鏈式法則的一般形式

鏈式法則的一般形式 若u=f(x1,…,x),x.=申.(t1,…,t),(i=1,…,n),則TOC\o"1-5"\h\z1nii1 mu=￡u(x.),即學=2學牛(j=1,…,m).總之，復合函數對自變量的偏導數tj xi i“ dt oxoti=1 j i=1 ij等于所有對中間變量的偏導數與中間變量對自變量的偏導數之積的和.特例:申(t)=f(tx)=f(tx「…，tx”),申'(t)=x1D]f(tx)+…+x”Dnf(tx).*△(齊次函數的Euler公式)(p.123.6對三元函數)若存在k使f:R?-R滿足f(tx)=tkf(x)(t>0,xUR”.書上的定義中k>0,tuR),則稱f為k次齊次函數?證明：可微函數f是k次齊次函數ox]D1f+…+xnDnf(=(gradf,x))=kf.(*)證nf(tx)=tkf(x).兩端對t求導，得x]D]f(tx)+…+x”D”f(tx)=ktk-]f(x).令t=1得(*).u設申(t)=f(tx)/tk,(即證申(t)=f(x).由申(1)=f(x),只要證申(t)=申(1),即證申常值)，貝呦可微,申'(t)=丄(tk(x1D1f(tx)+…+xDf(tx))-ktk-1f(x))=丄12k 1 1 nn tk+1(tx1D]f(tx)+…+tx”Dnf(tx)-kf(tx))(以tx.代條件(*)中的x.)=0,故申常值,申(t)=申=f(x),f(tx)=tkf(x). y y*Euler公式的應用.(1)證明u=xf(蘭)+yg(蘭)滿足x2u+2xyu+y2u=0.x x xx xyyyp.143.3(2).解(1)(u是一次齊次函數)用兩次Euler公式.(2)u是1+2+???+(n-1)=力n(n+1)次齊次函數.補充練習△u=x3siny+y3sinx,求—.(-6(cosx+cosy)ox3oy3u=exyz,求uxyz.(exyz(1+3xyz+x2y2z2))u=(x-心(y-b)q,求筈計(P!q!)x+yu=x+yu=—x-y,求0p+qW0xp0yq2(-1)p(p+q-l)!(qx+py)(x-y)p+q+1證明z=xnf(丄)滿足方程xzx+2yz=nz.x2 xy證明z=yf(x2-y2)滿足方程y12zx+xyzy=xz.111已矢廿u=12x4- x3(y+z)+-jx2yz+f(y-x,z-x),化簡u*+uy+u?.(xyz)△證明u=屮(x—at)+屮(x+at)滿足u=a2u.△證明△證明u=x申(x+y)+y屮(x+y)滿足u-2u+u=0. xx xyyy △設u=Inx,v=In(y+Jl+y2),以u,v為自變量變換方程xz+小+y2z=xy.xy(z+z=eushv)uvTOC\o"1-5"\h\z△設x=rcos屮,y=rsin牡變換(1)xu—yu;(2)xu=yu;(3)x2u+2xyu+y2y x x y xx xyu. ((1)u;(2)ru;(3)r2u.)yy 屮 r rr7△設x=rsinOcos屮,y=rsinOsin屮,z=rcosO,變換u2+u2+u2. (u2+r-2w2+(rxyz r OsinO)-2u『)七.方向導數與梯度偏導數是函數沿坐標軸方向的變化率,方向導數是函數沿任意方向的變化率.t等

等.a設f:D(uRn)fR,aUD°,l為方向(111=1)若極限limf(a+〃)_f⑷存在，則稱tt等

等.a之為f在a沿方向1的方向導數，記為Df(a),f(a),g(a),雪等.11 01 01aex若記g(t)=f(a+t1),則Df⑷=g'(0).設1=(1],…，1”),a=@],…，a”)，則g(t)=f(a+t1)=f(a1+弘,…,an+t1”).由鏈式法則(u=f(x),x=a+t1),當f在a可微時,g'(t)

=lf(a+tl)+…+lf(a+tl),f(a)=lf(a)+…+lf(a).因此,若設gradf(a)1xnxl1xnx■yV’ ■yV ■yV’ ■yV1n1n=(f (a),…,f (a)) (= (Df⑷，…,D“ f⑷))，則f(a)=gradf(a) -lWlgradf(a)l,等號x1 xn 1nlogradf(a)=cl,即l= .稱gradf⑷為f在a處的梯度(向量).這證明了下列l(wèi)gradf(a)l命題若f在a可微，則f沿任何方向的導數都存在，且f(a)=gradf(a)-l.方向導數沿梯度方向達到最大值Igradf(a)l,沿梯度相反方向達到最小值-lgradf(a)l.(換言之，沿梯度方向,函數的變化率最大.)特例：①偏導數.取l=ei=(0,…,0,1,0,…,0),有gradf(a)-l=f”(a).②二元：l=i(cos。,sin。).③三元：l=(cosa,cosp,cosy).n元：l=(cos(l,xj,…，cos(l,x”)).注1所有方向導數存在(稱為弱可微)冷連續(xù). "例f(X,y)=<前已證明lim f(x,y)例f(X,y)=<前已證明lim f(x,y)不存在，故在(0,0)不連(X,y)t(0,0)x4+y20, (x,y)=(0,0).0,sin。=0,計,sin。工0.、sin。續(xù).(因而不可微，不能用上述命題求方向導數0,sin。=0,計,sin。工0.、sin。Df(0,0)=limf(tcos。，tsin。)一f(0，0)=lim co訐sin。。l tTO t tTO12CoS4。+sin2。：+y，害;(，fx(0,0)=1=fy：+y，害;(，fx(0,0)=1=fy(0,0).當cos。工0,sin。工0時，方向導數Hm八… =lim◎不存在.tT0 t tT0 t△p.125例1.方向向量(3,-3,3),魯(1,1,1)=(1,2y,3z2)-(；,-；,；)△(p.127.6(3))證明:grad(uv)=ugradv+vgradu.(3"")=v+uf(tcos。,tsin。)一f(0,0)=1=3.(1丄1)dx '8x' 8x，) i i i△求Dvf(0,0),若f(x,y)=』x2一y2|,v=(cos。,sin。),0W。W2兀.解g(t)=f(tcos。,tsin。)=111Jcos2。I.v=(±乎,±乎)時Dvf(0,0)=g'(0)=0.在其它方向,g-'(0)= ■llcos20I,盯(0)=Jlcos2。I,方向導數不存在.(注.書上定義的是單側方向導數,=g+'(0),是存在的.)△(p.127.10)設f可微,l1，l2UR2線性無關.若fl=fl=0,則f常值.八.中值定理與Taylor公式前已接觸過f(x,y)一f(a,b)=fx(g,y)(x-a)+厶(a,H)(y一b),g在a,x之間,耳在b,y之間，條件是f在點(a,b)附近有偏導數. '在求方向導數時已經知道，在連接點(a,b)與(a+h,b+k)的線段(x,y)=(a+th,b+tk)(0WtW1)上f是一元函數申(t)=f(a+th,b+tk)(0WtW1).對它用一元函數中值定理，有(為使申可微，需條件f可微)申(1)―申(0)=申'(。)(0＜。＜1),即(注意申'(t)=fx(a+th,b+tk)h+fy(a+th,b+tk)k)f(a+h,b+k)一f(a,b)=f(a+Oh,b+Ok)h+f(a+Oh,b+Ok)k (*)為保證連接任何(a+h,b+k)與(a,b)的線段在f的定義域內，要求f的定義域是凸的.這樣,有中值定理設D為R2的凸開域,f在D內可微，則對D內任意兩點(a,b),(a+h,b+k)有。

u(0,1)使(*)式成立.證設申(t)=f(a+th,b+tk),則申在［0,1］上可微，….注1若記x0=(a,b),x=(a+h,b+k),連接x0,x的線段為g=(a+0h,b+Ok),則結論成為3ger使f(x)-f(x0)=gradf(g)-(x-x°).這對n元函數當然也成立.注2凸域可減弱為星形域.推論設D,f同上(可以是n元函數).(1)若推論設D,f同上(可以是n元函數).(1)若3M^0VxUD|gradf(x)IWM,則Vx,x°UD,If(x)-f(x0)KMIb-aI；(2)若gradf=0,則f常值.用同樣的思想可以求多元函數的Taylor公式.為使符號簡單，下面只對二元函數討論.RR設申(t)=f(a+th,b+tk)(0WtW1),則?'(t)——(^―+k—)f(a+th,b+tk),Rx Ry9〃(t)——h(―h+ k)+k(h+^—^k)=(h—+k―y)2f(a+th,b+tk),―x2 ―x—y ―y―x ―y2 ―x ―y一般地,用數學歸納法可得9(m)(t)=(h￡+k—)mf(a+ th, b+tk)=為Cihm-iki—m f(a +th,b+tk).—x卽 i——0m —xm-i如9(n)(0),9(n+1)(°)得? +(n+1)!，得(h丄+k』)n+1f(a+Oh,b+°k).n!f(a+h'b+k)=f(a'b)+三k!(噲+k各)kf(a'b)+(n+1)廠抵為使混合偏導數相等「要求所有n+1階偏導數都是連續(xù)的，即fUC(n+1).Peano余項是o存+k2)n/2,這時只要fUC(n).一 月R*注對n元函數，上面公式中,(h,k)以h=(人,…,h)代替,h—+k、即(h,k)-grad1n Rx Ry現(xiàn)在是h-grad,即h"+…+hD,由多項式展開定理，有1 1 nn(hD+…+hD)m=為h…h(huán)D1 1 nn ST^kZ］，…,Zr=1Taylor公式是f(a+h)=f(a)+藝—(h-grad)kf(a)+ (h-grad)m+1f(a+Oh).(*)k! (m+1)!k——1如果把一元函數f的導數f(k)(a)用另一種記號Dkf(a),則f的Taylor公式是f(a+h)=f⑷+刀］(hD)kf(a)+ + (hD)m+1f(a+Oh).k——1容易看出(*)與它的相似性.△計算(1.1)1.02.法一.用微分:f(a+h,b+k)af(a,b)+hf^(a,b)+k/(a,b),f(x,y)=xy,a=b=1,h=0.1,k=0.02,(1.1)1.02心11+0.1Xyxy-1I(11)+0.02XxyInxI(11)=1.1.(1,1)(1,1)fxy+k2fyy)(a,b),fxx(x,y)=y(y-1)xy-2,fxy(x,y)=xy-1+yxy-1fxy+k2fyy)(a,b),fxx(x,y)=y(y-1)xy-2,fxy(x,y)=xy-1+yxy-1lnx,fyy(x,y)=xyln2x,(1.1)1.02心1+0.1+0+力(0.12X0+2X0.1X0.02X1+(0.02)2X0)=1.102.△設IxI,IyI充分小，求f(x,y)=arctan 的到二次項的近似公式.1-x+y解f(x,y)"f(0,0)+x￡(0,0)+yfy(0,0)+2(xf”(0,0)+2xyfy(0,0)+y2fy(0,0)兀= +x—xy4九.(局部)極值與最大最小值極大、極小、嚴格極大、嚴格極小、最大、最小值.極值點只限于定義域的內點.極值必要條件若f在a處有極值，且各個偏導數都存在，則gradf(a)=0.

證f在a=(%?：化)處有極值巳(t)=f(a，：?._1,t，%①在%處有極值二gi(a.)=0nfx(a)=0(i=1,…，n).駐點=穩(wěn)定點=梯度為0的點.鞍點=非極值點的駐點.如(0,0)是z=xy的鞍點(圖見p.91).例f(x,y)*x2+y2在(0,0)極小，偏導數不存在.對多元函數，不能從偏導數的符號變化判斷極值，如z=xy.以下對二元函數考慮極值充分條件.設有二元函數z=f(x,y),(a,b)是其駐點.顯然,f(a,b)是否極值，由Az=f(a+h,b+k)-f(a,b)當IhI,IkI充分小時的符號確定.設在(a,b)的某鄰域內fuC⑵(這是為了用Peano余項)，則有△z=力(h2f(a,b)+2hkf(a,b)+k2f(a,b))+o(p2)(p=\''h2+k2),xx xy yy當厶z$0時f(a,b)極小，W0時極大，不定時不是極值.為記號簡單，設A=f(a,b),B=fxx xy(a,b),C=fyy(a,b),Q(h,k)=Ah2+2Bhk+Ck2,則△z=力(Ah2+2Bhk+Ck2)+o(p2)=力Q(h,k)+o(p2).1°若Vh,k,Q(h,k)>0(即二次型Q正定)，則f(a,b)極小.事實上,△乙=2p2(Q(p,p)+a(p)),其中a(p)=2°pQ-0(p-0).Q(p,p)關2pp p2 pp于h,k連續(xù)且(魯)2+(p)2=1,故在單位圓周上達到最小值，設為m,則Vh,k,Q(p,I)三m>0.因為a(p)-0(p-0),故p充分小時Ia(p)I<m,從而p充分小時厶z$0,即在(a,b)附近&三0.2°若Vh,k,Q(h,k)<0(即二次型Q負定)，則f(a,b)極大.3°在其它情形(即Q不定時),f(a,b)不是極值.(反證法)設f(a,b)極小，則Q(h,k)三0.事實上，設％h0,k0)使Q(h0,k0)<0.(下面證明f(a,b)不是極小值，即在(a,b)的任何鄰域內有點，其對應的函數值<f(a,b).這樣的點在由(a,血和(a+h0,b+k0)確定的直線上就有?)記p02=h02+k02,則對f(a+th0,b+tk0)hk hk1-f(a,b)=212p02(Q(po 0)+a(tp0))有Q(p0 0)=一Q(h0,k0)<0.因為t-0時0 p0hp0k0 p0p0 p02 00tp0—0,故t充分小時Q(-p^,p-)+a(tp0)<0,從而f(a+th0,b+tk0)<f(a,b),與f(a,b)極小矛盾.類似地,f(a,b)極大時Q(h,k)W0.注以上證明了f(a,b)是極值nQ半定.極值充分條件設在(a,b)極值充分條件設在(a,b)的某鄰域內fUC⑵且(a,b)是f的駐點,A=f^，⑵，"=fy(a，b),C=fy(a,b),則當二次型Ah2+2Bhk+Ck2(h,kuR)(等價地，矩陣'AIBC丿Hessia矩陣)正定時f(a,b)極小，負定時極大，不定時不是極值.(又,f(a,b)極小時上述二次型正半定,極大時負半定.)Ab推論設A= 若A：>0,A>0,則f(a,b)極小;若A>0,A<0,則f(a,b)極大;BC若A<0,則f(a,b)若A<0,則f(a,b)是鞍點；若A=0,則不能確定.>0,A>0,A>0,<0,A>0,A<0.證Q(h,k)=A((h+Bk)2+AC廠B2k2)<AA2JB若A<0,則Q(h,k)不定.若A=0,則Q(h,k)=A(h+ k)21A0,A>0,<0,A<0,不能確定.例如設f(x,y)=x2-y4,貝l」(0,0)是駐點,A=0,但(0,0)是鞍點:yM0時f(0,y)<0,xM0時f(x,0)>0;設g(x,y)=(x2+y2)5/2,貝則(0,0)是駐點,A=0,但f(0,0)極小.注1.對一元函數,A=A,成為一元函數極值的二階導數判別法.(久f(a)…DJ(a)]對n元函數，類似的結論成立.Hessia矩陣為 ，二次型IDn1f(a)…Dnnf(")丿Q現(xiàn)在是Q(h],…,h)=￡D.f(a)hh..Hessia矩陣的n個順序主子式均〉0時極小，負1 n IJ IJi,J=1正相間時極大.當只有一個駐點(設為a)時，如果能從所論函數本身判明它確有極值，則a就是極值點.這時只要計算D11f(a),>0時極小,<0時極大.p.138例6.△(p.138例8)討論f(x,y)=(y-x2)(y-2x2)在原點是否取得極值.解f(x,y)=y2-3x2y+2x4.由fx(x,y)=-6xy+8x3=0,fy(x,y)=2y-3x2=0得駐點(0,0).(f”(0,0)=fy(0,0)=0,△=0,不能用推論.)因為x2<y<2x/時f(x,y)<0,y<x2或y>2x2時f(x,y)>0,故在(0,0)的鄰域內f總能取得正值與負值(如f(x,3x2)<0,f(x,2x2)>0),從而f(0,0)=0不是極值.*注但在通過原點的任一直線上f(0,0)極小.事實上，設g(x)=f(x,kx)=k2x2-3kx2+2x4,則g'(0)=0,g"(0)=2k2>0(kM0),故g(0)極小.當k=0時g(x)=2x4,g(0)也極小.因此本例說明函數沿直線極小時它不一定極小.f(x,y)=xy-x3y-xy3.由fx(x,y)=y-3x2y-y3=0,fy(x,y)=x-x3-3xy2=0得9個駐點:P1(0,0),P2(1,0),P3(-1,0),P4(0,1),P5(0,-1),P6(力,力),P7(-%,-%),P8(%,-%),P9(-%,%)?fxx(x，y)=-6xy,fxx(x，y)fy(x，y)一fy2(x，y)=(-6xy)2-(1-3x2-3y2)2.對p1,^=-1<0；對P2,P3,P4,P5,△=-4<0,都是鞍點.對P6,P7,P8,P9,△=2>0,P6,P7極大(1/8),P8,P9極小(-1/8).△考察函數f(x,y)=(1+ey)cosx-yey的極值.解fx(x,y)=-sinx(1+ey),fy(x,y)=(cosx-1-y)ey,駐點P“(n兀，(-1)n-1)(n=Z).仁(x,y)=-cosx(1+ey),fy(x,y)=-eysinx,fy(x,y)=(cosx-2-y)ey.對P2n,A=-2<0,△=-2X(-1)-02=2>0,極大(2);對P2n一],A=1+e-2>0,B=0,C=-e-2,△<0,不是極值點.*△考察函數f(x,y,z)=x2-2xy+2y2+z2-yz+x+3y-z的極值.駐點(-￥駐點(-￥，-3,-2),6 3 3/2Hessia矩陣-2、0-24-10、-1,極小.求函數的最大最小值.步驟:1.確定是否有最大、最小值(從連續(xù)函數性質或問題的實際意義確定);求駐點及定義域內部有一個偏導數不存在的點(即梯度不存在的點);比較函數在這些點及在邊界上的值,最大(小)者即為最大(小)值.△求函數f(x,y)=xy-x3y-xy3在正方形[0,1]2上的最大、最小值.解駐點為(力,力).在駐點處的函數值為1/8,在邊界上的函數值為f(0,y)=f(x,0)=0,f(1,y)=-y3(0WyW1),f(x,1)=-x3(0<x<1),故最大值為1/8,最小值為-1.△求函數f(x,y)=ax2+2bxy+ay2(b>a>0)在x2+y2W1上的最大、最小值.解駐點(0,0).在邊界上,f(x,±.'1-x2)=a±2bx\1-x2=g(x)(IxIW1).由g'(x)=0得x=± /2.因為g(1)=g(-1)=a,g(J2/2)=a土b,g("2/2)=a+b,f(0,0)=0,故有

最大值a+b,最小值a-b.注1.因為以-x,-y代x,y時f及區(qū)域不變，故考察邊界時可只考慮f(x,d-x2).2.本題也可用初等方法解決:—(x2+y2)W2xyWx2+y2,兩個等號依次當且僅當x=—y和x=y時成立，故a-bW(a—b)(x2+y2)Wf(x,y)=a(x2+y2)+2bxyW(a+b)(x2+y2)Wa+b且x=y時右邊兩不等式成立,x=-y時左邊兩不等式成立.用初等方法有時會更簡便,但它通常依賴于技巧,而高等數學方法有普適性.△證明:圓內接三角形中,正三角形的面積最大.證設圓內接三角形三邊所對的圓心角為x,y,2兀-x-y,圓半徑為r,則三角形面積為％r2(sinx+siny-sin(x+y))(x20,y三0,x+yW2兀).設f(x,y)=sinx+siny-sin(x+y),D{(x,y)Ix20,y{(x,y)Ix20,y三0,x+yW2兀}.令fx(x,y)=fy(x,y)=220,得D內有唯一的駐點(§^,—兀).在D的邊界上,f(0,y)=f(x,0)=f(x,2兀-x)=0,故面積最大值為34—r2,此時三角形三內角為兀/3,即為正三角形.△證明：xyWxInx—x+ey(x21,y三0).證即證f(x,y)=xInx-x+ey-xy在D={(x,y)Ix^1,y^0}上有最小值0.由￡(x,y)=