一個帶約束條件的二元函數(shù)最值的求法(四)

一個帶約束條件的二元函數(shù)最值的求法江蘇省東海縣白塔高級中學(xué)陳大連郵編222345電話近年來高考與各地的模擬考試中悄然出現(xiàn)一種平時練習(xí)中不太常見的數(shù)學(xué)問題——求帶約束條件的二元函數(shù)最大值或最小值，這種問題因條件與目標(biāo)函數(shù)的不同其解法也往往不同.本文將給出一道典型小題的多種解法并對解法加以說明，以幫助讀者能夠迅速解決這種問題并增強解題的靈活性.問題(2015屆江蘇省宿遷市高三一模第9題)已知實數(shù)x,y滿足x2-xy+y2=1，則x+y的最大值為.解法1令x+y=t，則y=t-x，將其代入條件得，x2-x(t-x)+(t-x)2=1，整理，[x+y=2,得3x2—3tx+12—1=0.令△=(-3t)2-4x3(t2-1)>0，解得-2<t<2.當(dāng)｛即Ix2一xy+y2=1x=y=1時右邊的等號成立，所以t=x+y的最大值為2.注此解法對目標(biāo)函數(shù)整體換元，然后將條件化為關(guān)于某個變元的一元二次方程，依據(jù)其判別式的非負性得到目標(biāo)函數(shù)的最值，其中“可將條件化為關(guān)于某個變元的一元二次方程”是此解法得以成功的關(guān)鍵所在.需要提醒的是在得到-2<t<2時要注意檢查等號成立的條件.解法2由x2-xy+y2=1配方，得(x+y)2-3xy=1，再由基本不等式，得(x+y)2=1+3xy<1+3(x+y)2，即(x+y)2<1+3(x+y)2，解得(x+y)2<4，即22-2<x+y<2，從而x+y<2.當(dāng)x=y=1時等號成立，所以x+y的最大值為2.注由于約束條件為二元二次方程，我們可以考慮對其配方，但配方的途徑有很多，上解法注意結(jié)合目標(biāo)函數(shù)配方，并運用基本不等式，構(gòu)造出一個關(guān)于目標(biāo)函數(shù)式x+y的不等式，通過解不等式求出函數(shù)的最值，這種構(gòu)造不等式求最值或范圍是常見的思路.解法3由x解法3由x2-xy+y2=1配方，得y3y(x-—)2+—y2=1.令x-—=cosa242亙y=sina2TOC\o"1-5"\h\z33則一y^?■'3sina，(x一—)+-y=\/3sina+cosa，即x+y=*3sina+cosa^2^2^2冗冗=2sin(a+-)<2易見當(dāng)a=-時等號成立，所以所求的最大值為2.注由于x2-xy+y2=1的左邊是一個非負式子，可以配方成兩個式子的平方和，為三角換元創(chuàng)造條件._解法4由解法3知等式條件可配方為(x-2)2+3y2=1?令x-2=s，叵y=t，則條件422化為s2+12=1，目標(biāo)函數(shù)x+y=s+冋.由線性規(guī)劃知識，當(dāng)動直線s+73t=P與圓s2+12=1相切時Ps2+12=1相切時P最大或最小,J12+6/3)2

中2是最大值，即x+y的最大值為2.注此解法通過換元將問題化為線性規(guī)劃問題，借助約束條件與目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解，直觀明了.解法5當(dāng)x=0時y2=1,y=±1,x+y=±1.當(dāng)x豐0時,Qx2一xy+y2=1,(x+y)2=(x+y)2x2一xy+y2x2+2xy+y2x2一xy+y21+2?2+(2)21+2t+121-2+(2)2-1+,—t+11+,—t+121—t+12xx

(1-1+12)+3t1+3t

其中t=丄易求1+3t的x1—t+t2最大值為4（只需考慮t〉0情形），即（x+y）2<4，從而x+y<2.綜合，得所求的最大值為2.注上解法運用齊次化方法，將目標(biāo)函數(shù)化為一元分式函數(shù)，之所以能這樣做，是因為約束條件左邊是齊次式（二次）而目標(biāo)函數(shù)也是齊次式（一次）根據(jù)次數(shù)關(guān)系再將目標(biāo)函數(shù)平方為（x+y）2求其最大值.一般地，如果約束條件與目標(biāo)函數(shù)均為齊次式，可考慮這種方法.解法6x+y解法6x+y=s,s+tx=2s—ty=T代入x2—xy+y2=1，得（耳）2-字-耳+（耳"=1，化簡，得寧+手=1，它表示橢圓，顯然s的取值乙乙乙乙范圍是[—2,2]，而s就是x+y，所以x+y的最大值為2.x+y=s注由于條件中含有xy項，且x2項與y2項的系數(shù)相等，若我們作線性代換（y'、x-y=t,則可以化去變元的混合乘積項，使等式條件只含有變元的平方項，這樣我們就能看清等式條件所表示的圖形特征，以便于從幾何角度求解.解法7令x+y=p，x=—+1,y=—-1，則（￡+1）2-（—+1）（￡-1）+（—-1）2=1，化22222簡，得P+3t2=1，所以p<1，從而p2<4，-2<p<2，可見x+y的最大值為2.44注上解法用的是平均代換，通常當(dāng)條件為兩變元的和等于一常數(shù)，會考慮這種方法.以上各解法能緊扣問題特點，都比較簡捷，而下面的解法雖對此題不夠簡捷，卻值得解法8當(dāng)x,y中有一個為0時，由對稱性，不妨x=0，則y=±1，此時x+y=±1.當(dāng)x,y同號時，因求的是x+y的最大值，只須考慮x〉0,y〉0情形.此時令x+y=p,x=pcos2a,y=psin2a，其中p>0.代入條件，得p2cos4a-p2cos2asin2a

+p2sin4a=1，從而p2=cos4a-cos2asin2a+sin4a（cos2a+sin2a）2-3cos2asin2a11TOC\o"1-5"\h\zv=43_3?1—二sin22a1-44當(dāng)x,y異號時，由對稱性，不妨x>0,y<0，此時令x+y=p，x=p,cos2a1tan2ay=-ptan2a，p>0，代入條件，得p2+p2+p2tan4a=1，從而p2=cos4acos4acos2cos4a1=<1.1tan2a1+sin2a+sin4a++tan4acos4acos2a綜合三種情況，得p<2，即x+yV2，其中等號可取到，所以x+y的最大值為2.注若目標(biāo)函數(shù)為x2+y2，則易想到三角換元x=pcosa,y=psina，但若目標(biāo)函數(shù)為x+y且x,y>0，也可考慮三角換元x=pcos2a,y=psin2a.若目標(biāo)函數(shù)為x2-y2，可考慮三角換元x=p—1—,y=ptana，但若目標(biāo)函數(shù)為x-y(x,y>0),則也可考慮令cosa1x=p,y=psm2a.cos2a解法9由x2-xy+y2=1得y=x土'4-3x2解法9由x2-xy+y2=1得y=22由柯西不等式的二元形式ax+byV?a2+b2x2+y2，得邁（J3x）土—^4-3x2V^2^2^23）2+（2）2?\'&3x）2+（訂—3x2）2=2.當(dāng)￡：（土2）=&3x）24—3x2，即x=1時等號成立，所以x+y的最大值為2.注上解法用的是消元法，此解法看似平淡無奇，但使用的范圍也較廣，只要能依據(jù)等rra-b這一步也可改為運用向量求解：，同式條件將一個變元用另一個變元的代數(shù)式表示，都可考慮這一方法.另，使用柯西不等式的這一步也可改為運用向量求解：，同J3]樣可得一G'3x）土—<4一3x2V2<2<解法10設(shè)九為待定的正常數(shù)，則x2-xy+y2—九(x+y)=x2-(y+九)x+y2—九y=（x-寧）2+y2-Xy-呼2=（x-甲）2+4y2-號y弋=（x-字）2+1（y2-2入y）斗242424244

\2>-X2.4=(X-丑)2+3(y\2>-X2.424*4y=九,當(dāng)<y+九即x=y=X時等號成立，此時九2—X-X+X2=1，解得九二1，從而有〔2x2—xy+y2—(x+y)>—12=—1,即1—(x+y)>—1,即x+y<2,且等號能成立，所以x+y的最大值為2.注此解法先引入待定的系數(shù)X，然后依次對x,y進行配方，當(dāng)?shù)玫絻蓚€式子的平方和后便根據(jù)其非負性將構(gòu)建的式子放縮，最后利用等號成立的條件及函數(shù)的約束條件確定待定系數(shù)的值，其中配方的方法我們稱之為主元配方法或拉格朗日配方法.這種解法是處理帶等式(二元二次整式)約束條件的二元整式函數(shù)最值問題的較一般的方法.如果我們在解此類題問題時一時沒有找到簡單的方法，不妨試用這一方法.以上10種解法思路各不相同，是解決帶等式約束條件二元函數(shù)最值問題的常用方法，希抓住問題特點靈活運用.本題還有其它解法，讀者可繼續(xù)探究.為幫助讀者進一步熟悉此類問題的解法，下面?zhèn)鋷椎谰毩?xí)題供參考使用：已知正實數(shù)x,y滿足2xy+2x+y=3，求x+y的最小值.已知實數(shù)x,y滿足2xy+2x+y=3，求4x2+y2的最小值.已知實數(shù)x,y滿足x2—2xy—3y2=1，求x2+y2的最小值.x2TOC\o"1-5"\h\z已知實數(shù)x，y滿足——y2=1，則3x2—2xy的最小值.4若實數(shù)x,y滿足x2—4xy+4y2+4x2y2二4，則x+2y的最大值為.24已知正實數(shù)x,y滿足x++3y+=10，則xy的取值范圍為.xy已知(2x—y)2=(5+2y)(1-2y),x,y>0，則2x+y的最大值為.已知實數(shù)x,y滿足x3—y3=1，x>0,y>0，求(x2—y2)(x+y)的取值范圍.練習(xí)答案:1.2邁—3；2.2;3.出5；4.6+4邁；5.2巨；6.[1,8]；7.3邁—2；2438-(1,3)練習(xí)解答(僅提供一種):練習(xí)解答(僅提供一種):3—2x1.由2xy+2x+y=3得y=-2x+13—2x—1—2x+4所以-+y=-+=-+2x+12x+141431431-3=x-1+冇=2(2x+1)+冇-1>2込(2x+1)-冇-i-2，且等號能成立.所以x+y的最小值是2、：2—.^22.由基本不等式得2x-y<Qx)[+護,2x+y<\：2[(2x)2+y2，所以3=2xy+2x+y<(2x)2+y2+<2[(2x)2+y2，解得(2x)2+y2>2，即4x2+y2>2，當(dāng)2x=y且2xy+2x+y=3即x=y=1等號成立，所以4x2+y2的最小值為2.23.令x=rcosd,y=rsina，則x2+y2=r2，條件化為r2cos2a一2r2cosasina一3r2sin2a=1，由此得r2cos2a-2cosasina-3sin2a==>1+cos2asin2a-3?1—cos2a2cos2a-sin2a-1J5cos(2a+^)-1_45-12sin一215+1，其中等號能顯然成立.44.令=丄,y=tana，則x=丄，3x2-2xy=上±-空=旦-空竺2cosacosacos2acosacos2acos2a12-4sina=4(3-sina)=41-sin2a_(9一sin2a)一8一(3+sina)-86+(-3+sina)-L--sina3-sina:8一>===6+4邁，當(dāng)6一[(3一訕"E]6-彰--崗6一心o=3—sina=即sina=3—2\:2時等號成立.一sina5.配方，得(x+2y)2+4x2y2—8xy+4二8,(x+2y)2+4(xy-1)2二8，所以(x+2y)2<8，所以x+2y<2\：2，當(dāng)xy=1且x+2y>0、x2-4xy+4y2+4x2y2=4時等號成立，故x+2y的最大值為2^2.TOC\o"1-5"\h\zt2t4x6.令xy=t，則y=-，代入條件，得x++3--+丄=10，整理，得xxxt48(1+—)x2-10x+(2+3t)=0.其判另式100—4(1+—)(2+3t)>0，解得1<t<.tt388當(dāng)x=y=1時t=1；當(dāng)x=2,y=3時t=3.故xy的取值范圍為[1,#.7.對條件配方，得(2x-y)2+4(y+1)2=9.令2x-y=s,2(y+1)=t，則有

y=—一1,2x=s+—一1,2x+y=s+1-2，問題化為在s2+12=9（t>2）條件下求p=s+1一222的最大值.由線性規(guī)劃知識知，在坐標(biāo)系s-o-1中當(dāng)動直線p=s+1-2與圓弧s2+12=9（t>2）切于點（3i2,3-）時p最大，最大值為3\2-2.(x—y)(x(x—y)(x+y)2

(x-y)(x2