2023-2024學(xué)年湘教版選擇性必修第一冊 第3章 圓錐曲線與方程本章總結(jié)提升 課件（43張）

專題突破素養(yǎng)提升專題一與圓錐曲線有關(guān)的軌跡問題涉及與圓錐曲線有關(guān)的軌跡問題,主要將已知條件轉(zhuǎn)化為動點滿足的關(guān)系式,結(jié)合圓錐曲線的定義求出動點的軌跡方程.求圓錐曲線的軌跡(方程)主要是提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象以及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).【例1】

已知兩個同心圓,其半徑分別為a,b(a>b),AB為小圓上的一條定直徑,則以大圓的切線l為準(zhǔn)線,且過A,B兩點的拋物線的焦點F的軌跡方程為(

)(以線段AB所在直線為x軸,其中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系)A解析

過A,B,O分別向準(zhǔn)線l作垂線,垂足為C,D,G,易知G為切點.根據(jù)拋物線的定義,可得|AF|=|AC|且|BF|=|BD|,∴|AF|+|BF|=|AC|+|BD|.在梯形ABDC中,可得|AC|+|BD|=2|OG|=2a,又A(-b,0),B(b,0)是x軸上的兩個定點,∴點F到A,B兩個定點的距離之和等于2a>2b,根據(jù)橢圓的定義可得點F的軌跡是以A,B為焦點的橢圓,該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

=1,由于點G在x軸上時,不能作出拋物線,所以x≠±a.規(guī)律方法

動點軌跡問題的求解策略(1)解決與圓錐曲線有關(guān)的軌跡問題,首先要明確圓錐曲線的性質(zhì),做好對圖形變化可能性的總體分析,選好相應(yīng)的解題策略并擬定好具體的解題方法,注意將動點的幾何特性用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來.(2)要注意一些軌跡問題所包含的隱含條件,如曲線上點的坐標(biāo)的取值范圍等.變式訓(xùn)練1如圖,圓E:(x+2)2+y2=4,點F(2,0),動圓P過點F,且與圓E內(nèi)切于點M,則動圓P的圓心P的軌跡方程是

.

解析

已知,圓E的半徑為2,設(shè)圓P的半徑為R,則|PE|=|PM|-|ME|=R-2,所以|PF|-|PE|=2.由雙曲線的定義知,點P的軌跡為雙曲線的左支,專題二直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是圓錐曲線解答題的重要組成部分,研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系主要是提升數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng).【例2】

已知雙曲線C:

=1(a>0,b>0)的離心率為2,且過點A(2,3).(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若斜率為

的直線l與C交于P,Q兩點,且與x軸交于點M,若Q為線段PM的中點,求l的方程.(2)(方法1)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),M(m,0),因為Q為線段PM的中點,所以y1=2y2.規(guī)律方法

直線與圓錐曲線相交問題的解法直線與圓錐曲線相交問題的解法主要是將直線方程代入圓錐曲線的方程,將交點的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為消元后的一元二次方程的根的關(guān)系,求解時要注意直線與圓錐曲線相交的條件.變式訓(xùn)練2(2)易知直線l的斜率存在且不為零.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線l的方程為x=ny+1.專題三圓錐曲線中的取值范圍與最值問題圓錐曲線中的取值范圍與最值問題是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的重要題型,求解的基本思路是建立目標(biāo)函數(shù)等,然后利用求函數(shù)的值域(最值)等方法確定求解目標(biāo)的取值范圍或最值.此類問題主要是提升數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).(1)求a,b的值;(2)設(shè)P是橢圓C的長軸上的一個動點,過點P作斜率為1的直線交橢圓于A,B兩點,求△OAB面積的最大值.分析

由橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù).設(shè)出點P的坐標(biāo),利用已知條件寫出直線的方程,代入橢圓方程,求出弦AB的長度以及點O到直線AB的距離,將△OAB面積表示為與點P的坐標(biāo)有關(guān)的函數(shù)關(guān)系式,利用函數(shù)關(guān)系式求最值.又-2≤m≤2,即m2∈[0,4],規(guī)律方法

圓錐曲線中最值與取值范圍問題的常見求法(1)幾何法:若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來解決.(2)代數(shù)法:若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可首先建立目標(biāo)函數(shù),再求這個函數(shù)的最值.在利用代數(shù)法解決最值與取值范圍問題時常從以下幾個方面考慮:①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定取值范圍;②利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式,從而求出取值范圍;③利用基本不等式求出取值范圍;④利用函數(shù)的值域的求法,確定取值范圍.變式訓(xùn)練3如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:

+y2=1的上、下頂點分別為A,B,點P在橢圓C上且異于點A,B,直線AP,PB與直線l:y=-2分別交于點M,N.(1)設(shè)直線AP,PB的斜率分別為k1,k2,求證:k1·k2為定值;(2)求線段MN長的最小值.(2)解

由題設(shè)可以得到直線AP的方程為y-1=k1(x-0),直線PB的方程為y-(-1)=k2(x-0).專題四參數(shù)的取值范圍問題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的參數(shù)的取值范圍問題的求解基本思路是建立不等式,此類問題主要是提升數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).【例4】

已知橢圓的一個頂點A(0,-1),焦點在x軸上,離心率為

.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線y=kx+m(k≠0)與橢圓交于不同的兩點M,N.當(dāng)|AM|=|AN|時,求實數(shù)m的取值范圍.分析根據(jù)離心率及頂點坐標(biāo)求出橢圓方程中的參數(shù),利用|AM|=|AN|的幾何性質(zhì):點A與M,N的中點的連線與直線MN垂直建立方程,研究直線與橢圓的交點的性質(zhì).由Δ=(8km)2-16(4k2+1)(m2-1)>0,得m2<1+4k2,①規(guī)律方法

解決圓錐曲線中參數(shù)的取值范圍問題應(yīng)考慮的五個方面(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍;(2)利用已知參數(shù)的取值范圍,求新參數(shù)的取值范圍,解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系;(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù),求其值域,從而確定參數(shù)的取值范圍.變式訓(xùn)練4(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點(0,-2)的直線l與橢圓C交于不同的A,B兩點,若∠AOB為鈍角,求直線l的斜率的取值范圍.(2)由題意可知直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2).專題五定值問題與圓錐曲線有關(guān)的定值問題,求解的主要方法是列出關(guān)于待求定值的關(guān)系式,將關(guān)系式化簡為定值,此類問題主要提升數(shù)學(xué)運算、邏輯推理的核心素養(yǎng).【例5】

已知點A(-2,0),B(2,0)皆為曲線C上的點,P為曲線C上異于A,B的任意一點,且滿足直線PA的斜率與直線PB的斜率之積為

.(1)求曲線C的方程;(2)若曲線C的右焦點為F,過M(4,0)的直線l與曲線C交于D,E,求證:直線FD與直線FE的斜率之和為定值.分析

設(shè)P(x,y),代入kPA·kPB=,化簡即可求出曲線C的方程,將橢圓方程與直線方程聯(lián)立,運用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式及斜率公式求解.(2)證明易知直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=k(x-4),D(x1,y1),E(x2,y2),即kFD+kFE=0,所以直線FD與直線FE斜率之和為定值0.規(guī)律方法

圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)有關(guān)斜率的定值問題,包含證明動直線的斜率為定值,不同直線斜率的關(guān)系(如k1+k2,k1k2,)是定值.方法:設(shè)原始量的有關(guān)變量,逐步表示出關(guān)系式中涉及的斜率,最后進(jìn)行化簡得到一個定值.(2)有關(guān)向量的定值問題,包括向量之積為定值,向量之間一些稍微復(fù)雜的關(guān)系為定值,兩直線垂直(可以用向量的數(shù)量積為0來證明).方法:設(shè)出原始量的變量,逐步表示出向量所涉及的點的坐標(biāo),再表示出向量,直接利用坐標(biāo)關(guān)系