利用正弦定理余弦定理解決實際問題

利用正弦定理余弦定理解決實際問題（1）例1.（1）平地上有甲乙兩樓，甲樓高15米.已知從甲樓頂測得乙樓底的俯角為30°,又測得乙樓頂?shù)难鼋菫?5°.則乙樓的高是 米（tan15°=0.2679，精確到0.01）（2）為了測量上海東方明珠的高度，某人站在A處測得塔尖的仰角為75.5。，前進38.5m后，到達B處測得塔尖的仰角為80.0。.試計算東方明珠塔的高度（精確到1m）.例2.（1）某艦艇在A處測得遇險漁船在北偏東45°距離為10海里的C處，此時得知，該漁船沿北偏東105。方向，以每小時9海里的速度向一小島靠近，艦艇時速21海里，則艦艇到達漁船的最短時間是 （2）一船以每小時15km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔B在北偏東60。，行駛4h后，船到達C處，看到這個燈塔在北偏東15。，這時船與燈塔的距離為km.例3.某觀察站C在A城的南偏西20°方向，由A城出發(fā)有一條公路，走向是南偏東40°，距C處31千米的公路上的B處有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后到達D處，此時CD距離為21千米，問此人還需走多少千米才能到達A城？例4.隔河看兩目標A和B，但不能到達，在岸邊選取相距萬千米的C、D兩點，測得ZACB=75O，ZBCD=45°，ZADC=30O，ZADB=45°（A.B、C、D在同一平面內(nèi)），求A,B之間的距離。規(guī)律總結運用正弦定理、余弦定理解決實際問題的基本步驟是：分析：理解題意，弄清清與未知，畫出示意圖（一個或幾個三角形）；建模：根據(jù)書籍條件與求解目標，把書籍量與待求量盡可能地集中在有關三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學模型；求解：利用正弦定理、余弦定理理解這些三角形，求得數(shù)學模型的解；檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解。

基礎訓練一、填空題1.在200米高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°、60°，則塔高為。2.一貨輪航行到M處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15°相距20里處，隨后貨輪按北偏西30°的方向航行，半小時后，又測得燈塔在貨輪的北偏東45°，則貨輪的速度為 3有一廣告氣球直徑為6米，放在公司大樓上空（如圖），當某行人在A地觀測氣球時，其中心仰角為/BAC=30°，并測得氣球的視角乃=2°，若。很小時，可取sin。=0，試估計氣球的高BC的值約為米二、解答題4.如圖，甲船以每小時30志海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當甲船位于A】處時，乙船位于甲船的北偏西105。的方向氣處,此時兩船相距20海里.當甲船航行20分鐘到達A2處時，乙船航行到甲船的北偏西120。方向的B處,此時兩船相距10^2海里，問乙船每小時航行多少海里？2向山頂5.如圖，在斜度一定的山坡上的一點A測得山頂上一建筑物頂端C對于山坡的斜度為15。，向山頂前進100m后，又從點B測得斜度為45。，假設建筑物高50m，求此山對于地平面的斜度。的余弦值

1.2應用舉例（第1課時）參考答案例1.解：（1）設甲、乙兩樓的高度分別為aM，則入=a+a-cot30。-tan15。=例1.(2)38.5例2.設上海東方明珠的高度為h，則h=cot75.5。一cot80.0(2)38.5例2.設上海東方明珠的高度為h，則h=cot75.5。一cot80.0解：（1）設經(jīng)過t小時后艦艇和漁船同時到達B處，則AC=10,BC=91,AB=211,/ACB=120。，由余弦定理得(211)2=102+(91)2-2-10-9tcos120。，即3612-91-10=0，解得t=-小時，3答：艦艇到達漁船的最短時間是40分鐘。（2）在kABC中，AC=60km，/BAC=30。，/ABC=45。，由正弦定理得BC=心吐=30云km。sin45。例3.解：在△BCD中，由余弦定理得cos23B=—,sinB3131AB在△ABC中，由正弦定理得 j=一60-，BCBCsin(B+60。)于是AB= =BC（也 、 sinB+cosB3故此人還需走15千米才能到達A城35千米，sin60。例4.解：如圖所示，在AACD中，.「ZADC=30°，ZACD=120°ZCAD=30°j虻=CD=^3.在ABDC中,ZCBD=180D-45°-75°=60D.由正弦定理可得配=出或鏟=應+也,sin60° 2在AABC中，由余弦定理，可律AB2=AC2+BC2-2AC^BC^osZBCA,即AB2=(J5)a+捐尸—邙必+產(chǎn)*皿"=5.AB=^｛千米). ，基礎訓練1.四^米；2.20C-6-寸2)里/小時；3386米；提示sin2°=".AC= ,BC=ACsin30。= =86米。90 sin1。 2sin1。4.解：如圖，連結AB,AB=10V‘2，AA=20x3072=10<2,12 22 12 60AAAB是等邊三角形，/BAB=105。-60。=45。,1 2 2 1 1 2在AABB中，由余弦定理得BB2=AB2+AB2-2AB-ABcos45。1 2 1 1 1 2 1 1 12 _=202+（10方）2-2x20x10*2x蘭=2002BB=10J2.因此乙船的速度的大小為102x60=30由答：乙船每小時航行30^2海里.5.解：在ABCD中