huà)出一個(gè)周期內(nèi)的圖象.（要求列表、描點(diǎn)）（2）求函數(shù)的最小正周期、對(duì)稱中心、對(duì)稱軸方程.18．已知集合，，.（Ⅰ）求，；（Ⅱ）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．已知，、、在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為、、（1）若，求角的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的值20．近年來(lái)，“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大的方便，某共享單車公司“Mobike”計(jì)劃在甲、乙兩座城市共投資120萬(wàn)元，根據(jù)行業(yè)規(guī)定，每個(gè)城市至少要投資40萬(wàn)元，由前期市場(chǎng)調(diào)研可知：甲城市收益P與投入a(單位：萬(wàn)元)滿足P=3-6，乙城市收益Q與投入a(單位：萬(wàn)元)滿足Q=a+2，設(shè)甲城市的投入為x(單位：萬(wàn)元)，兩個(gè)城市的總收益為f(x)(單位：萬(wàn)元).（1）當(dāng)甲城市投資50萬(wàn)元時(shí)，求此時(shí)公司的總收益；（2）試問(wèn)如何安排甲、乙兩個(gè)城市的投資，才能使總收益最大?21．已知集合，（1）求；（2）判斷是的什么條件

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】根據(jù)指數(shù)冪和根式的運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)化即可【題目詳解】解：，故選：B2、B【解題分析】設(shè)經(jīng)過(guò)年之后，投入資金為萬(wàn)元，根據(jù)題意列出與的關(guān)系式；1億元轉(zhuǎn)化為萬(wàn)元，令，結(jié)合參考數(shù)據(jù)即可求出的范圍，從而判斷出選項(xiàng).【題目詳解】設(shè)經(jīng)過(guò)年之后，投入資金為萬(wàn)元，則，由題意可得：，即，所以，即，又因?yàn)椋?，即?027年開(kāi)始該市全年用于垃圾分類的資金超過(guò)1億元.故選：B3、D【解題分析】：，，即故選D4、B【解題分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)得到，求出最小正周期和最大值.【題目詳解】所以最小正周期為,最大值為2.故選：B5、A【解題分析】把不等式左邊的二次三項(xiàng)式因式分解后求出二次不等式對(duì)應(yīng)方程的兩根，利用二次不等式的解法可求得結(jié)果【題目詳解】由，得，解得或所以原不等式的解集為或故選：A6、C【解題分析】分析：求出點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，直接利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式，即可求解結(jié)果.詳解：在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，則間的距離為，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查了空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的表示，以及空間中兩點(diǎn)間的距離的計(jì)算，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】連接，根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)和線面角的定義可知：是直線與平面ABCD所成角，在底面ABCD中，利用勾股定理可以求出，在中，利用銳角三角函數(shù)知識(shí)可以求出的大小.【題目詳解】連接，在長(zhǎng)方體中，顯然有平面ABCD，所以是直線與平面ABCD所成角，在底面ABCD中，，在中，，故本題選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線面角的求法,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.8、B【解題分析】根據(jù)向量加減法計(jì)算，再進(jìn)行判斷選擇.【題目詳解】;;;故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查向量加減法，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】先求值，再計(jì)算即可.【題目詳解】，，故選：B點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】根據(jù)回家后，離家的距離又變?yōu)榭膳袛啵?）；由途中遇到一次交通堵塞，可判斷中間有一段函數(shù)值沒(méi)有發(fā)生變化；由為了趕時(shí)間開(kāi)始加速，可判斷函數(shù)的圖像上升的速度越來(lái)越快；【題目詳解】離開(kāi)家不久發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里，回到家里，這時(shí)離家的距離為，故應(yīng)先選圖像（4）；途中遇到一次交通堵塞，這這段時(shí)間與家的距離必為一定值，故應(yīng)選圖像（1）；后來(lái)為了趕時(shí)間開(kāi)始加速，則可知圖像上升的速度越來(lái)越快，故應(yīng)選圖像（2）；故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別，解題的關(guān)鍵是理解題干中表述的變化情況，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、②③④【解題分析】利用輔助角公式、二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)、，再逐一分析各個(gè)命題，計(jì)算判斷作答.【題目詳解】依題意，函數(shù)，因，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)不對(duì)稱，①不正確；，于是得的最小正周期是，②正確；，則把函數(shù)f(2x)圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與函數(shù)y=圖象的對(duì)稱軸完全相同，③正確；令，則，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在R上的最大值為2，④正確，所以結(jié)論正確的序號(hào)為②③④.故答案為：②③④【題目點(diǎn)撥】思路點(diǎn)睛：涉及求含有和的三角函數(shù)值域或最值問(wèn)題，可以通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域或最值問(wèn)題解答.12、{﹣2，4，6}【解題分析】先利用應(yīng)關(guān)系f：x→2x，根據(jù)原像求像的值，像的值即是滿足條件的集合B中元素【題目詳解】∵對(duì)應(yīng)關(guān)系為f：x→2x，={-1，2，3}，∴2x=-2，4，6共3個(gè)值，則-2，4，6這三個(gè)元素一定在集合B中，根據(jù)映射的定義集合B中還可能有其他元素，我們可以取其中一個(gè)滿足條件的集合B，不妨取集合B={-2，4，6}.故答案為：{-2，4，6}【題目點(diǎn)撥】本題考查映射的概念，像與原像的定義，集合A中所有元素的集合即為集合B中元素集合.13、##【解題分析】求出函數(shù)的定義域，利用復(fù)合函數(shù)法可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【題目詳解】由得，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?設(shè)內(nèi)層函數(shù)，對(duì)稱軸方程為，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，外層函數(shù)為減函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：.14、【解題分析】先根據(jù)向量的減法運(yùn)算求得,再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示,可得關(guān)于的方程,解方程即可求得的值.【題目詳解】因?yàn)橄蛄浚?，所以則即解得故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】設(shè)實(shí)數(shù)x∈[1,9]，經(jīng)過(guò)第一次循環(huán)得到x=2x+1，n=2，經(jīng)過(guò)第二循環(huán)得到x=2(2x+1)+1，n=3，經(jīng)過(guò)第三次循環(huán)得到x=2[2(2x+1)+1]+1，n=4此時(shí)輸出x，輸出的值為8x+7，令8x+7?55，得x?6，由幾何概型得到輸出的x不小于55的概率為.故答案為.16、【解題分析】因?yàn)榧希?，所以，故答案?三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解題分析】（1）列表、描點(diǎn)即可用五點(diǎn)畫(huà)圖法作出函數(shù)圖像；（2）結(jié)合函數(shù)的圖像，可直接寫(xiě)出其最小正周期，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得出其對(duì)稱中心以及對(duì)稱軸.【題目詳解】(1)列表：0131-11(2)最小正周期為，由得，所以對(duì)稱中心為；由得，所以對(duì)稱軸方程為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查五點(diǎn)作圖法，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，熟記函數(shù)性質(zhì)即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.18、（1）（2）或.【解題分析】（Ⅰ）由交并補(bǔ)集定義可得；（Ⅱ），說(shuō)明有公共元素，由這兩個(gè)集合的形式，知或即可.試題解析：（Ⅰ），，，又，；（Ⅱ）若，則需或，解得或.19、（1）（2）-【解題分析】⑴首先可以通過(guò)、、寫(xiě)出和，然后通過(guò)化簡(jiǎn)可得，最后通過(guò)即可得出角的值；⑵首先可通過(guò)化簡(jiǎn)得到，再通過(guò)化簡(jiǎn)得到，最后對(duì)化簡(jiǎn)即可得到的值【題目詳解】⑴已知、、，所以，，因?yàn)?，所以化?jiǎn)得，即，因?yàn)?，所以；⑵由可得，化?jiǎn)得，，所以，所以，綜上所述，【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)以及向量的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了三角恒等變換的相關(guān)性質(zhì)以及向量的運(yùn)算的相關(guān)性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想，鍛煉了學(xué)生對(duì)于公式的使用，是難題20、（1）43.5(萬(wàn)元)；（2）甲城市投資72萬(wàn)元，乙城市投資48萬(wàn)元.【解題分析】（1）直接代入收益公式進(jìn)行計(jì)算即可.（2）由收益公式寫(xiě)出f(x)=-x+3+26，令t=，將函數(shù)轉(zhuǎn)為關(guān)于t的二次函數(shù)求最值即可.【題目詳解】（1）當(dāng)x=50時(shí)，此時(shí)甲城市投資50萬(wàn)元，乙城市投資70萬(wàn)元，所以公司的總收益為3-6+×70+2=43.5(萬(wàn)元).（2）由題知，甲城市投資x萬(wàn)元，乙城市投資(120-x)萬(wàn)元，所以f(x)=3-6+(120-x)+2=-x+3+26，依題意得解得40≤x≤80.故f(x)=-x+3+26(40≤x≤80).令t=，則t∈[2，4]，所以y=-t2+3t+26=-(t-6)2+44.