利用插補(bǔ)法求解組距數(shù)列的中位數(shù)和眾數(shù)

利用插補(bǔ)法求解組距數(shù)列的中位數(shù)和眾數(shù)—、中位數(shù)(Median)中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)按從小到大排序后，處在中間位置上的變量值，用Me表示。中位數(shù)將全部數(shù)據(jù)等分成兩部分，使一部分?jǐn)?shù)據(jù)比中位數(shù)大，另一部分?jǐn)?shù)據(jù)則比中位數(shù)小。中位數(shù)是一個(gè)位置代表值，它主要用于測(cè)定數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，且不受極端數(shù)值的影響。此外，中位數(shù)還具有一個(gè)性質(zhì)，就是各變量值與中位數(shù)的離差絕對(duì)值之和最小，即耳.I耳.Ii=1-M|=min(最小)根據(jù)未分組數(shù)據(jù)計(jì)算中位數(shù)時(shí)，要先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，然后確定中位數(shù)的位置，其公式n+1為：中位數(shù)的位置=2，式中的n為數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，憑此確定中位數(shù)的具體數(shù)值。設(shè)有一/,i-tt-r~rri( l_/,i-tt-r~rri( l_m )—-、：.X,X,X,***,X組數(shù)據(jù)從小到大排序后為1'23n+1n。若n為奇數(shù)，則中位數(shù)為2；若n為偶數(shù)，則XXnn一中位數(shù)是2與2+1的平均數(shù)。即Me=<XnMe=<Xn+1當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)￡f(2)根據(jù)分組數(shù)據(jù)計(jì)算中位數(shù)時(shí)，要先根據(jù)公式2確定中位數(shù)的位置，并確定中位數(shù)所在的組。如果是單項(xiàng)數(shù)列，則中位數(shù)就取中位數(shù)所在組的組值(即標(biāo)志值)；如果是組距數(shù)列，則采用下面的公式計(jì)算中位數(shù)的近似值：￡fMe=L+Me=L+— Xi式(3)中，工/為數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)(總次數(shù))；L為中位數(shù)所在組的下限值；^m-1為中位數(shù)所在組以前各組的累積頻數(shù)；fm為中位數(shù)所在組的頻數(shù)；，?為中位數(shù)所在組的組距。式(3)中，假定中位數(shù)所在組的頻數(shù)在該組內(nèi)是均勻分布的。****X A f 、r< ■ ■ ***.A C B圖-1 組距數(shù)列中位苒的分布圖

那么，我們接下來要討論的是如何求證式(3),即組距數(shù)列中位數(shù)的計(jì)算公式。假設(shè)上面圖-1是某組距數(shù)列次數(shù)分布圖。利用插補(bǔ)法進(jìn)行比例推算。圖-1中，A點(diǎn)表示中位數(shù)所在組的下限，其值為L(zhǎng)；B點(diǎn)表示中位數(shù)所在組的上限；C點(diǎn)表示中位數(shù)所處的位置，其值為Me；A點(diǎn)到B點(diǎn)所夾的距離，也就是中位數(shù)所在組的組距，其值為'；A點(diǎn)到C點(diǎn)所夾的距離，就是中位數(shù)所在組的下限到中位數(shù)位置的距離，其值設(shè)為X。我們假定圖-1中，AB區(qū)域即整個(gè)中位數(shù)所在的組內(nèi)，次數(shù)分布是均勻的，依次分布著fm個(gè)次數(shù)或頻數(shù)。同樣，再假定AC區(qū)域內(nèi)，次數(shù)分布也是均勻的，且依次分布著旦一S 旦m一1為中位數(shù)所在組以前2 m一m一1為中位數(shù)所在組以前各組的累積頻數(shù)。這樣，我們可以得到下面的等式:A到C的距離=AC區(qū)域中的次數(shù)分布A至冊(cè)的距離—AB區(qū)域中的次數(shù)分布￡fTOC\o"1-5"\h\z-S

2 m-1將上述假設(shè)代入式(4)，得： i fm￡f\o"CurrentDocument"X xi所以，有f所以，有m中位數(shù)所在的位置是：M中位數(shù)所在的位置是：Me=L*X(6)將式(5)代入式(6)，則:￡f—-SMe=L+ m-1xif表-1表-1按零件數(shù)分組(個(gè))頻數(shù)(人)頻率(％)105?11036110?115510115?120816120?1251428125?1301020130?135612135?14048合計(jì)50100要求：計(jì)算該車間50名工人日加工零件數(shù)的中位數(shù)。上面的式(3)就得到了證明。例一、設(shè)某車間50名工人日加工零件數(shù)分組表如下:E/50 =——=25解：由表-1可知，中位數(shù)的位置=2 2 ，根據(jù)累計(jì)頻數(shù)可測(cè)得中位數(shù)在120?125這一組中，L=120，Sm-1=16，fm=14，'=5，根據(jù)式(3)，得50侶—一16M=120+%x5=123.21(個(gè))二、眾數(shù)(Mode)眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，用M。表示。眾數(shù)是一個(gè)位置代表值，它也不受數(shù)列中極端數(shù)值的影響。但它可以反映總體各單位某一標(biāo)志值的集中趨勢(shì)。當(dāng)然，在特殊情況下，可能沒有眾數(shù)，也可能多于一個(gè)眾數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，眾數(shù)用來說明現(xiàn)象的一般水平。眾數(shù)的計(jì)算分兩種情況，在未分組資料或單項(xiàng)數(shù)列中，可用觀察法直接確定眾數(shù)，即總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值就是眾數(shù)。在組距數(shù)列中，確定眾數(shù)時(shí)，先要確定次數(shù)最多的一組為眾數(shù)組，然后根據(jù)數(shù)列的次數(shù)分布情況，計(jì)算眾數(shù)的近似值。用公式表示為：式中，L為眾數(shù)組的下限值；1為眾數(shù)組的組距；A1是眾數(shù)組的次數(shù)與靠近下限的鄰組次數(shù)之差；A2是眾數(shù)組的次數(shù)與靠近上限的鄰組次數(shù)之差。下面，我們?nèi)砸貌逖a(bǔ)法推導(dǎo)組距數(shù)列中眾數(shù)的計(jì)算公式，即式(7)，為了能直觀地介紹該方法，利用幾何圖解比較好理解。!』0CAE圖-2組距數(shù)列中的眾數(shù)位置圖

圖-2假定是組距數(shù)列的次數(shù)分布直方圖，橫坐標(biāo)是組距，縱坐標(biāo)是次數(shù)分布狀況。一般來說，在等距數(shù)列中次數(shù)分布愈集中，直方柱愈高。為了便于說明此問題，我們只畫了三根直方柱。從圖中可以看到，中間一組就是中位數(shù)所在的組，其次數(shù)分布最集中。我們假定G點(diǎn)是眾數(shù)所在的組的下限，H點(diǎn)是眾數(shù)所在的組的上限，GH的距離就是眾數(shù)組的組距(I')，Mo點(diǎn)就是眾數(shù)所處的位置。從圖中我們可以看出，眾數(shù)的位置主要取決于眾數(shù)所在組的左右兩鄰組的次數(shù)分布。如果左右兩鄰組的次數(shù)分布相等即高度相等(f1=f+1)，無疑眾數(shù)就在眾數(shù)所在組的正中央；如果左鄰組的次數(shù)分布高于右鄰組的次數(shù)分布(fi>九)，則Mo會(huì)偏向左邊，靠近眾數(shù)組的下限；如果左鄰組的次數(shù)分布低于右鄰組的次數(shù)分布(fi<f+i)，則Mo會(huì)偏向右邊，靠近眾數(shù)組的上限。圖-2中，我們連結(jié)AD和BC兩條線段，它們的交點(diǎn)為O,而O點(diǎn)垂直連線與橫坐標(biāo)軸的交點(diǎn)就是Mo，現(xiàn)假定G點(diǎn)到Mo的長(zhǎng)度為X，則Mo到H點(diǎn)的長(zhǎng)度是'一X。另外，假定眾數(shù)所在組的次數(shù)為f;AB的距離為Ai，且Ai=f—fi；CD的距離為氣，且A2=f—f+i。由于OMo是垂直連線，EO=GMo=X；OF=MoH='—X。G點(diǎn)是眾數(shù)所在組的下限，其值為L(zhǎng)。我們從圖-2中可以發(fā)現(xiàn)

形所對(duì)應(yīng)的底邊和高成比例，ABCDEOOF下限，其值為L(zhǎng)。我們從圖-2中可以發(fā)現(xiàn)

形所對(duì)應(yīng)的底邊和高成比例，ABCDEOOF(8)將上述的設(shè)定分別代入式(8)化簡(jiǎn)得:X化簡(jiǎn)得:X= 1—xiAi+A由于Mo=L+XM=L+一A4一xi所以， oAi+A2這樣，組距數(shù)