曲線積分與曲面積分(解題方法歸納)

./第十一章解題方法歸納一、曲線積分與曲面積分的計(jì)算方法1.曲線積分與曲面積分的計(jì)算方法歸納如下：<1>利用性質(zhì)計(jì)算曲線積分和曲面積分.<2>直接化為定積分或二重積分計(jì)算曲線或曲面積分<3>利用積分與路徑無(wú)關(guān)計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲線積分.<4>利用格林公式計(jì)算平面閉曲線上的曲線積分.<5>利用斯托克斯公式計(jì)算空間閉曲線上的曲線積分.<6>利用高斯公式計(jì)算閉曲面上的曲面積分.2.在具體計(jì)算時(shí),常用到如下一些結(jié)論：〔1若積分曲線關(guān)于軸對(duì)稱,則其中是在右半平面部分.若積分曲線關(guān)于軸對(duì)稱,則其中是在上半平面部分.〔2若空間積分曲線關(guān)于平面對(duì)稱,則.〔3若積分曲面關(guān)于面對(duì)稱,則其中是在面上方部分.若積分曲面關(guān)于面對(duì)稱,則其中是在面前方部分.若積分曲面關(guān)于面對(duì)稱,則其中是在面右方部分.〔4若曲線弧,則若曲線弧〔極坐標(biāo),則若空間曲線弧,則〔5若有向曲線弧,則若空間有向曲線弧,則〔6若曲面,則其中為曲面在面上的投影域.若曲面,則其中為曲面在面上的投影域.若曲面,則其中為曲面在面上的投影域.〔7若有向曲面,則〔上"+"下"-"其中為在面上的投影區(qū)域.若有向曲面,則〔前"+"后"-"其中為在面上的投影區(qū)域.若有向曲面,則〔右"+"左"-"其中為在面上的投影區(qū)域.〔8與路徑無(wú)關(guān)〔為任一閉曲線〔存在其中是單連通區(qū)域,在有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).〔9格林公式其中為有界閉區(qū)域的邊界曲線的正向,在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).〔10高斯公式或其中為空間有界閉區(qū)域的邊界曲面的外側(cè),在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),為曲面在點(diǎn)處的法向量的方向余弦.〔11斯托克斯公式其中為曲面的邊界曲線,且的方向與的側(cè)〔法向量的指向符合右手螺旋法則,在包含在的空間區(qū)域有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).計(jì)算曲線積分或曲面積分的步驟：〔1計(jì)算曲線積分的步驟：1判定所求曲線積分的類型〔對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分或?qū)ψ鴺?biāo)的曲線積分；2對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,一般將其化為定積分直接計(jì)算；對(duì)坐標(biāo)的曲線積分：判斷積分是否與路徑無(wú)關(guān),若積分與路徑無(wú)關(guān),重新選取特殊路徑積分；判斷是否滿足或添加輔助線后滿足格林公式的條件,若滿足條件,利用格林公式計(jì)算〔添加的輔助線要減掉；將其化為定積分直接計(jì)算.對(duì)空間曲線上的曲線積分,判斷是否滿足斯托克斯公式的條件,若滿足條件,利用斯托克斯公式計(jì)算；若不滿足,將其化為定積分直接計(jì)算.〔2計(jì)算曲面積分的步驟：1判定所求曲線積分的類型〔對(duì)面積的曲面積分或?qū)ψ鴺?biāo)的曲面積分；2對(duì)面積的曲面積分,一般將其化為二重積分直接計(jì)算；對(duì)坐標(biāo)的曲面積分：判斷是否滿足或添加輔助面后滿足高斯公式的條件,若滿足條件,利用高斯公式計(jì)算〔添加的輔助面要減掉；將其投影到相應(yīng)的坐標(biāo)面上,化為二重積分直接計(jì)算.例1計(jì)算曲線積分,其中為取逆時(shí)針?lè)较?解由于積分曲線關(guān)于軸、軸均對(duì)稱,被積函數(shù)對(duì)、均為偶函數(shù),因此故『方法技巧』對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的對(duì)稱性與對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)稱性不同,記清楚后再使用.事實(shí)上,本題還可應(yīng)用格林公式計(jì)算.例2計(jì)算曲面積分,其中為球面.解由積分曲面的對(duì)稱性及被積函數(shù)的奇偶性知又由輪換對(duì)稱性知故『方法技巧』對(duì)面積的曲面積分的對(duì)稱性與對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的對(duì)稱性不同,理解起來(lái)更容易些.若碰到積分曲面是對(duì)稱曲面,做題時(shí)可先考慮一下對(duì)稱性.例3計(jì)算曲面積分,其中為球面.解『方法技巧』積分曲面是關(guān)于對(duì)稱的,被積函數(shù)是的奇函數(shù),因此例4計(jì)算曲線積分,其中為圓周的逆時(shí)針?lè)较?解法1直接計(jì)算.將積分曲線表示為參數(shù)方程形式代入被積函數(shù)中得解法2利用格林公式其中,故『方法技巧』本題解法1用到了定積分的積分公式：解法2中,一定要先將積分曲線代入被積函數(shù)的分母中,才能應(yīng)用格林公式,否則不滿足在有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的條件.例5計(jì)算曲線積分,其中為沿由點(diǎn)到點(diǎn)的曲線弧.解直接計(jì)算比較困難.由于,因此在不包含原點(diǎn)的單連通區(qū)域,積分與路徑無(wú)關(guān).取圓周上從到點(diǎn)的弧段代替原弧段,其參數(shù)方程為：,代入被積函數(shù)中得『方法技巧』本題的關(guān)鍵是選取積分弧段,既要保證簡(jiǎn)單,又要保證不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).例6計(jì)算曲面積分,其中為的法向量與各坐標(biāo)軸正向夾銳角的側(cè)面.解由于曲面具有輪換對(duì)稱性,,投影到面的區(qū)域,故『方法技巧』由于積分曲面具有輪換對(duì)稱性,因此可以將直接轉(zhuǎn)換為,只要投影到面即可.例7計(jì)算曲面積分,其中為錐面在部分的上側(cè).解利用高斯公式.添加輔助面,取下側(cè),則其中為和圍成的空間圓錐區(qū)域,為投影到面的區(qū)域,即,由的輪換對(duì)稱性,有故『方法技巧』添加輔助面時(shí),既要滿足封閉性,又要滿足對(duì)側(cè)的要求.本題由于積分錐面取上側(cè)〔側(cè),因此添加的平面要取下側(cè),這樣才能保證封閉曲面取側(cè),使用高斯公式轉(zhuǎn)化為三重積分時(shí),前面要添加負(fù)號(hào).例8計(jì)算曲線積分,其中從軸的正向往負(fù)向看,的方向是順時(shí)針?lè)较?解應(yīng)用斯托克斯公式計(jì)算.令取下側(cè),在面的投影區(qū)域?yàn)?則『方法技巧』本題用斯托克斯公式計(jì)算比直接寫(xiě)出曲線的參數(shù)方程代入要簡(jiǎn)單,所有應(yīng)用斯托克斯公式的題目,曲面的選取都是關(guān)鍵,既要簡(jiǎn)單,又要滿足斯托克斯的條件,需要大家多加練習(xí).二、曲線積分與曲面積分的物理應(yīng)用1.曲線積分與曲面積分的物理應(yīng)用歸納如下：<1>曲線或曲面形物體的質(zhì)量.<2>曲線或曲面的質(zhì)心〔形心.<3>曲線或曲面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.<4>變力沿曲線所作的功.<5>矢量場(chǎng)沿有向曲面的通量.<6>散度和旋度.2.在具體計(jì)算時(shí),常用到如下一些結(jié)論：〔1平面曲線形物體空間曲線形物體曲面形構(gòu)件〔2質(zhì)心坐標(biāo)平面曲線形物體的質(zhì)心坐標(biāo)：空間曲線形物體的質(zhì)心坐標(biāo)：曲面形物體的質(zhì)心坐標(biāo)：當(dāng)密度均勻時(shí),質(zhì)心也稱為形心.〔3轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平面曲線形物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：空間曲線形物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：曲面形物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：其中和分別為平面物體的密度和空間物體的密度.〔4變力沿曲線所作的功平面上質(zhì)點(diǎn)在力+作用下,沿有向曲線弧從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn),所做的功空間質(zhì)點(diǎn)在力++作用下,沿有向曲線弧從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn),所做的功矢量場(chǎng)沿有向曲面的通量矢量場(chǎng)++通過(guò)有向曲面指定側(cè)的通量散度和旋度矢量場(chǎng)++的散度矢量場(chǎng)++的旋度+曲線積分或曲面積分應(yīng)用題的計(jì)算步驟：〔1根據(jù)所求物理量,代入相應(yīng)的公式中；〔2計(jì)算曲線積分或曲面積分.例9設(shè)質(zhì)點(diǎn)在場(chǎng)力的作用下,沿曲線由圖11.7移動(dòng)到,求場(chǎng)力所做的功.〔其中為常數(shù)圖11.7解積分曲線如圖11.7所示.場(chǎng)力所做的功為令,則即在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域,積分與路徑無(wú)關(guān).另取由到的路徑：『方法技巧』本題的關(guān)鍵是另取路徑,一般而言,最簡(jiǎn)單的路徑為折線路徑,比如,但不可以選取此路徑,因?yàn)樵谠c(diǎn)處不連續(xù).換句話說(shuō),所取路徑不能經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)然路徑的取法不是唯一的.例10設(shè)密度為1的流體的流速,曲面是由曲線饒軸