2022-2023學(xué)年廣東省江門市金山中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析

2022-2023學(xué)年廣東省江門市金山中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且c＞d，則“a＞b”是“a－c＞b－d”的()

A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B略2.一個(gè)袋中裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，現(xiàn)從袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，則取出的兩個(gè)球同色的概率是（

）．（A）

（B）（C）

（D）參考答案：A試題分析：現(xiàn)從袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，共有4種結(jié)果（紅，紅）（紅，白）（白，紅）（白，白），記“取出的兩個(gè)球同色”為事件A，則A包含的結(jié)果有（白，白）（紅，紅）2種結(jié)果由古典概率的計(jì)算公式可得P（A）=考點(diǎn)：等可能事件的概率3.已知，是虛數(shù)單位，若，，則（

）A． B． C． D．參考答案：B4.已知,,若，則的值不可能是………（

）（A）.

（B）.

（C）.

（D）.

參考答案：D5.（2﹣i）（﹣2+i）=（）A．﹣5 B．﹣3+4i C．﹣3 D．﹣5+4i參考答案：B【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【解答】解：（2﹣i）（﹣2+i）=﹣4+2i+2i﹣i2=﹣3+4i．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．6.（多選題）若a、b為正實(shí)數(shù)，則的充要條件為（

）A. B. C. D.參考答案：BD【分析】根據(jù)充要條件的定義，尋求所給不等式的等價(jià)條件，滿足與等價(jià)的即可.【詳解】因?yàn)?，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，為正?shí)數(shù)，所以，故B選項(xiàng)正確；取，則，，即不成立，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，即，故D正確.故選：BD【點(diǎn)睛】本題主要考查了充要條件，不等式的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.7.已知∈(,)，sin=,則tan()等于（

）.A．

B．7

C．－

D．－7參考答案：A8.下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是（1）若命題中有一個(gè)是假命題，則是真命題．（2）在中，“”是“”的必要不充分條件．（3）表示復(fù)數(shù)集，則有．A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．A2【答案解析】C

解析：命題（1）（2）是真命題，（3）是假命題，故選C【思路點(diǎn)撥】根據(jù)p∧q，￢p的真假和p，q真假的關(guān)系，二倍角的正弦公式，復(fù)數(shù)的概念即可判斷這幾個(gè)命題的真假．9.已知函數(shù)，若在區(qū)間（0，16）內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x0，則f（x0）＞0的概率為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】由題意可得總的區(qū)間長(zhǎng)度，解不等式可得滿足條件的區(qū)間長(zhǎng)度，由幾何概型的概率公式可得．【解答】解：令f（x）=0，解得：x=4，故在區(qū)間（0，16）內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x0，則f（x0）＞0的概率p==，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何概型，涉及不等式的解法，屬基礎(chǔ)題．10.已知集合，，則A∩B=（

）A．

B．C．

D．參考答案：D由題意得：，∴故選：D

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，第4項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開(kāi)式中的系數(shù)為

．（用數(shù)字作答）參考答案：9略12.設(shè)函數(shù)f（x）（x∈R）為奇函數(shù)，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），則f（5）=

．參考答案：【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用奇函數(shù)的定義、函數(shù)滿足的性質(zhì)轉(zhuǎn)化求解函數(shù)在特定自變量處的函數(shù)值是解決本題的關(guān)鍵．利用函數(shù)的性質(zhì)尋找并建立所求的函數(shù)值與已知函數(shù)值之間的關(guān)系，用到賦值法．【解答】解：由f（1）=，對(duì)f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查抽象函數(shù)求值的方法，考查函數(shù)性質(zhì)在求函數(shù)值中的應(yīng)用，考查了抽象函數(shù)求函數(shù)值的賦值法．靈活運(yùn)用已知條件賦值是迅速解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想．13.在棱長(zhǎng)為1的正方體AC1中，點(diǎn)P為側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)(含邊界)，若動(dòng)點(diǎn)P始終滿足PA⊥BD1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為_(kāi)_______．參考答案：14.命題p：?x0∈R，x02+2x0+1≤0是命題（選填“真”或“假”）．參考答案：真．【分析】舉出正例x0=﹣1，可判斷命題的真假．【解答】解：x2+2x+1=0的△=0，故存在?x0=﹣1∈R，使x02+2x0+1≤0成立，即命題p：?x0∈R，x02+2x0+1≤0是真命題，故答案為：真．15.已知θ∈（0，π），且sin（θ﹣）=，則tan2θ=

．參考答案：﹣考點(diǎn)：二倍角的正切；兩角和與差的正弦函數(shù)．專題：三角函數(shù)的求值．分析：依題意，可得sinθ﹣cosθ=①，sinθ+cosθ=②，聯(lián)立①②得：sinθ=，cosθ=，于是可得cos2θ、sin2θ的值，從而可得答案．解答： 解：∵sin（θ﹣）=（sinθ﹣cosθ）=，∴sinθ﹣cosθ=，①∴1﹣2sinθcosθ=，2sinθcosθ=＞0，依題意知，θ∈（0，），又（sinθ+cosθ）2=1+sin2θ=，∴sinθ+cosθ=，②聯(lián)立①②得：sinθ=，cosθ=，∴cos2θ=2cos2θ﹣1=﹣，∴tan2θ==﹣．故答案為：﹣．點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系式的應(yīng)用，考查二倍角的正弦、余弦與正切，屬于中檔題．16.若向量，滿足||=1，||=2且與的夾角為，則|+|=________。參考答案：，所以，所以。17.設(shè)、滿足約束條件：，則的最大值是。

參考答案：答案：3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)函數(shù).（1）證明：；（2）證明：.參考答案：（1）記則；那么在區(qū)間上單調(diào)遞減；又，所以即成立；（2）記，易知所以存在，使得；因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以又由（1）可知：當(dāng)時(shí)，綜上：.19.（本小題滿分12分）如圖，四邊形與均為菱形，，且，（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：AE∥平面FCB；（Ⅲ）求二面角的余弦值。參考答案：(Ⅰ)證明：設(shè)與相交于點(diǎn)，連結(jié)，菱形中，，且為中點(diǎn)，又，所以，又，所以平面；（Ⅱ）證明：因?yàn)樗倪呅闻c均為菱形，所以//，//，，所以平面//平面,又平面，∴AE∥平面FCB；

（Ⅲ）解：菱形中，，為中點(diǎn)，所以，故兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，．

設(shè)平面的法向量為，則有即

取，得；易知平面的法向量為，由于二面角是銳二面角，所以二面角的余弦值為。略20.如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1（1）求直線DB與平面A1BCD1所成角的大小；（2）求四棱錐D﹣BCD1A1的體積．參考答案：

考點(diǎn)：直線與平面所成的角；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．專題：空間位置關(guān)系與距離；空間角．分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．利用斜線的方向向量和平面的法向量的夾角即可得到線面角；（2）利用點(diǎn)到平面的距離公式及四棱錐的體積計(jì)算公式即可得出．解答：解：（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線DA、DC、DD1為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．則D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1）．，，．設(shè)是平面A1BCD1的法向量，則，即令z=1，則y=1，x=0，∴．設(shè)直線DB與平面A1BCD1所成角為θ，則===．由于，∴．即直線DB與平面A1BCD1所成角的大小為；（2）由（1）得．∴點(diǎn)D到平面A1BCD1的距離．∵四邊形A1BCD1是矩形，∴面積S=BC?CD1=．∴．點(diǎn)評(píng)：熟練掌握通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用斜線的方向向量和平面的法向量的夾角得到線面角；利用向量表示點(diǎn)到平面的距離公式，四棱錐的體積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．21.（本題滿分12分）對(duì)某校高三年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取名學(xué)生作為樣本，得到這名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下：（Ⅰ）求出表中及圖中的值；（Ⅱ）若該校高三學(xué)生有240人，試估計(jì)高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)；（Ⅲ）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人，求至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率.分組頻數(shù)頻率100.252420.05合計(jì)1

參考答案：（Ⅰ）由分組內(nèi)的頻數(shù)是，頻率是知，，所以.

………………1分因?yàn)轭l數(shù)之和為，所以，.

………………2分.

………………3分因?yàn)槭菍?duì)應(yīng)分組的頻率與組距的商，所以.……………4分（Ⅱ）因?yàn)樵撔８呷龑W(xué)生有240人，分組內(nèi)的頻率是，所以估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為人.

………6分（Ⅲ）這個(gè)樣本參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生共有人，設(shè)在區(qū)間內(nèi)的人為，在區(qū)間內(nèi)的人為.則任選人共有，15種情況，而兩人都在內(nèi)只能是一種，

………………8分所以所求概率為.

………………10分22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=alnx+x2(a為實(shí)數(shù))．(Ⅰ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最小值及相應(yīng)的x值；(Ⅱ)若存在x?，使得f(x)≤(a+2)x成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：(Ⅰ)解：f(x)=alnx+x2的定義域?yàn)?0，+∞)，f′(x)=+2x=．·····················1分當(dāng)x?時(shí)，2x2?．································································2分若a≥-2，f′(x)在上非負(fù)(僅當(dāng)a=-2，x=-1時(shí)，f′(x)=0)，故f(x)在上單調(diào)遞增，此時(shí)f(x)min=f(1)=1；··········································3分若-2e2<a<-2，令f′(x)<0，解得1≤x<，此時(shí)f(x)單調(diào)遞減；令f′(x)>0，解得<x≤e，此時(shí)f(x)單調(diào)遞增，∴f(x)min=f()=；·····························································4分若a≤-2e2，f′(x)在上非正(僅當(dāng)a=-2e2，x=e時(shí)，f′(x)=0)，故f(x)在上單調(diào)遞減，此時(shí)f(x)min=f(e)=a+e2．······································5分綜上所述，得a≥-2時(shí)，f(x)min=1，相應(yīng)的x=1；當(dāng)-2e2<a<-2時(shí)，f(x)min=，相應(yīng)的x=；當(dāng)a≤-2e2時(shí)，f(x)min=a+e2，相應(yīng)的x=e．······························6分(Ⅱ)解：不等式f(x)≤(a+2)x可化為a(x-lnx)≥x2-2x．∵x?，∴l(xiāng)nx≤1≤x且等號(hào)不能