2023-2024學(xué)年北師大版必修第一冊 第2章 §3 第2課時 函數(shù)的最大值、最小值 課件（22張）

探究一

函數(shù)的最大值1.觀察下列兩個函數(shù)的圖象：yxox0圖2MB【提示】第一個函數(shù)圖象有最高點A,第二個函數(shù)圖象有最高點B,也就是說,這兩個函數(shù)的圖象都有最高點.思考2

設(shè)函數(shù)y=f(x)圖象上最高點的縱坐標(biāo)為M,則對函數(shù)定義域內(nèi)任意自變量x,f(x)與M的大小關(guān)系如何?【提示】f(x)≤M思考1

這兩個函數(shù)圖象有何共同特征？最高點的縱坐標(biāo)即是函數(shù)的最大值！當(dāng)一個函數(shù)f(x)的圖象有最高點時，就說函數(shù)f(x)有最大值.函數(shù)在_______上為增函數(shù)，_______上為減函數(shù);圖象有_____(最高（低）)點，坐標(biāo)為_____.2.觀察下面函數(shù)的圖象，并回答問題對任意所以y=4是所有函數(shù)值中最大的，故函數(shù)f(x)有最大值4.最高函數(shù)最大值定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D，如果存在實數(shù)M滿足：（1）對于任意的x∈D，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈D，使得f(x0)=M.那么，我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值.可以這樣理解：函數(shù)的最大值是所有函數(shù)值中最大的一個，并且是能夠取到的.函數(shù)圖象最高點處的函數(shù)值的刻畫：函數(shù)圖象在最高點處的函數(shù)值是函數(shù)在整個定義域上最大的值.對于函數(shù)f(x)=-x2而言，即對于函數(shù)定義域中任意的x∈R，都有f(x)≤f(0)函數(shù)最大值的“形”的定義：當(dāng)一個函數(shù)的圖象有最高點時，我們就說這個函數(shù)有最大值.當(dāng)一個函數(shù)的圖象無最高點時，我們就說這個函數(shù)沒有最大值.函數(shù)y＝－3x2＋2在區(qū)間[－1，2]上的最大值為________.【解析】函數(shù)y＝－3x2＋2的對稱軸為x＝0，又因為0∈[－1，2]，

所以f(x)max＝f(0)＝2.【即時訓(xùn)練】2圖1yox0xmxyox0圖2m1.觀察下列兩個函數(shù)的圖象：探究二

函數(shù)的最小值思考:這兩個函數(shù)圖象各有一個最低點，函數(shù)圖象上最低點的縱坐標(biāo)叫什么名稱？提示：函數(shù)圖象上最低點的縱坐標(biāo)是所有函數(shù)值中的最小值,即函數(shù)的最小值.2.函數(shù)在_______上為增函數(shù)，_______上為減函數(shù)；圖象有_____(最高（低）)點坐標(biāo)為______.觀察下面函數(shù)的圖象，并回答問題對任意所以y=-4是所有函數(shù)值中最小的,故函數(shù)有最小值-4.最低當(dāng)一個函數(shù)f(x)的圖象有最低點時，就說函數(shù)f(x)有最小值.仿照函數(shù)最大值的定義，怎樣定義函數(shù)的最小值？提示：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D，如果存在x0∈D,使得對于任意的x∈D，都有f(x)≥f(x0),那么稱f(x0)為函數(shù)y=f(x)的最小值，記為ymin=f(x0).【思考交流】函數(shù)最小值的定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D，如果存在實數(shù)N滿足：（1）對任意的，都有f(x)≥N；（2）存在，使得f(x0)=N.那么，我們稱N是函數(shù)y=f(x)的最小值.可以這樣理解：函數(shù)的最小值是所有函數(shù)值中最小的一個，并且是能夠取到的.函數(shù)圖象最低點處的函數(shù)值的刻畫：函數(shù)圖象在最低點處的函數(shù)值是函數(shù)在整個定義域上最小的值.對于函數(shù)f(x)=x2而言，即對于函數(shù)定義域中任意的x∈R，都有f(x)≥f(0).最小值的“形”的定義：當(dāng)一個函數(shù)的圖象有最低點時，我們就說這個函數(shù)有最小值.當(dāng)一個函數(shù)的圖象沒有最低點時，我們就說這個函數(shù)沒有最小值.因為不等式x2>－1總成立，所以－1是f(x)＝x2的最小值.()【解析】f(x)＝x2的最小值為0，不符合最小值定義，所以錯誤?！炯磿r訓(xùn)練】×1.函數(shù)最大值首先應(yīng)該是某一個函數(shù)值，即存在使得.并不是所有滿足的函數(shù)都有最大值M.如函數(shù),雖然對定義域上的任意自變量都有，但1不是函數(shù)的最大值.2.函數(shù)的最值是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)，即這個函數(shù)值是函數(shù)在整個定義域上的最大的函數(shù)值或者是最小的函數(shù)值.【規(guī)律方法】由于2<x1<x2<6,得x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是所以，函數(shù)是區(qū)間[2,6]上的減函數(shù).

任取x1,x2∈[2,6]，且x1＜x2例1.已知函數(shù)，求函數(shù)的最大值和最小值.【解析】因此,函數(shù)在區(qū)間[2,6]上的兩個端點上分別取得最大值和最小值，即在點x=2時取最大值，最大值是2，在x=6時取最小值，最小值為0.4.【總結(jié)提升】函數(shù)在定義域上是減函數(shù),必須進行證明，然后再根據(jù)這個單調(diào)性確定函數(shù)取得最值的點.因此解題過程分為兩個部分，先證明函數(shù)在[2，6]上是減函數(shù)，再求這個函數(shù)的最大值和最小值.已知函數(shù)f（x）=-x2+6x+9在區(qū)間[a，b]，（a＜b＜3）上有最大值9，最小值-7，求實數(shù)a，b的值．【解析】因為y=-（x-3）2+18

因為a＜b＜3，所以當(dāng)x=a時，函數(shù)取得最小值ymin=-7；

當(dāng)x=b時，函數(shù)取得最大值ymax=9；即解得：a=8或-2；b=0或6．又因為a<b<3，所以a=-2；b=0．【變式練習(xí)】1.利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大(小)值.2.利用圖象求函數(shù)的最大(小)值.3.利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的最大(小)值

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，則函數(shù)y=f(x)在x=a處有最小值f(a),在x=b處有最大值f(b)；

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增,則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b).【總結(jié)提升】

判斷函數(shù)的最大(小)值的方法：

函數(shù)的最大值、最小值核心知識方法總結(jié)易錯提醒核心素養(yǎng)最值M一定是一個函數(shù)值，是值域中的一個元素在利用單調(diào)性求最值時，勿忘求函數(shù)的定義域直觀想象：通過數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)最大值與最小值，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)函數(shù)最值的求法(1)圖象法：對已知函數(shù)圖象的用此法.(2)配方法：對二次或通過換元得到的二次型函數(shù)適用(3)單調(diào)性法：適用于可判斷在閉區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)求解方法概念最大值最小值1.函數(shù)在區(qū)間上的最大值是_____;最小值是______.【解析】函數(shù)在［-2,-1］上為減函數(shù)，當(dāng)x=-2時，y=；當(dāng)x=-1時，y=-5，所以函數(shù)在x∈［-2,-1］上的最大值為,最小值為-5.2.函數(shù)f(x)=x2+4ax+2在區(qū)間(-∞，6]內(nèi)遞減，則a的取值范圍是()A.a≥3B.a≤3C.a≥-3D.a≤-3D【解析】選D.二次函數(shù)的對稱軸為x=-2a

故只需-2a≥6,即a≤-3(1).若對任意x∈I，都有f(x)≤M，則M