老高考適用2023版高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)第1篇核心素養(yǎng)謀局思想方法引領(lǐng)第4講創(chuàng)新情境與數(shù)學(xué)文化

第一篇第4講一、選擇題1．二十四節(jié)氣(The24SolarTerms)是指中國農(nóng)歷中表示季節(jié)變遷的24個特定節(jié)令，是根據(jù)地球在黃道(即地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道)上的位置變化而制定的，每一個分別相應(yīng)于地球在黃道上每運(yùn)動15°所到達(dá)的一定位置．根據(jù)上述描述，從秋分到小雪相應(yīng)于地球在黃道上運(yùn)動的度數(shù)為(A)A．60° B．－75°C．45° D．－60°【解析】從秋分到小雪相應(yīng)于地球在黃道上運(yùn)動的度數(shù)為4×15°＝60°．故選A．2．(文)(2022·黑龍江哈爾濱市第六中學(xué)校高三月考)“干支紀(jì)年法”是中國歷法上自古以來使用的紀(jì)年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字開始，“地支”以“子”字開始，兩者按干支順序相配，組成了干支紀(jì)年法，其相配順序?yàn)椋杭鬃?、乙丑、丙寅、…、癸酉、甲戌、乙亥、丙子、…、癸未、甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…共得?0個組合，稱六十甲子，周而復(fù)始，無窮無盡．2021年是“干支紀(jì)年法”中的辛丑年，那么2016年是“干支紀(jì)年法”中的(A)A．丙申年 B．丙午年C．甲辰年 D．乙未年【解析】依題意，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．2021年是辛丑年，2020年為庚子，2019年是己亥年，2018年是戊戌年，2017年是丁酉年，2016年是丙申年．故選A．3．(2022·洛陽模擬)2022年北京冬奧會的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受吉祥物愛好者的喜愛，“冰墩墩”和“雪容融”將中國文化符號和冰雪運(yùn)動完美融合，承載了新時代中國的形象和夢想．若某個吉祥物愛好者從裝有3個“冰墩墩”和3個“雪容融”的6個盲盒的袋子中任取2個盲盒，則恰好抽到1個“冰墩墩”和1個“雪容融”的概率是(C)A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(3,10)【解析】記3個“冰墩墩”分別為a、b、c,3個“雪容融”分別為1、2、3，從6個盲盒的袋子中任取2個盲盒有：ab，ac，a1，a2，a3，bc，b1，b2，b3，c1，c2，c3,12,13,23共15種情況，其中恰好抽到1個“冰墩墩”和1個“雪容融”包含a1，a2，a3，b1，b2，b3，c1，c2，c3共9種，所以概率為：P＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5)．故選C．4．(2022·海淀區(qū)校級模擬)窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)．圖1是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花．圖2中正六邊形ABCDEF的邊長為4，圓O的圓心為該正六邊形的中心，圓O的半徑為2，圓O的直徑MN∥CD，點(diǎn)P在正六邊形的邊上運(yùn)動，則eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的最小值為(D)A．5 B．6C．7 D．8【解析】正六邊形ABCDEF內(nèi)切圓半徑為r＝OA·sin60°＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，正六邊形ABCDEF外接圓半徑為R＝4，又eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→)))·(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→)))＝(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→)))·(eq\o(PO,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→)))＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|2－|eq\o(OM,\s\up6(→))|2＝|PO|2－4，而r≤|eq\o(PO,\s\up6(→))|≤R，∴eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|2－4≥12－4＝8．故選D．5．(2022·金鳳區(qū)校級三模)明代數(shù)學(xué)家吳敬所著的《九章詳注比類算法大全》一書中，記載了一道數(shù)學(xué)題：有7個人每人趕著一群羊到野外去放養(yǎng)，每人放養(yǎng)的羊(單位：頭)的數(shù)量分別為a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，它們恰好構(gòu)成一個等差數(shù)列，若a1＋a2＋a3＝33,2a2＋9＝a7，則這7個人一共放養(yǎng)的總羊群的頭數(shù)是(C)A．125 B．128C．133 D．136【解析】∵a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，恰好構(gòu)成一個等差數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝33,2a2＋9＝a7，設(shè)公差為d，∴3a2＝33,2a1＋2d＋9＝a1＋6d，∴d＝4，a1＝7，∴這7個人一共放養(yǎng)的總羊群的頭數(shù)是：7a1＋eq\f(7×6,2)d＝133．故選C．6．(2022·浙江高一期末)在R上定義運(yùn)算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc，若不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1a－2,a＋1x))≥1對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為(D)A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(3,2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,2)【解析】由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1a－2,a＋1x))≥1即x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，所以a2－a－1≤x2－x恒成立，在R上x2－x的最小值為－eq\f(1,4)，所以a2－a－1≤－eq\f(1,4)，整理可得(2a＋1)(2a－3)≤0，解得－eq\f(1,2)≤a≤eq\f(3,2)，實(shí)數(shù)a的最大值為eq\f(3,2)，故選D．7．(2022·四川模擬)2022年北京冬奧會開幕式為世界奉獻(xiàn)了一場精彩、簡約、唯美、浪漫的中國文化盛宴，其中主火炬臺的雪花狀創(chuàng)意令人驚嘆．如圖所示的圖案是一個邊長為6的正六邊形雪花狀飾品，內(nèi)部有一個多邊形Ω，其形狀是由邊長為3的正六邊形各邊兩個三等分點(diǎn)間的線段向外作正三角形(再去掉該線段)而成．若在該正六邊形雪花狀飾品任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自于多邊形Ω及其內(nèi)部的概率為(A)A．eq\f(5,18) B．eq\f(1,3)C．eq\f(7,18) D．eq\f(4,9)【解析】∵S大正六邊形＝6×eq\f(1,2)×6×3eq\r(3)＝54eq\r(3)，S小正六邊形＝6×eq\f(1,2)×3×eq\f(3\r(3),2)＝eq\f(27,2)eq\r(3)，S正三角形＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)，∴滿足條件的概率P＝eq\f(6×\f(\r(3),4)＋\f(27,2)\r(3),54\r(3))＝eq\f(5,18)，故選A．8．(2022·聊城三模)《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐．若一個直角圓錐的側(cè)面積為4eq\r(2)π，圓錐的底面圓周和頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的體積為(B)A．eq\f(8,3)π B．eq\f(32,3)πC．16π D．32π【解析】設(shè)球半徑為R，圓錐的底面半徑為r，若一個直角圓錐的側(cè)面積為4eq\r(2)π，設(shè)母線為l，則l2＋l2＝4r2?l＝eq\r(2)r，所以直角圓錐的側(cè)面積為：eq\f(1,2)×2πr·l＝eq\f(1,2)×2πr·eq\r(2)r＝4eq\r(2)π，可得：r＝2，l＝eq\r(2)r＝2eq\r(2)，圓錐的高BO1＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(8－4)＝2，由r2＋(2－R)2＝R2，解得：R＝2，所以球O的體積等于eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×8＝eq\f(32π,3)，故選B．9．元朝著名數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中有一首詩：“我有一壺酒，攜著游春走，遇店添一倍，逢友飲一斗，店友經(jīng)三處，沒了壺中酒，借問此壺中，當(dāng)原多少酒？”用程序框圖表達(dá)如圖所示．若將“沒了壺中酒”改為“剩余原壺中eq\f(1,3)的酒量”，即輸出值是輸入值的eq\f(1,3)，則輸入的x＝(C)A．eq\f(3,5) B．eq\f(9,11)C．eq\f(21,23) D．eq\f(45,47)【解析】i＝1時，x＝2x－1；i＝2時，x＝2(2x－1)－1＝4x－3；i＝3時，x＝2(4x－3)－1＝8x－7；i＝4時，退出循環(huán)．此時，8x－7＝eq\f(1,3)x，解得x＝eq\f(21,23)．故選C．10．(2022·射洪市校級模擬)圖形是信息傳播、互通的重要的視覺語言《畫法幾何》是法國著名數(shù)學(xué)家蒙日的數(shù)學(xué)巨著，該書在投影的基礎(chǔ)上，用“三視圖”來表示三維空間中立體圖形．具體來說．做一個幾何的“三視圖”，需要觀測者分別從幾何體正面、左面、上面三個不同角度觀察，從正投影的角度作圖．如圖中粗實(shí)線畫出的是某三棱錐的三視圖，且網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則該三棱錐的外接球的表面積為(C)A．12π B．24πC．48π D．96π【解析】根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖，如圖所示，該幾何體為三棱錐，設(shè)外接球的半徑為R，把該三棱錐補(bǔ)成一個棱長為4的正方體，則正方體的外接球即為該三棱錐的外接球，所以(2R)2＝42＋42＋42＝48，解得R2＝12，∴該三棱錐的外接球的表面積為4πR2＝4π×12＝48π，故選C．11．趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周碑算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的)．類比“趙爽弦圖”，可類似地構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設(shè)AD＝2BD，若在大等邊三角形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小等邊三角形的概率是(A)A．eq\f(1,7) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(4,13)【解析】設(shè)BD＝x，因?yàn)椤鰽BC是由3個全等的三角形與中間的等邊三角形構(gòu)成，所以AD＝2x，∠ADB＝120°，由余弦定理可知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos120°，代入可得AB2＝(2x)2＋x2－2×2x·xcos120°，化簡得AB2＝7x2，由三角形面積公式可得S△ABC＝eq\f(\r(3),4)AB2＝eq\f(7\r(3)x2,4)，同理S△DEF＝eq\f(\r(3),4)FD2＝eq\f(\r(3)x2,4)，所以由幾何概型面積類型的概率可得eq\f(S△DEF,S△ABC)＝eq\f(\f(\r(3)x2,4),\f(7\r(3)x2,4))＝eq\f(1,7)．故選A．12．(2022·雅安模擬)當(dāng)聲音的強(qiáng)度為x時，對應(yīng)的等級為f(x)分貝，有f(x)＝10lgeq\f(x,A0)(其中A0為常數(shù))．若裝修電鉆的聲音等級約為100分貝，普通室內(nèi)談話的聲音等級約為60分貝，則裝修電鉆的聲音強(qiáng)度與普通室內(nèi)談話的聲音強(qiáng)度的比值為(D)A．eq\f(5,3) B．eq\f(3,5)C．10－4 D．104【解析】設(shè)裝修電鉆的聲音強(qiáng)度為x1，普通室內(nèi)談話的聲音強(qiáng)度為x2．由題意得：f(x1)＝100＝10lgeq\f(x1,A0)，f(x2)＝60＝10lgeq\f(x2,A0)，解得x1＝A0·1010，x2＝A0·106，∴裝修電鉆的聲音強(qiáng)度與普通室內(nèi)談話的聲音強(qiáng)度的比值為：eq\f(x1,x2)＝eq\f(A0·1010,A0·106)＝104．故選D．二、填空題13．《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列．上面4節(jié)的容積共為3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為__eq\f(67,66)__升．【解析】設(shè)該數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，依題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋7d＝\f(4,3)，,d＝\f(7,66)，))則a5＝a1＋4d＝a1＋7d－3d＝eq\f(4,3)－eq\f(21,66)＝eq\f(67,66)．14．(2022·臨沂三模)數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，這條直線后人稱之為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)A(2,0)，B(0,4)，C(－4,0)，則其歐拉線方程為?。?！__x－y＋2＝0__．【解析】設(shè)△ABC的重心為G，垂心為H，由重心坐標(biāo)公式得x＝eq\f(0＋2＋－4,3)＝－eq\f(2,3)，y＝eq\f(0＋4＋0,3)＝eq\f(4,3)，所以Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(4,3)))，由題，△ABC的邊AC上的高線所在直線方程為x＝0，直線BC：y＝x＋4，A(2,0)，所以△ABC的邊BC上的高線所在直線方程為y＝－x＋2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－x＋2，))?H(0,2)，所以歐拉線GH的方程為y－2＝eq\f(2－\f(4,3),0－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))))x，即x－y＋2＝0．故答案為x－y＋2＝0．15．(2022·沙河口區(qū)校級一模)一般認(rèn)為，民用住宅窗戶面積a與地板面積b的比應(yīng)不小于10%，即eq\f(1,10)≤eq\f(a,b)＜1，而且比值越大采光效果越好，若窗戶面積與地板面積同時增加m，采光效果變好還是變壞？請將你的判斷用不等式表示?。?！__采光效果變好__，__eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b)__．【解析】根據(jù)題意，設(shè)窗戶和地板同時增加m平方米，有eq\f(1,10)≤eq\f(a,b)＜1，則有eq\f(a＋m,b＋m)－eq\f(a,b)＝eq\f(ab＋bm－ab－am,b＋mb)＝eq\f(b－am,b＋mb)，又由a＜b，則eq\f(a＋m,b＋m)－eq