高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)專題85 幾何概型 (含解析)

PAGE微專題85幾何概型一、基礎(chǔ)知識：1、幾何概型：每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型2、對于一項試驗，如果符合以下原則：（1）基本事件的個數(shù)為無限多個（2）基本事件發(fā)生的概率相同則可通過建立幾何模型，利用幾何概型計算事件的概率3、幾何概型常見的類型，可分為三個層次：（1）以幾何圖形為基礎(chǔ)的題目：可直接尋找事件所表示的幾何區(qū)域和總體的區(qū)域，從而求出比例即可得到概率。（2）以數(shù)軸，坐標(biāo)系為基礎(chǔ)的題目：可將所求事件轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的線段（或坐標(biāo)平面的可行域），從而可通過計算長度（或面積）的比例求的概率（將問題轉(zhuǎn)化為第（1）類問題）（3）在題目敘述中，判斷是否運(yùn)用幾何概型處理，并確定題目中所用變量個數(shù)。從而可依據(jù)變量個數(shù)確定幾何模型：通常變量的個數(shù)與幾何模型的維度相等：一個變量→數(shù)軸，兩個變量→平面直角坐標(biāo)系，三個變量→空間直角坐標(biāo)系。從而將問題轉(zhuǎn)化成為第（2）類問題求解二、典型例題：例1：已知函數(shù)SKIPIF1<0，在定義域內(nèi)任取一點(diǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0的概率是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：先解出SKIPIF1<0時SKIPIF1<0的取值范圍：SKIPIF1<0，從而在數(shù)軸上SKIPIF1<0區(qū)間長度占SKIPIF1<0區(qū)間長度的比例即為事件發(fā)生的概率，所以SKIPIF1<0答案：C例2：如圖，矩形SKIPIF1<0內(nèi)的陰影部分是由曲線SKIPIF1<0及直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸圍成，向矩形SKIPIF1<0內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，若落在陰影部分的概率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：落在陰影部分的概率即為陰影部分面積與長方形面積的比值長方形的面積SKIPIF1<0，陰影面積SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，可解得SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0答案：B例3：已知正方形SKIPIF1<0的邊長為2，SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)，在正方形SKIPIF1<0內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)SKIPIF1<0，則滿足SKIPIF1<0的概率為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：SKIPIF1<0可理解為以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓的內(nèi)部，通過作圖可得概率為陰影部分面積所占正方形面積的比例?？蓪㈥幱安糠植馂橐粋€扇形與兩個直角三角形，可計算其面積為SKIPIF1<0，正方形面積SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0答案：B小煉有話說：到某定點(diǎn)的距離等于（或小于）定長的軌跡為圓（或圓的內(nèi)部），所以從SKIPIF1<0和SKIPIF1<0為定點(diǎn)便可確定SKIPIF1<0所在的圓內(nèi)例4：一個多面體的直觀圖和三視圖所示，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，一只蝴蝶在幾何體SKIPIF1<0內(nèi)自由飛翔，由它飛入幾何體SKIPIF1<0內(nèi)的概率為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：所求概率為棱錐SKIPIF1<0的體積與棱柱SKIPIF1<0體積的比值。由三視圖可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0兩兩垂直，可得SKIPIF1<0，棱錐體積SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0。從而SKIPIF1<0答案：D例5：如圖，點(diǎn)SKIPIF1<0等可能分布在菱形SKIPIF1<0內(nèi)，則SKIPIF1<0的概率是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：對SKIPIF1<0聯(lián)想到數(shù)量積的投影定義，即SKIPIF1<0乘以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影，不妨將投影設(shè)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0即可，由菱形性質(zhì)可得，取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且垂足四等分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點(diǎn)位置應(yīng)該位于SKIPIF1<0內(nèi)。所以SKIPIF1<0答案：D例6：某人睡午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺報時，則他等待時間不多于15分鐘的概率為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：所涉及到只是時間一個變量，所以考慮利用數(shù)軸輔助解決。在一個小時中，符合要求的線段長度所占的比例為SKIPIF1<0，所以概率SKIPIF1<0答案：B例7：已知函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0都是區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)的數(shù)，則使SKIPIF1<0成立的概率是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：題目中涉及SKIPIF1<0兩個變量，所以考慮利用直角坐標(biāo)系解決。設(shè)SKIPIF1<0為“SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)”，則SKIPIF1<0要滿足的條件為：SKIPIF1<0，設(shè)事件SKIPIF1<0為“SKIPIF1<0成立”，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0要滿足的條件為：SKIPIF1<0，作出各自可行域即可得到SKIPIF1<0SKIPIF1<0答案：C例8：在區(qū)間SKIPIF1<0上隨機(jī)取兩個數(shù)SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0為事件“SKIPIF1<0”的概率，SKIPIF1<0為事件“SKIPIF1<0”的概率，SKIPIF1<0為事件“SKIPIF1<0”的概率，則（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：分別在坐標(biāo)系中作出“SKIPIF1<0”，“SKIPIF1<0”，“SKIPIF1<0”的區(qū)域，并觀察或計算其面積所占單位長度正方形的比例，即可得到SKIPIF1<0的大小：SKIPIF1<0答案：B例9：小王參加網(wǎng)購后，快遞員電話通知于本周五早上7:30-8:30送貨到家，如果小王這一天離開家的時間為早上8:00-9:00，那么在他走之前拿到郵件的概率為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：本題中涉及兩個變量，一個是快遞員到達(dá)的時刻，記為SKIPIF1<0，一個是小王離開家的時刻，記為SKIPIF1<0，由于雙變量所以考慮建立平面坐標(biāo)系，利用可行域的比值求得概率。必然事件SKIPIF1<0所要滿足的條件為：SKIPIF1<0，設(shè)“小王走之前拿到郵件”為事件SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0要滿足的條件為：SKIPIF1<0，作出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的可行域，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0答案：D例10：已知一根繩子長度為SKIPIF1<0，隨機(jī)剪成三段，則三段剛好圍成三角形的概率為______思路：隨機(jī)剪成三段，如果引入3個變量SKIPIF1<0，則需建立空間坐標(biāo)系，不易于求解?？紤]減少變量個數(shù)，由于三段的和為SKIPIF1<0，設(shè)其中兩段為SKIPIF1<0，則第三段為SKIPIF1<0。只用兩個變量，所以就可以建立平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行解決。設(shè)SKIPIF1