2023學(xué)年完整公開課版二次根式

湘教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)二次根式1.平方根的定義:復(fù)習(xí)舊知:

如果有一個(gè)數(shù)r，使得r2=a，那么我們把r叫作a的一個(gè)平方根，也叫作二次方根.符號(hào)表示為：若r2=a

；r=.2.平方根的性質(zhì):(1)一個(gè)正數(shù)有2個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；(2)0的平方根與算術(shù)平方根都是0；(3)負(fù)數(shù)沒有平方根。-代數(shù)式的意義

代數(shù)式的表達(dá)a的算術(shù)平方根a的負(fù)平方根a的平方根3.平方根的表示方法:（設(shè)a≥0）求一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫作開平方.4.開平方的定義:開平方平方互逆說一說正實(shí)數(shù)a的平方根是.運(yùn)用運(yùn)載火箭發(fā)射航天飛船時(shí)，火箭必須達(dá)到一定的速度（稱為第一宇宙速度），才能克服地球的引力，從而將飛船送入環(huán)地球運(yùn)行的軌道.而第一宇宙速度v與地球半徑R之間存在如下關(guān)系：，其中重力加速度常數(shù)若已知地球半徑R，則第一宇宙速度v是多少？（2）（1）

5的平方根是，0的平方根是，正實(shí)數(shù)a的平方根是.（1）

5的平方根是，0的平方根是，正實(shí)數(shù)a的平方根是.0的平方根是，

我們把形如的式子叫作二次根式，根號(hào)下的數(shù)a叫作被開方數(shù).

我們已經(jīng)知道：每一個(gè)正實(shí)數(shù)a有且只有兩個(gè)平方根，一個(gè)記作，稱為a的算術(shù)平方根；另一個(gè)是√√√√√××練習(xí)：下列各式，哪些是二次根式？×

由于在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)實(shí)數(shù)沒有平方根，因此只有當(dāng)被開方數(shù)是非負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)，二次根式才在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義．（一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù).）（雙重非負(fù)性）舉例例1當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

解由x-1≥0，解得x≥1.因此，當(dāng)x≥1時(shí)，

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.注意

在本套教材中，我們都是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)討論二次根式有沒有意義，今后不再每次寫出“在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)”這幾個(gè)字.1.當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列二次根式有意義？

練習(xí)(1)=

；(2)=

；(3)=

；(4)=_____.你有什么發(fā)現(xiàn)？探究先填空，再觀察：一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方，等于這個(gè)數(shù)本身。結(jié)論

對(duì)于非負(fù)實(shí)數(shù)a，由于

是a的一個(gè)平方根，因此:一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方，等于這個(gè)數(shù)本身。算術(shù)平方根的性質(zhì)1：舉例例2計(jì)算：

解2.計(jì)算：

練習(xí)填空：做一做…=

；=

；=

；21.2

根據(jù)上述結(jié)果猜想，當(dāng)a≥0時(shí)，.結(jié)論由于a的平方等于a2

，因此a是a2的一個(gè)平方根.

當(dāng)a≥0時(shí)，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，有，由此得出：舉例例3計(jì)算：

解議一議議一議議一議議一議議一議議一議一般地，當(dāng)a≤0時(shí)，因此，我們可以得到：

當(dāng)a<0時(shí)，是否仍然成立？為什么？≤-)0(aa≥)0(aa==2aa即一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。算術(shù)平方根的性質(zhì)2：3.計(jì)算：

做一做結(jié)論

區(qū)別表達(dá)式取值范圍不同運(yùn)算順序不同結(jié)果不同

聯(lián)系a為全體實(shí)數(shù)a為非負(fù)數(shù)先開方后平方先平方后開方與均為非負(fù)數(shù)，且當(dāng)a≥0時(shí)，拓展2.在△ABC中，a,b,c是三角形三邊的長(zhǎng)，化簡(jiǎn)：3.已知實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示：01a-1b動(dòng)腦筋

計(jì)算下列各式，觀察計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？

661212一般地，當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，由于結(jié)論由此得出：

上述公式從左到右看，是積的算術(shù)平方根的性質(zhì).

利用這一性質(zhì)，可以化簡(jiǎn)二次根式．積的算術(shù)平方根的性質(zhì)兩個(gè)非負(fù)數(shù)乘積的算術(shù)平方根等于這兩個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的乘積。例4化簡(jiǎn)下列二次根式．舉例

化簡(jiǎn)二次根式時(shí)，最后結(jié)果要求被開方數(shù)中不含開得盡方的因數(shù).解：運(yùn)用“短除法”分解質(zhì)因數(shù)

今后在化簡(jiǎn)二次根式時(shí)，可以直接把根號(hào)下的每一個(gè)平方因子去掉平方號(hào)以后移到根號(hào)外（注意：從根號(hào)下直接移到根號(hào)外的數(shù)必須是非負(fù)數(shù)）.二次根式化簡(jiǎn)的步驟：一分：將被開方數(shù)(式)因式分解成質(zhì)因數(shù)(式)的冪的形式，找到平方因子；二移：將因數(shù)(式)中的平方因子去掉平方號(hào)以后，移到根號(hào)的外面，其余的因數(shù)(式)留在根號(hào)內(nèi)。結(jié)論練習(xí)

化簡(jiǎn)下列二次根式．舉例補(bǔ)充例題化簡(jiǎn)下列二次根式．結(jié)論≤-)0(aa≥)0(aa==2aa化簡(jiǎn)含字母的二次根式的方法：平方因子a是非負(fù)數(shù)平方因子a是非正數(shù)平方因子a的取值范圍不確定練習(xí)舉例例5化簡(jiǎn)下列二次根式．

化簡(jiǎn)二次根式時(shí)，最后結(jié)果要求被開方數(shù)不含分母或小數(shù).

化簡(jiǎn)下列二次根式．練習(xí)二次根式化簡(jiǎn)的步驟：一分：將被開方數(shù)(式)因式分解成質(zhì)因數(shù)(式)的冪的形式，找到平方因子；二移：將因數(shù)(式)中的平方因子去掉平方號(hào)以后，移到根號(hào)的外面，其余的因數(shù)(式)留在根號(hào)內(nèi)。三化：被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)的把分母化成平方式后移到根號(hào)外作分母；注意：2.若分子無平方因子，則可用“1”來代替；1.被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)應(yīng)先化為假分?jǐn)?shù)；3.分子開方之后作分子，分母開方之后作分母。

從例4、例5可以看出，這些式子的最后結(jié)果，具有以下特點(diǎn)：（1）被開方數(shù)中不含開得