2024屆上海市高橋中學數(shù)學高一上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2024屆上海市高橋中學數(shù)學高一上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知，則的最大值為（）A. B.C.0 D.22．如圖，一個直三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱．若側(cè)面水平放置時，液面恰好過的中點，當?shù)酌鍭BC水平放置時，液面高為（）A.6 B.7C.2 D.43．由直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為（）A. B.C. D.4．已知集合，集合，則A. B.C. D.5．下列四個函數(shù)，最小正周期是的是（）A. B.C. D.6．已知定義在R上的函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的,且有如下對應值表:x123453那么函數(shù)一定存在零點的區(qū)間是（）A. B.C. D.7．已知條件，條件，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8．如圖，在正方體中，異面直線與所成的角為（）A.90° B.60°C.45° D.30°9．已知某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積是（）A.108cm3 B.100cm3C.92cm3 D.84cm310．若函數(shù)（且）的圖像經(jīng)過定點P，則點P的坐標是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)，則______.12．在平面直角坐標系中，以軸為始邊作兩個銳角，，它們的終邊分別與單位圓相交于，兩點，，的縱坐標分別為，.則的終邊與單位圓交點的縱坐標為_____________.13．如圖，已知四棱錐P－ABCD，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD．給出下列命題：①PB⊥AC；②平面PAB與平面PCD的交線與AB平行；③平面PBD⊥平面PAC；④△PCD為銳角三角形．其中正確命題的序號是________14．已知函數(shù)，則______，若，則______.15．的邊的長分別為，且，，，則__________.16．若，，則______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為.（1）當時，求函數(shù)的最大值和最小值；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象，若為偶函數(shù)，求的值.18．2015年10月，實施了30多年的獨生子女政策正式宣告終結(jié)，黨的十八屆五中全會公報宣布在我國全面放開二胎政策.2021年5月31日，中共中央政治局召開會議，會議指出進一步優(yōu)化生育政策，實施一對夫妻可以生育三個子女政策及配套支持措施，有利于改善我國人口結(jié)構(gòu)，落實積極應對人口老齡化國家戰(zhàn)略，保持我國人力資源稟賦優(yōu)勢.某鎮(zhèn)2021年1月，2月，3月新生兒的人數(shù)分別為52，61，68，當年4月初我們選擇新生兒人數(shù)和月份之間的下列兩個函數(shù)關系式①；②（，，，，都是常數(shù)），對2021年新生兒人數(shù)進行了預測.（1）請你利用所給的1月，2月，3月份數(shù)據(jù)，求出這兩個函數(shù)表達式；（2）結(jié)果該地在4月，5月，6月份的新生兒人數(shù)是74，78，83，你認為哪個函數(shù)模型更符合實際？并說明理由.（參考數(shù)據(jù)：，，，，）19．如圖,建造一個容積為，深為，寬為的長方體無蓋水池，如果池底的造價為元/，池壁的造價為元/，求水池的總造價.20．對于定義在上的函數(shù)，如果存在實數(shù)，使得，那么稱是函數(shù)的一個不動點．已知（1）當時，求的不動點；（2）若函數(shù)有兩個不動點，，且①求實數(shù)的取值范圍；②設，求證在上至少有兩個不動點21．已知函數(shù)()是偶函數(shù).(1)求的值;(2)設,判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性;(3)令若對恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】把所求代數(shù)式變形，轉(zhuǎn)化成，再對其中部分以基本不等式求最值即可解決.【題目詳解】時，（當且僅當時等號成立）則，即的最大值為0.故選：C2、A【解題分析】根據(jù)題意，當側(cè)面AA1B1B水平放置時，水的形狀為四棱柱形，由已知條件求出水的體積；當?shù)酌鍭BC水平放置時，水的形狀為三棱柱形，設水面高為h，故水的體積可以用三角形的面積直接表示出，計算即可得答案【題目詳解】根據(jù)題意，當側(cè)面AA1B1B水平放置時，水的形狀為四棱柱形，底面是梯形，設△ABC的面積為S，則S梯形＝S，水的體積V水＝S×AA1＝6S，當?shù)酌鍭BC水平放置時，水的形狀為三棱柱形，設水面高為h，則有V水＝Sh＝6S，故h＝6故選A【題目點撥】本題考點是棱柱的體積計算，考查用體積公式來求高，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于基礎題3、B【解題分析】要使切線長最小，必須直線y=x+2上的點到圓心的距離最小，此最小值即為圓心（4，﹣2）到直線的距離m，求出m，由勾股定理可求切線長的最小值【題目詳解】要使切線長最小，必須直線y=x+2上的點到圓心的距離最小，此最小值即為圓心（4，﹣2）到直線的距離m，由點到直線的距離公式得m==4，由勾股定理求得切線長的最小值為=故選B【題目點撥】本題考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式、勾股定理的應用．解題的關鍵是理解要使切線長最小，必須直線y=x+2上的點到圓心的距離最小4、B【解題分析】交集是兩個集合的公共元素，故.5、C【解題分析】依次計算周期即可.【題目詳解】A選項：，錯誤；B選項：，錯誤；C選項：，正確；D選項：，錯誤.故選：C.6、B【解題分析】利用零點存在性定理判斷即可.【題目詳解】則函數(shù)一定存在零點的區(qū)間是故選：B【題目點撥】本題主要考查了利用零點存在性定理判斷零點所在區(qū)間，屬于基礎題.7、B【解題分析】利用充分條件和必要條件的定義進行判斷【題目詳解】由，得，即，由，得，即推不出，但能推出，∴p是q的必要不充分條件.故選：B8、B【解題分析】連接，可證明，然后可得即為異面直線與所成的角，然后可求出答案.【題目詳解】連接，因為是正方體，所以和平行且相等所以四邊形是平行四邊形，所以，所以為異面直線與所成的角.因為是等邊三角形，所以故選：B9、B【解題分析】由三視圖可知：該幾何體是一個棱長分別為6，6，3，砍去一個三條側(cè)棱長分別為4，4，3的一個三棱錐（長方體的一個角）．據(jù)此即可得出體積．解：由三視圖可知：該幾何體是一個棱長分別為6，6，3，砍去一個三條側(cè)棱長分別為4，4，3的一個三棱錐（長方體的一個角）．∴該幾何體的體積V=6×6×3﹣=100．故選B．考點：由三視圖求面積、體積．10、B【解題分析】由函數(shù)圖像的平移變換或根據(jù)可得.【題目詳解】因為，所以當，即時，函數(shù)值為定值0，所以點P坐標為.另解：因為可以由向右平移一個單位長度后，再向下平移1個單位長度得到，由過定點，所以過定點.故選：B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解題分析】根據(jù)自變量的范圍，由內(nèi)至外逐層求值可解.【題目詳解】又故答案為：2.12、【解題分析】根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義可得，，，，再由展開求解即可.【題目詳解】以軸為始邊作兩個銳角，，它們的終邊分別與單位圓相交于，兩點，，的縱坐標分別為，所以，是銳角，可得，因為銳角的終邊與單位圓相交于Q點，且縱坐標為，所以，是銳角，可得，所以，所以的終邊與單位圓交點的縱坐標為.故答案為：.13、②③【解題分析】設AC∩BD=O，由題意證明AC⊥PO，由已知可得AC⊥PA，與在同一平面內(nèi)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直矛盾說明①錯誤；由線面平行的判定和性質(zhì)說明②正確；由線面垂直的判定和性質(zhì)說明③正確；由勾股定理即可判斷，說明④錯誤【題目詳解】設AC∩BD=O,如圖，①若PB⊥AC，∵AC⊥BD，則AC⊥平面PBD，∴AC⊥PO，又PA⊥平面ABCD，則AC⊥PA，在平面PAC內(nèi)過P有兩條直線與AC垂直，與在同一平面內(nèi)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直矛盾，①錯誤；②∵CD∥AB，則CD∥平面PAB，∴平面PAB與平面PCD的交線與AB平行，②正確；③∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD，又BD⊥AC，∴BD⊥平面PAC，則平面PBD⊥平面PAC，③正確；④∵PD2=PA2+AD2，PC2=PA2+AC2，AC2=AD2+CD2，AD=CD，∴PD2+CD2=PC2，∴④△PCD為直角三角形，④錯誤，故答案為：②③14、①.15②.－3或【解題分析】根據(jù)分段函數(shù)直接由內(nèi)到外計算即可求，當時，分段討論即可求解.【題目詳解】,,時，若，則，解得或（舍去），若，則，解得，綜上，或，故答案為：15；－3或【題目點撥】本題主要考查了分段函數(shù)的解析式，已知自變量求函數(shù)值，已知函數(shù)值求自變量，屬于容易題.15、【解題分析】由正弦定理、余弦定理得答案：16、【解題分析】利用指數(shù)的運算性質(zhì)可求得結(jié)果.【題目詳解】由指數(shù)的運算性質(zhì)可得.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】（1）根據(jù)題意可得，從而可求得，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合整體思想即可得出答案；（2）求出平移后的函數(shù)的解析式，再根據(jù)正余弦函數(shù)的奇偶性即可得出答案.【小問1詳解】解：因為函數(shù)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，所以，所以，所以，當時，，所以當時，函數(shù)取得最小值，當時，函數(shù)取得最大值，所以；【小問2詳解】解：函數(shù)的圖象向左平移個單位后，得到函數(shù)，因為為偶函數(shù)，所以，所以，又因為，所以.18、（1），（2）函數(shù)②更符合實際，理由見解析【解題分析】（1）根據(jù)三組數(shù)據(jù)代入求解即可；（2）分別代入（1）問求出的解析式中，檢驗與實際的差異，即可判斷模型更符合實際.【小問1詳解】解：（1）由1~3月的新生兒人數(shù)，可得對于函數(shù)①：得到代入函數(shù)②：得到，繼而得到，∴【小問2詳解】（2）當時，代入函數(shù)①，分別得.當時代入函數(shù)②，分別得可見函數(shù)②更符合實際.19、2880元【解題分析】先求出水池的長，再求出底面積與側(cè)面積，利用池底的造價為120元/m2，池壁的造價為80元/m2，即可求水池的總造價【題目詳解】分別設長、寬、高為am，bm，hm；水池的總造價為y元，則V＝abh＝16，h＝2，b＝2，∴a＝4m，∴S底＝4×2＝8m2，S側(cè)＝2×（2+4）×2＝24m2，∴y＝120×8+80×24＝2880元【題目點撥】本題考查利用數(shù)學知識解決實際問題，考查學生的轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎題20、（1）的不動點為和；（2）①，②證明見解析.【解題分析】（1）當時，函數(shù)，令，即可求解；（2）①由題意，得到的兩個實數(shù)根為，，設，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，列出不等式即可求解；②把可化為，設的兩個實數(shù)根為，，根據(jù)是方程的實數(shù)根，得出，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，即可求解.【題目詳解】（1）當時，函數(shù)，方程可化為，解得或，所以的不動點為和（2）①因為函數(shù)有兩個不動點，，所以方程，即的兩個實數(shù)根為，，記，則的零點為和，因為，所以，即，解得.所以實數(shù)的取值范圍為②因為方程可化為，即因為，，所以有兩個不相等的實數(shù)根設的兩個實數(shù)根為，，不妨設因為函數(shù)圖象的對稱軸為直線，且，，，所以記，因為，且，所以是方程的實數(shù)根，所以1是的一個不動點，，因為，所以，，且的圖象在上的圖象是不間斷曲線，所以，使得，又因為在上單調(diào)遞增，所以，所以是的一個不動點，綜上，在上至少有兩個不動點【題目點撥】利用函數(shù)的圖象求解方程的根的個數(shù)或研究不等式問題的策略：1、利用函數(shù)的圖象研究方程的根的個數(shù)：當方程與基本性質(zhì)有關時，可以通過函數(shù)圖象來研究方程的根，方程的根就是函數(shù)與軸的交點的橫坐標，方程的根據(jù)就是函數(shù)和圖象的交點的橫坐標；2、利用函數(shù)研究不等式：當不等式問題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關時，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的上、下關系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解.21、（1）（2）單調(diào)遞增函數(shù).見解析（3）【解題分析】（1）由題意得，推出得，從而有，解出即可；（2）先求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)即可得判斷