學習張量必看-一個學會張量張量分析課件

補充材料:張量分析初步高等復合材料力學AdvancedMechanicsofCompositeMaterials陳玉麗航空科學與工程學院1補充材料:張量分析初步高等復合材料力學Advanced目錄

引言

張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號

ij與erst

坐標與坐標轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分AppendixA目錄引言AppendixA引言

廣義相對論（1915）、理論物理連續(xù)介質(zhì)力學（固體力學、流體力學）現(xiàn)代力學的大部分文獻都采用張量表示主要參考書:W.Flugge,TensorAnalysisandContinuumMechanics,Springer,1972.黃克智等，張量分析，清華大學出版社，2003.引言廣義相對論（1915）、理論物理主要參考書:張量基本概念標量（零階張量）例如：質(zhì)量，溫度質(zhì)量密度應變能密度等等。其值與坐標系選取無關。

張量基本概念標量（零階張量）張量基本概念矢量（一階張量）例如：位移，速度，加速度，力，法向矢量,等等。張量基本概念矢量（一階張量）矢量（一階張量）矢量u在笛卡爾坐標系中分解為其中u1,u2,u3

是u的三個分量，e1,

e2,e3是單位基矢量。張量基本概念矢量（一階張量）其中u1,u2,u3是u的三個分矢量（一階張量）既有大小又有方向性的物理量;其分量與坐標系選取有關，滿足坐標轉(zhuǎn)換關系；遵從相應的矢量運算規(guī)則。張量基本概念矢量（一階張量）既有大小又有方向性的物理量;張量基本概念矢量(可推廣至張量)的三種記法：實體記法：u

分解式記法：分量記法：AppendixA.1張量基本概念矢量(可推廣至張量)的三種記法：AppendixA.1AppendixA.1張量基本概念指標符號用法三維空間中任意點P的坐標（x,y,z）可縮寫成xi,其中x1=x,x2=y,x3=z。兩個矢量a和b的分量的點積(或稱數(shù)量積)為：AppendixA.1張量基本概念指標符號用法愛因斯坦求和約定如果在表達式的某項中，某指標重復地出現(xiàn)兩次，則表示要把該項在該指標的取值范圍內(nèi)遍歷求和。該重復的指標稱為啞指標，簡稱啞標。張量基本概念愛因斯坦求和約定張量基本概念

由于aibi=biai，即矢量點積的順序可以交換：由于啞標i僅表示要遍歷求和，故可成對地任意交換。例如：只要指標j或m在同項內(nèi)僅出現(xiàn)兩次，且取值范圍和i相同。張量基本概念由于aibi=biai，即矢量點積的順序可以交換：只要指標約定：

如果不標明取值范圍，則拉丁指標i,j,k,…表示三維指標，取值1,2,3；希臘指標

,

,

,…均為二維指標，取值1,2。張量基本概念約定：張量基本概念

拉丁指標

希臘指標張量基本概念拉丁指標希臘指標張量基本概念二階張量應變，應力，速度梯度，變形梯度，等。三階張量壓電張量，等。四階張量彈性張量，等。張量基本概念二階張量張量基本概念二階（或高階）張量的來源描述一些復雜的物理量需要二階（或高階）張量；低階張量的梯度；低階張量的并積；更高階張量的縮并，等。張量基本概念二階（或高階）張量的來源張量基本概念應力張量張量基本概念應力張量張量基本概念張量的三種記法：實體記法：分解式記法：分量記法：張量基本概念張量的三種記法：張量基本概念張量基本概念愛因斯坦求和約定張量基本概念愛因斯坦求和約定采用指標符號后，線性變換表示為利用愛因斯坦求和約定，寫成：其中j是啞指標，i是自由指標。張量基本概念采用指標符號后，線性變換表示為利用愛因斯坦求和約定，寫成：其

例如一點的應力狀態(tài)要用應力張量來表示，它是具有二重方向性的二階張量，記為

（或）。矢量和標量是特殊的張量，矢量為一階張量，標量為零階張量。AppendixA.1張量基本概念例如一點的應力狀態(tài)要用應力張量來表示，它是具

在表達式或方程中自由指標可以出現(xiàn)多次，但不得在同項內(nèi)出現(xiàn)兩次，若在同項內(nèi)出現(xiàn)兩次則是啞指標。例：

若i為自由指標★張量基本概念在表達式或方程中自由指標可以出現(xiàn)多次，但不得在同項內(nèi)出現(xiàn)兩自由指標表示：若輪流取該指標范圍內(nèi)的任何值，關系式將始終成立。例如：表達式在自由指標i取1，2，3時該式始終成立，即有張量基本概念★自由指標表示：若輪流取該指標范圍內(nèi)的任何值，關系式將始終成立同時取值的自由指標必須同名，獨立取值的自由指標應防止重名。自由指標必須整體換名，即把方程或表達式中出現(xiàn)的同名自由指標全部改成同一個新名字。i換成k★★張量基本概念同時取值的自由指標必須同名，獨立取值的自由指標應防止重名。指標符號也適用于微分和導數(shù)表達式。例如，三維空間中線元長度ds和其分量dxi之間的關系可簡寫成：場函數(shù)f(x1,x2,x3)的全微分：★張量基本概念24指標符號也適用于微分和導數(shù)表達式。例如，三維空間中線元長度可用同項內(nèi)出現(xiàn)兩對(或幾對)不同啞指標的方法來表示多重求和。例如：若要對在同項內(nèi)出現(xiàn)兩次以上的指標進行遍歷求和，一般應加求和號。如：★★張量基本概念25可用同項內(nèi)出現(xiàn)兩對(或幾對)不同啞指標的方法來表示多重求和。一般說不能由等式兩邊消去ai導得但若ai可以任意取值等式始終成立，則可以通過取特殊值使得上式成立?！飶埩炕靖拍?6一般說不能由等式兩邊消去ai導得但若ai可以任意取值等式始終小結(jié)通過啞指標可把許多項縮寫成一項，通過自由指標又把許多方程縮寫成一個方程。一般說，在一個用指標符號寫出的方程中，若有k個獨立的自由指標，其取值范圍是1～n，則這個方程代表了nk個分量方程。在方程的某項中若同時出現(xiàn)m對取值范圍為1～n的啞指標，則此項含相互迭加的nm個項。張量基本概念27小結(jié)通過啞指標可把許多項縮寫成一項，通過自由指標又把許多方程目錄AppendixA

引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號

ij與erst

坐標與坐標轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分28目錄AppendixA引言28符號

ij與erst

ij符號

(Kroneckerdelta)

定義(笛卡爾坐標系)(i,j=1,2,…,n)

特性1.對稱性，由定義可知指標i和j是對稱的，即29符號ij與erst

ij符號(Kronecker3.換標符號，具有換標作用。例如：2.

ij

的分量集合對應于單位矩陣。例如在三維空間即：如果符號

的兩個指標中，有一個和同項中其它因子的指標相重，則可以把該因子的那個重指標換成

的另一個指標，而

自動消失。符號

ij與erst

303.換標符號，具有換標作用。例如：2.ij的分量集合

類似地有符號

ij與erst

31類似地有符號ij與erst

31erst符號(排列符號或置換符號，Eddington)

定義(笛卡爾坐標系)當r,s,t為正序排列時當r,s,t為逆序排列時當r,s,t中兩個指標值相同時(1,2,3)及其輪流換位得到的(2,3,1)和(3,1,2)稱為正序排列。(3,2,1)及其輪流換位得到的(2,1,3)和(1,3,2)稱為逆序排列?；蚍?/p>

ij與erst

32erst符號(排列符號或置換符號，Eddington)

特性共有27個元素，其中三個元素為1，三個元素為-1，其余的元素都是0對其任何兩個指標都是反對稱的，即當三個指標輪流換位時(相當于指標連續(xù)對換兩次)，erst的值不變

符號

ij與erst

33特性符號ij與erst

33

常用實例三個相互正交的單位基矢量構(gòu)成正交標準化基。它具有如下重要性質(zhì)：每個基矢量的模為1，即ei

ej＝1(當i＝j時)

不同基矢量互相正交，即ei

ej＝0

(當i≠j時)

上述兩個性質(zhì)可以用

ij表示統(tǒng)一形式：ei

ej＝

ij符號

ij與erst

34常用實例符號ij與erst

34

當三個基矢量ei,ej,ek構(gòu)成右手系時，有

而對于左手系，有：

符號

ij與erst

35當三個基矢量ei,ej,ek構(gòu)成右手系時，有2.矢量的點積：3.矢量的叉積(或稱矢量積)：

如果沒有特殊說明，我們一般默認為右手系。符號

ij與erst

362.矢量的點積：如果沒有特殊說明，我們一般默認為右手系。叉積的幾何意義是“面元矢量”，其大小等于由矢量a和b構(gòu)成的平行四邊形面積，方向沿該面元的法線方向?！锓?/p>

ij與erst

37叉積的幾何意義是“面元矢量”，其大小等于由矢量a和b★★★符號

ij與erst

38★★★符號ij與erst

38三個矢量a,b,c的混合積是一個標量，其定義為：符號

ij與erst

★若交換混合積中相鄰兩個矢量的順序，混合積的值反號。當a,b,c構(gòu)成右手系時，混合積表示這三個矢量所構(gòu)成的平行六面體體積。若構(gòu)成左手系，則為體積的負值。39三個矢量a,b,c的混合積是一個標量，其定義為：符號i由此可見符號

ij和erst分別與矢量代數(shù)中的點積和叉積有關。利用(1)和(2)式有符號

ij與erst

40由此可見符號ij和erst分別與矢量代數(shù)中的點積和叉4.三階行列式的值符號

ij與erst

414.三階行列式的值符號ij與erst

41符號

ij與erst

4.三階行列式的值42符號ij與erst

4.三階行列式的值42符號

ij與erst

4.三階行列式的值43符號ij與erst

4.三階行列式的值435.e-

恒等式，其一般形式為：即退化形式為：符號

ij與erst

445.e-恒等式，其一般形式為：符號ij與erst

1.平衡方程：如何用張量改寫彈性力學基本方程？45xyz1.平衡方程：如何用張量改寫彈性力學基本方程？45xyz2.幾何方程：如何用張量改寫彈性力學基本方程？462.幾何方程：如何用張量改寫彈性力學基本方程？463.本構(gòu)方程（各向同性材料）：如何用張量改寫彈性力學基本方程？提示：

可以用到σkk和δij

γij=2εij

G=E/[2(1+ν)]473.本構(gòu)方程（各向同性材料）：如何用張量改寫彈性力學基本4.變形協(xié)調(diào)方程（平面應變）：如何用張量改寫彈性力學基本方程？提示：二維指標為希臘字母

,

,

,…，取值1,2。484.變形協(xié)調(diào)方程（平面應變）：如何用張量改寫彈性力學基本目錄AppendixA

引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定

符號

ij與erst

坐標與坐標轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分49目錄AppendixA引言49坐標與坐標轉(zhuǎn)換笛卡爾坐標系(單位直角坐標系)50坐標與坐標轉(zhuǎn)換笛卡爾坐標系(單位直角坐標系)50

笛卡爾坐標系(單位直角坐標系)坐標變化時，矢徑的變化為

坐標與坐標轉(zhuǎn)換51笛卡爾坐標系(單位直角坐標系)坐標與坐標轉(zhuǎn)換51

任意坐標系坐標變化時，矢徑的變化為

坐標與坐標轉(zhuǎn)換52任意坐標系坐標與坐標轉(zhuǎn)換52

概念

坐標線

當一個坐標任意變化而另兩個坐標保持不變時，空間點的軌跡，過每個空間點有三根坐標線。

基矢量

矢徑對坐標的偏導數(shù)定義的三個基矢量gi

坐標與坐標轉(zhuǎn)換53概念坐標與坐標轉(zhuǎn)換53

參考架空間每點處有三個基矢量，它們組成一個參考架或稱坐標架。任何具有方向性的物理量都可以對其相應作用點處的參考架分解。對笛卡爾坐標系：坐標與坐標轉(zhuǎn)換54參考架坐標與坐標轉(zhuǎn)換54三個相互正交的單位基矢量ei構(gòu)成正交標準化基坐標與坐標轉(zhuǎn)換55三個相互正交的單位基矢量ei構(gòu)成正交標準化基坐標與坐標轉(zhuǎn)換5歐氏空間中的一般坐標系現(xiàn)在的坐標線可能不再正交；不同點處的坐標線可能不再平行；基矢量的大小和方向都可能隨點而異；各點處的參考架不再是正交標準化基。

坐標與坐標轉(zhuǎn)換56歐氏空間中的一般坐標系坐標與坐標轉(zhuǎn)換56

坐標轉(zhuǎn)換坐標與坐標轉(zhuǎn)換57坐標轉(zhuǎn)換坐標與坐標轉(zhuǎn)換57將新基對老基

分解：轉(zhuǎn)換系數(shù)：反之：

坐標與坐標轉(zhuǎn)換58將新基對老基分解：坐標與坐標轉(zhuǎn)換58向新坐標軸

投影，即用點乘上式兩邊，則左邊：右邊：坐標與坐標轉(zhuǎn)換59向新坐標軸投影，即用點乘上式兩邊，則左邊：由上述兩式可得新坐標用老坐標表示的表達式

經(jīng)過類似推導可得老坐標用新坐標表示的表達式

坐標與坐標轉(zhuǎn)換60由上述兩式可得新坐標用老坐標表示的表達式坐標與坐標轉(zhuǎn)換60坐標轉(zhuǎn)換的矩陣形式(設新老坐標原點重合)

坐標與坐標轉(zhuǎn)換61坐標轉(zhuǎn)換的矩陣形式(設新老坐標原點重合)坐標與坐標轉(zhuǎn)換61

坐標轉(zhuǎn)換的一般定義設在三維歐氏空間中任選兩個新、老坐標系，和是同一空間點P的新、老坐標值，則方程組定義了由老坐標到新坐標的坐標轉(zhuǎn)換，稱正轉(zhuǎn)換。其逆變換為對(*)式微分(*)坐標與坐標轉(zhuǎn)換62坐標轉(zhuǎn)換的一般定義(*)坐標與坐標轉(zhuǎn)換62處處不為零，則存在相應的逆變換，即可反過來用唯一確定其系數(shù)行列式(雅克比行列式)坐標與坐標轉(zhuǎn)換63其系數(shù)行列式(雅克比行列式)坐標與坐標轉(zhuǎn)換63容許轉(zhuǎn)換由單值、一階偏導數(shù)連續(xù)、且J處處不為零的轉(zhuǎn)換函數(shù)所實現(xiàn)的坐標轉(zhuǎn)換正常轉(zhuǎn)換

J

處處為正，把右手系轉(zhuǎn)換右手系反常轉(zhuǎn)換

J

處處為負，把右手系轉(zhuǎn)換成左手系坐標與坐標轉(zhuǎn)換64容許轉(zhuǎn)換由單值、一階偏導數(shù)連續(xù)、且J處處不為零的轉(zhuǎn)換目錄AppendixA

引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號

ij與erst

坐標與坐標轉(zhuǎn)換

張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分65目錄AppendixA引言65

張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律張量，都不會因人為選擇不同參考坐標系而改變其固有性質(zhì)，然而其分量的值則與坐標選擇密切相關。所以，張量的分量在坐標轉(zhuǎn)換時應滿足一定的規(guī)律，以保證其坐標不變性。張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律66張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律66

標量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律設一個標量在新、老坐標系中的值為t和t’，則矢量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律

張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律67標量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律67張量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律以三維空間的二階張量為例，其分解式是：其中，Tij

為張量分量，eiej稱為基矢量，就是把兩個基矢量并寫在一起，不作任何運算，成為構(gòu)成矢量的基。張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律68張量的分量表示法張量的實體表示法（并矢表示法）張量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律68張量的分量表示法張量

張量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律即張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律69張量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律69高階張量的分量滿足如下轉(zhuǎn)換規(guī)律張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律70高階張量的分量滿足如下轉(zhuǎn)換規(guī)律張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律70注：在一個表示全部張量分量集合的指標符號中，自由指標的數(shù)目等于張量的階數(shù)K，每個自由指標的取值范圍等于張量的維數(shù)n，各指標在其取值范圍內(nèi)的任何一種可能組合都表示了張量的一個分量，所以n維K階張量共有nK個分量。張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律71注：張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律71

張量方程

定義每項都由張量組成的方程稱為張量方程。

特性具有與坐標選擇無關的重要性質(zhì)，可用于描述客觀物理現(xiàn)象的固有特性和普遍規(guī)律。張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律72張量方程張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律72目錄

引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號

ij與erst

坐標與坐標轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程

張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分73目錄引言73張量代數(shù)&商判則

相等若兩個張量和相等則對應分量相等若兩個張量在某個坐標系中的對應分量相等，則它們在任何其他坐標系中對應分量也相等。74張量代數(shù)&商判則相等74

和、差兩個同階張量與之和(或差)是另一個同階張量其分量關系為張量代數(shù)&商判則75和、差張量代數(shù)&商判則75

數(shù)積張量A和一個數(shù)

(或標量函數(shù))相乘得另一同維同階張量T其分量關系為張量代數(shù)&商判則76數(shù)積張量代數(shù)&商判則76

并積兩個同維不同階（或同階）張量A和B的并積T是一個階數(shù)等于A、B階數(shù)之和的高階張量。設則其分量關系為注意：張量代數(shù)&商判則77并積注意：張量代數(shù)&商判則77

縮并若對基張量中的任意兩個基矢量求點積，在張量將縮并為低二階的新張量。

其分量關系為張量代數(shù)&商判則78縮并張量代數(shù)&商判則78若在基張量中取不同基矢量的點積，則縮并的結(jié)果也不同。例如若張量代數(shù)&商判則

縮并79若在基張量中取不同基矢量的點積，則縮并的結(jié)果也不同。例如若張

內(nèi)積并積加縮并運算稱為內(nèi)積。例如和

的一種內(nèi)積是其分量關系為張量代數(shù)&商判則80內(nèi)積張量代數(shù)&商判則80

點積前張量A的最后基矢量與后張量B的第一基矢量縮并的結(jié)果，記為，是最常用的一種內(nèi)積。兩個二階張量的點積相當于矩陣乘法。張量代數(shù)&商判則81點積張量代數(shù)&商判則81對前、后張量中兩對近挨著的基矢量縮并的結(jié)果稱為雙點積，共有兩種：并雙點積串雙點積張量代數(shù)&商判則

雙點積82對前、后張量中兩對近挨著的基矢量縮并的結(jié)果稱為雙點積，共有兩

并矢把K個獨立矢量并寫在一起稱為并矢量，它們的并積是一個K階張量。矢量的并積不服從交換律，并矢量中各矢量的順序不得任意調(diào)換。張量代數(shù)&商判則83并矢矢量的并積不服從交換律，并矢量中各矢量的順序不得任和任意矢量的內(nèi)積（包括點積）為K-1階張量的量一定是個K階張量。一個K階張量連續(xù)地和n個任意矢量求內(nèi)積，其縮并的結(jié)果是一個K-n階張量。張量代數(shù)&商判則

商判則84一個K階張量連續(xù)地和n個任意矢量求內(nèi)積，其縮并的結(jié)果OperationNumberoforder并積差乘-1點乘-2雙點乘-4張量乘法運算和結(jié)果的階數(shù)85OperationNumberoforder并積目錄

引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號

ij與erst

坐標與坐標轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則

常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分86目錄引言86特殊張量，主方向與主分量

常用特殊張量零張量則：

87特殊張量，主方向與主分量常用特殊張量87

單位張量

笛卡爾坐標系中分量為

ij的二階張量I，即單位張量和任意張量的點積就等于該張量本身：I·a＝a，I·A＝A特殊張量，主方向與主分量88單位張量單位張量和任意張量的點積就等于該張量本身：特殊張?zhí)厥鈴埩?，主方向與主分量

球形張量主對角分量為

，其余分量為零的二階張量。它是數(shù)

與單位張量的數(shù)積。即89特殊張量，主方向與主分量球形張量89

轉(zhuǎn)置張量對于二階張量，由對換分量指標而基矢量順序保持不變所得到的新張量稱為張量T的轉(zhuǎn)置張量。特殊張量，主方向與主分量90轉(zhuǎn)置張量特殊張量，主方向與主分量90

對稱張量

反對稱張量特殊張量，主方向與主分量91對稱張量特殊張量，主方向與主分量91轉(zhuǎn)置張量等于其負張量的張量。即滿足反對稱張量的主對角張量均為零。三維二階反對稱張量的獨立分量只有三個。n維二階對稱張量有

個獨立分量。特殊張量，主方向與主分量

反對稱張量92特殊張量，主方向與主分量反對稱張量92任意二階張量T均可分解為對稱張量S和反對稱張量A之和：特殊張量，主方向與主分量

加法分解93任意二階張量T均可分解為對稱張量S和反對稱張量A任意二階對稱張量S均可分解為球形張量P和偏斜張量D之和：其中特殊張量，主方向與主分量

偏斜張量

94任意二階對稱張量S均可分解為球形張量P和偏斜張量D偏斜張量為偏斜張量三個對角分量之和為零：特殊張量，主方向與主分量

偏斜張量

95偏斜張量為特殊張量，主方向與主分量偏斜張量95笛卡爾系中以erst為分量的三階張量，又稱排列張量特殊張量，主方向與主分量

置換張量96特殊張量，主方向與主分量置換張量96所有分量均不因坐標轉(zhuǎn)換而改變的張量。例如：單位張量I、球形張量、置換張量等。標量是零階的各向同性張量，而矢量則不是各向同性的。特殊張量，主方向與主分量

各向同性張量97所有分量均不因坐標轉(zhuǎn)換而改變的張量。特殊張量，主方向與主分量

主方向與主分量二階張量可定義為一種由矢量a到矢量b的線性變換，即一般說，矢量a與b并不同向。對于給定的任意二階張量T能否找到某個矢量

，它在線性變換后能保持方向不變，即或特殊張量，主方向與主分量98主方向與主分量特殊張量，主方向與主分量98其中

是標量。上式是求

j

的線性齊次代數(shù)方程組，存在非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式為零特殊張量，主方向與主分量99其中是標量。上式是求j的線性齊次代數(shù)方程組，存在非零這是關于

的特征方程；其中是[Tij]的主對角分量之和，稱為張量T的跡，記作trT是矩陣[Tij]的二階主子式之和。

特殊張量，主方向與主分量100這是關于的特征方程；其中特殊張量，主方向與主分量100是矩陣的行列式，記作detT。特征方程的三個特征根稱為張量T的主分量。當T是實對稱張量時，存在三個實特征根

特殊張量，主方向與主分量101是矩陣的行列式，記作detT。特殊張量，主方向與主分量101由特征方程求特征根：由每個

(k)

分別求特征方向：方向矢量

j(k)特殊張量，主方向與主分量102由特征方程求特征根：由每個(k)分別求特征方向：方向矢量由上述方法求得的三個單位矢量

(k)＝

j(k)ej稱為張量T的主方向。注：若

(1),

(2),

(3)互不相等，則

(1),

(2),

(3)互相垂直。對于二重根情況，例如

(1)＝

(2)，則垂直于

(3)的任何方向都是主方向，可任選其中兩個互相垂直方向作為

(1)和

(2)。對于三重根情況，例如

(1)＝

(2)＝

(3)，則任何方向都是主方向，可任選三個互相垂直的方向作為

(1),

(2)和

(3)。特殊張量，主方向與主分量103由上述方法求得的三個單位矢量(k)＝j(k)ej稱為注

主坐標系沿主方向

(1),

(2),

(3)的正交坐標系稱為張量T的主坐標系。在主坐標系中，有當T為應力張量時，

(k)就是三個主應力

1,

2和

3特殊張量，主方向與主分量104主坐標系沿主方向(1),(2),(3)的正交坐標系特征方程是一個與坐標選擇無關的普遍方程，它的三個系數(shù)I1,I2和I3分別稱為張量T的第一、第二和第三不變量。

特征方程的根

(k)也是三個不變量，相應的主方向

(k)也與坐標無關。特殊張量，主方向與主分量

不變量105特征方程是一個與坐標選擇無關的普遍方程，它的三個系數(shù)I1,目錄

引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號

ij與erst

坐標與坐標轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量

張量函數(shù)及其微積分106目錄引言106張量函數(shù)及其微積分在空間所論域內(nèi),每點定義的同階張量,構(gòu)成了張量場。一般張量場中被考察的張量隨位置而變化。研究張量場因位置而變化的情況使我們從張量代數(shù)的領域進入張量分析的領域。這里簡要介紹笛卡兒坐標系中的張量分析。

107張量函數(shù)及其微積分在空間所論域內(nèi),每點定義的同階張量,構(gòu)A:標量的矢量函數(shù)張量函數(shù)一個張量F依賴于另一張量T而變化矢量u是t的函數(shù)，ui也是t的函數(shù)，如ui可導，則矢量u對t的導數(shù)為:即張量函數(shù)及其微積分108A:標量的矢量函數(shù)張量函數(shù)矢量u是t的函數(shù)，ui也B:矢量的標量函數(shù)標量

f是矢量u的函數(shù)即若f

可連續(xù)偏導,則f對u的導數(shù)是一個矢量張量函數(shù)及其微積分109B:矢量的標量函數(shù)標量f是矢量u的函數(shù)即若f可連矢量u是矢量v的函數(shù)，即若ui的偏導連續(xù)，則u對v的導數(shù)是一個二階張量張量函數(shù)及其微積分C:矢量的矢量函數(shù)110矢量u是矢量v的函數(shù)，即若ui的偏導連續(xù)，則u對v的導數(shù)是一若f對二階張量Tij的偏導連續(xù),則若標量f是二階張量Tij的函數(shù),即f相對于T的導數(shù)是二階張量張量函數(shù)及其微積分D:二階張量的標量函數(shù)111若f對二階張量Tij的偏導連續(xù),則若標量f是二階若φ是定義在空間區(qū)域的張量，φ是一個張量場，則則φ對坐標的一階偏導數(shù)和二階偏導數(shù)記為則φ的導數(shù)和微分記為張量函數(shù)及其微積分E:張量場112若φ是定義在空間區(qū)域的張量，φ是一個張量場，則則φ對坐標的一

Hamilton算子φ的導數(shù)和微分可用Hamilton算子改寫為右梯度同樣定義左梯度張量函數(shù)及其微積分張量的梯度為比原張量高一階的新張量梯度113Hamilton算子φ的導數(shù)和微分可用Hamilton張量函數(shù)及其微積分散度左散度

右散度

張量的散度為比原張量低一階的新張量114張量函數(shù)及其微積分散度左散度右散度張量的散度為比原張張量函數(shù)及其微積分旋度左旋度

右旋度

張量的旋度為與原張量具有相同階數(shù)的新張量115張量函數(shù)及其微積分旋度左旋度右旋度張量的旋度為與原張張量函數(shù)及其微積分

高斯公式（散度定理）式中，V表示空間的某一區(qū)域，S是這一區(qū)域的表面，n=niei是S的外法線單位矢量,φ

是V中具有連續(xù)偏導的場函數(shù)。116張量函數(shù)及其微積分高斯公式（散度定理）式中，V表示空間V表示空間的某一區(qū)域，S是這一區(qū)域的表面，n=niei是S的外法線單位矢量,φ

是V中任意階的光滑張量場。用“○”表示并積、點積、叉積等任何一種運算，則張量函數(shù)及其微積分

高斯公式117V表示空間的某一區(qū)域，S是這一區(qū)域的表面，n=ni118118119

學習目標：廣告分類及特點。廣告的寫法

學法指導：結(jié)合已有見聞了解廣告用法。學會聯(lián)想，激發(fā)想象力，學會廣告寫作。課后多觀察，多積累素材，借助媒體，借鑒經(jīng)驗，處處留心皆廣告。

本節(jié)課重點：學習目標1、2、廣告標題寫法。119

學習目標：120導入：相信同學們對廣告這個字眼是再熟悉不過了，隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，人們生活水平的日益提高，傳媒手段的多元化，廣告如漫天飛雪撲面而來，給人們的生活帶來意想不到的影響?？梢哉f人人都離不開廣告。通過今天的學習，同學們對廣告會有更深的認識。120導入：相信同學們對廣告這個字眼是再熟悉不過了，隨著現(xiàn)代121廣告概念：廣義：包括公益性宣傳廣告和商業(yè)行為廣告。狹義：以盈利為目的的商業(yè)行為的廣告。商業(yè)廣告概念：商業(yè)廣告是一種有計劃、有針對性地通過各種媒體向公眾傳遞商品、服務信息，以促進銷售或有償服務的經(jīng)濟應用文。

“廣告”一詞，來源于西方。英語稱之為Advertise。源出于拉丁語Advetteze，含義為‘注意’、‘誘導’。

121廣告概念：廣義：122分類：

按傳播媒體形式分：報刊雜志廣告廣播電視廣告路牌廣告櫥窗展示廣告郵寄廣告按作用分：商品廣告招聘廣告服務廣告122分類：

按傳播媒體形式分：報刊雜志廣告123廣告詞，也稱廣告文案或廣告文稿，是指在廣告作品中用以表達廣告主題和創(chuàng)意的語言文字，它是廣告的核心。123廣告詞，也稱廣告文案或廣告文稿，是指在廣告作品中用以表