材料加工中的數(shù)值模擬方法-微觀組織數(shù)值模擬(5)課件

《材料加工過程的數(shù)值模擬》——微觀組織數(shù)值模擬(V):Office：公字樓216Tel：(O)Email：

TheCahn-HilliardEquation(forconservedquantities)TheGinzbug-Landau(Allen-Cahn)Equation(fornon-conservedquantities)描述同構(gòu)相變過程中，只涉及到成分場的變化，成分場變化采用Cahn-Hilliard方程描述：M為化學(xué)遷移率，一般為系統(tǒng)成分和溫度的函數(shù)。這類模型可描述同構(gòu)相變過程系統(tǒng)化學(xué)自由能密度梯度能系數(shù)彈性能Ni-Al合金系統(tǒng)

析出過程(η1,η2,

η3):(1,1,1)η0,(-1,-1,1)η0,(-1,1,-1)η0,(1,-1,-1)η0Landau多項(xiàng)式自由能形式三個序參量場一個序參量場11111112214433CALPHAD自由能形式高斯散度定理平衡方程（物質(zhì)或能量守恒）微分方程隨時(shí)間的變化率通量的散度內(nèi)部的源或匯化學(xué)勢變分是求泛函的極值廣義菲克定律化學(xué)勢梯度，擴(kuò)散的驅(qū)動力守恒序參量非守恒序參量場量變化速率與驅(qū)動力成正比序參量可看成廣義坐標(biāo)，能量對坐標(biāo)的變分導(dǎo)數(shù)，類似于能量對廣義坐標(biāo)的微分導(dǎo)數(shù)，可看成廣義力，即驅(qū)動力。粘性弛豫：運(yùn)動速度（廣義坐標(biāo)的變化率）與驅(qū)動力成正比（最簡單的情形）。相場模型建立步驟：分析問題的物理背景，確定描述該體系組織演變的序參量根據(jù)所確定的序參量，建立描述體系各狀態(tài)的統(tǒng)一自由能形式根據(jù)序參量特性，確定相應(yīng)的動力學(xué)方程確定模型中的各種參數(shù)確定是否考慮系統(tǒng)中可能存在的各向異性確定是否需要考慮系統(tǒng)的隨機(jī)漲落選擇合適的數(shù)值算法求解偏微分方程組相場法應(yīng)用實(shí)例（II）

純物質(zhì)凝固相場模型的建立

序參量確定自由能密度函數(shù)確定相場動力學(xué)方程溫度場方程相場參數(shù)確定（漸近分析法，平衡解法）各向異性噪聲對于一個封閉空間Ω

Rd，材料由界面(t)Rd-1分割為固/液兩態(tài)。對于純物質(zhì)有枝晶生長：典型的Stefan問題（自由邊界問題）

遠(yuǎn)場條件尖銳界面模型需跟蹤界面kineticmobility傳熱方程界面守恒Gibbs-Thomson關(guān)系（曲率效應(yīng)）Gibbs-Thompson系數(shù)純物質(zhì)相場模型包含兩個場變量：相場和溫度場(無濃度場)。

自由能密度寫為序參量的級數(shù)展開形式：序參量平衡值的確定:自由能密度函數(shù)的構(gòu)造(1)在凝固點(diǎn)Tm進(jìn)行泰勒展開：其中：當(dāng)T=Tm時(shí)：在T=TM時(shí)，固相與液相的自由能相等選取：Thistermtiltsthefreeenergywellsup/down,allowingfordiscontinuouschangein

asTgoesthrough1stordertransitionatTM。最終得到：極小值在：由于液相的自由能與序參量無關(guān)，可以將其作為參考態(tài)，令其取值為0，可將f(φ,T)重新寫為如下形式：The“Double-Well”FreeEnergyDensity是一個雙阱曲線，其在處，取最小值，對應(yīng)著固相和液相。選擇如此形式要滿足：當(dāng)時(shí)，其導(dǎo)數(shù)，從而保證曲線獨(dú)立于溫度，在處（即固相和液相）取極小值，而使體系處于穩(wěn)態(tài)；同時(shí)滿足時(shí)，時(shí)Needathermodynamicstatefunctionintermsof

and

sothat

solidliquiddegreeoforderingandapenaltyforisothermallytransformingfromsolidtoliquid

自由能函數(shù)的構(gòu)造(2)AssemblingtheFreeEnergyFunction“classic”Gibbsfreeenergyoftransformationcanbesettozero,ifliqidcomponentAistakenasthereferencestatemeltingtemperature當(dāng)時(shí)故TrendsintheFreeEnergyliquidsolid系統(tǒng)自由能liquidInterfacepenaltywithout

solidwith

相場動力學(xué)方程Solidφs=1

liquidφL=0propagationofinterface根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)熱傳導(dǎo)方程:考慮固/液界面熵的變化：溫度場方程This(phenomenological)termaccountsforthereleaseoflatentheatastheinterfaceadvancesThisisaflux-conservativeequation,i.e.itconservesheatFluxintheabsenceoflatentheatWFourier定律

純物質(zhì)凝固相場模型Karma純物質(zhì)凝固相場模型A.KarmaandW.J.RappelPRE1998,57:4323固相：液相：Thephase-field(orderparameter)andtemperaturefieldapproachsharp-interfaceprofileswhenw

0漸近性分析的目的是將相場模型與尖銳界面模型聯(lián)系起來，從而證明相場法在解決自由邊界問題的適用性。分析的原理是選取界面厚度遠(yuǎn)小于某一物理尺度，尺度上的巨大差異可以采用擾動展開法來解決。相場模型參數(shù)獲取方法：漸近分析尖銳界面模型相場模型？？？漸近分析InterfacekineticcoefficientCapillarylengthNotethedetailsofa1anda2dependontheformofh(φ).See[A.KarmaandW.R.Rappel,Phys.Rev.E(1996)]相場模型的極限形式一維穩(wěn)態(tài)解在相場方程中引入的各個系數(shù)都不是一個可測量的物理參數(shù)。為了解這些設(shè)定參數(shù)與宏觀可測量的物理參量間的關(guān)系，考慮一維相變系統(tǒng)，其在區(qū)域(-,0