數(shù)字譜分析中頻率分辨率的分析

數(shù)字譜分析中頻率分辨率的分析

如果頻率分辨率滿足處理器領(lǐng)域的要求，則直接影響分析結(jié)果。在最小采樣率的條件下,可以用補(bǔ)零DFT來提高信號(hào)可視頻率分辨率,但信號(hào)真正的頻率分辨率并沒有得到改善。通過對(duì)補(bǔ)零DFT和信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)改變的分析研究,可以區(qū)分可視分辨率和真正頻率分辨率兩個(gè)重要的概念。本文詳細(xì)論證了DFT的參數(shù)選擇對(duì)頻率分辨率的影響,并從時(shí)域——頻域?qū)?yīng)關(guān)系上說明了系統(tǒng)的信號(hào)處理和通信性能的相互制約關(guān)系。2采樣頻率fs、采樣點(diǎn)n頻率分辨率可從兩個(gè)方面來定義:第一,某個(gè)算法(如譜分析方法,功率譜估計(jì)方法等)將原信號(hào)x(n)中兩個(gè)靠的很近的譜峰仍然能保持分開的能力。第二,在進(jìn)行DFT時(shí),頻率軸上所能得到的最小頻率間隔?f。本文討論信號(hào)的DFT分析,因而使用第二個(gè)定義。設(shè)x(n)與X(K)是一個(gè)有限長序列離散付里葉變換對(duì),已知x(n)就能惟一地確定X(K),同樣已知X(K)也就惟一地確定x(n),實(shí)際上x(n)與X(K)都是長度為N的序列(復(fù)序列),都有N個(gè)獨(dú)立值,因而具有等量的信息。應(yīng)用DFT進(jìn)行信號(hào)的數(shù)字譜分析時(shí),需要確定的參數(shù)主要有:截取的信號(hào)長度T、抽樣頻率fS、采樣點(diǎn)數(shù)N及選擇什么樣的窗口。如果在x(n)中有兩個(gè)頻率分別為f1和f2的信號(hào),對(duì)x(n)用矩形窗截?cái)鄷r(shí),要分辨出這兩個(gè)頻率,N必須滿足:因此,反映頻率分辨率能力的?f由下式?jīng)Q定:可見,?f反比于截取的信號(hào)長度T,即截取的信號(hào)長度越長,分辨能力越好。要提高頻率分辨率:在采樣速率一定的情況下,只能增加采樣點(diǎn)數(shù),但N太大會(huì)影響系統(tǒng)的處理速度,甚至無法實(shí)現(xiàn);而采樣點(diǎn)一定時(shí),須減少采樣率,但這樣會(huì)減少頻率分析的范圍。由此看來,為了保證一定的頻率分辨率,在進(jìn)行頻譜分析時(shí),采樣率和采樣點(diǎn)數(shù)要兼顧考慮。下面用例子證明上面所分析的結(jié)論。設(shè)有一序列x(n)含有兩種頻率成分,1f=3Hz,f2=3.04Hz,x(n)=cos(2pnf1/fS)+cos(2pnf2/fS)。由抽樣定理,我們采用fS=10Hz,即TS=0.1s對(duì)其抽樣,不應(yīng)發(fā)生頻譜混疊問題。這里采用128點(diǎn)和512點(diǎn)DFT,對(duì)兩種情況下的頻率分辨率進(jìn)行比較:設(shè)128點(diǎn)的分辨率為Df1,512點(diǎn)的分辨率為Df2,則Df1=10/128=0.078125Hz,?f2=10/512=0.01953125Hz。計(jì)算結(jié)果表明,128點(diǎn)DFT未能將兩個(gè)靠的很近的頻率分辨出來,而512點(diǎn)DFT卻達(dá)到了分辨頻率的要求。下面用MATLAB進(jìn)行FFT(FFT是DFT的快速算法)仿真,從圖形(為了便于觀察,只畫出了頻域的一段)的角度進(jìn)一步驗(yàn)證上面結(jié)論。觀察圖2(a),2(b)(對(duì)x(n)的128點(diǎn)采樣及其FFT),沒有將兩頻率分辨出來;在采樣率不變的情況下,對(duì)其進(jìn)行512采樣,由圖2(c),2(d)所示,在f=3Hz附近有兩個(gè)譜峰,這表明已將兩頻率分辨出來。由此驗(yàn)證了上面所分析結(jié)論。圖2(e),2(f)是在128點(diǎn)采樣的基礎(chǔ)上,補(bǔ)零到512點(diǎn)的時(shí)域和頻域圖形,從圖中觀察到,并未分辨出信號(hào)的兩種頻率。在后面的論證中將進(jìn)一步研究。3周期延拓采樣的頻率仿真在做DFT時(shí),人們常在有效數(shù)據(jù)后面補(bǔ)一些零以達(dá)到對(duì)頻譜作某種改善的目的,但這往往會(huì)引起一種誤解,認(rèn)為補(bǔ)零會(huì)提高分辨率。其理由是,原數(shù)據(jù)長度為N1,現(xiàn)數(shù)據(jù)長度為N2,由于?f1=fS/N1,?f2=fS/N2及N2>N1,因此Df2<Df1。實(shí)際上補(bǔ)零并不能提高頻率分辨率,上述錯(cuò)誤的原因是把補(bǔ)零后數(shù)據(jù)的有效長度錯(cuò)認(rèn)為是N2,它實(shí)際上仍是N1,即補(bǔ)零不能增加數(shù)據(jù)的有效長度。但補(bǔ)零有一定的好處:(1)可使數(shù)據(jù)N為2的整數(shù)次冪,以便于使用快速傅里葉變換算法(FFT);(2)補(bǔ)零起到對(duì)原X(K)做插值的作用,一方面克服“柵欄”效應(yīng),使譜的外觀得到平滑;另一方面,由于對(duì)數(shù)據(jù)截?cái)鄷r(shí)所引起的頻譜泄露,有可能在頻譜中出現(xiàn)一些難以確認(rèn)的譜峰,補(bǔ)零后有可能消除這種現(xiàn)象。下面進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo):首先需要對(duì)DTFT,DFS和DFT的關(guān)系加以申明。設(shè)x(n)為一有限長序列,則對(duì)序列x(n)的DTFT(離散時(shí)間傅里葉變換)定義如下:X(ejω)是ω的連續(xù)函數(shù),且是周期的,周期為2π。而DFS是對(duì)x(n)進(jìn)行N點(diǎn)周期延拓后x～(n)的傅里葉變換;從頻域上講,DFS是對(duì)DFTFX(ejω)的采樣。數(shù)學(xué)公式表示為:它也是周期函數(shù),但頻域是離散的。DFT的定義式為:對(duì)于有限長信號(hào)x(n)的DFT,可以理解為x～(n)的DFS的主部。換句話說,雖然x(n)是有限長,但它已經(jīng)隱含了周期性。因此,對(duì)x(n)進(jìn)行補(bǔ)零,相當(dāng)于延長了x～(n)的周期。離散周期信號(hào)x～(n)可以表示成如下形式:其中,*表示卷積,x(n)表示一個(gè)周期內(nèi)的有限長序列,N為序列x～(n)的周期。作離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT):對(duì)于上式右邊兩項(xiàng)的意義分別作出說明,X(ejω)代表x(n)的離散時(shí)間Fourier變換;而等式右邊的第二項(xiàng)表達(dá)了譜采樣的概念。由前面論述知,DFT是DTFT采樣的主部,這個(gè)過程可以表示為;回到補(bǔ)零FFT的分析上來,對(duì)有限長序列x(n)補(bǔ)零,根據(jù)式(9),再加上周期延拓的性質(zhì),x(n)是沒有發(fā)生變化的,只是N增加了。因此,X(ejω)也不變,變化的只是頻域間隔。這個(gè)過程可以表示為:因此X%￠(ejω)=X(ejω)k?￥=-￥δ(ω-N￠2πk)(13)式中,N′>N。顯而易見,頻譜的包絡(luò)沒有變(圖2(e)和2(f)可清楚看出),只不過頻譜采樣更密集,而頻譜包絡(luò)不變就表明頻率分辨率不變。在這種情況下,增加了頻譜采樣密度,即提高了可視分辨率,而實(shí)際的頻率分辨率并沒變化。圖3表明了補(bǔ)零后與補(bǔ)零前頻率域的采樣密度變化。另外一方面,從邏輯上講,DTFT是DFT的基礎(chǔ)。所以,決定實(shí)際頻率分辨率的是x(n)的DTFT,換句話說,即信號(hào)x(n)的有效長度N,這是一個(gè)基本的結(jié)論。所謂x(n)決定頻率分辨率有兩個(gè)方面的意思:第一,樣本x(n)的個(gè)數(shù);第二,同時(shí)也是最重要的一點(diǎn),即樣本x(n)的時(shí)域長度。換句話說,時(shí)間窗的長度決定了頻率分辨率。根據(jù)式(4),在采樣時(shí)間長度NTS不變的情況下,增加采樣速率(此時(shí)采樣點(diǎn)數(shù)增加)是不能提高頻率分辨率的,甚至不能提高可視分辨率,但可以提高可視頻率的最大值。簡單證明如下:數(shù)字頻率ω與模擬頻率?有如下關(guān)系:其中ST為采樣間隔。頻率歸一化后,max?=2π/ST。采樣速率提高￠31SSf=kf,k,此時(shí),maxS?=2π/￠=2π￠=(2π/)sSTfkT。這說明,提高采樣率k倍后,可視頻率的最大值同樣增加了k倍。因此,雖然采樣點(diǎn)數(shù)增加(即時(shí)間域的采樣密度增加了),但頻域的采樣密度并未增加,即可視頻率分辨率沒有增加。通過以上的分析,采樣率的變化既可以在時(shí)間通過以上的分析,采樣率的變化既可以在時(shí)間域,又可以在頻率域。在頻率域提高采樣率只得到更好的可視頻率分辨率。而在時(shí)間域提高采樣率,對(duì)頻率分辨率沒有任何影響。實(shí)際的通信工程中,要同時(shí)考慮到通信的可靠性和系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的可行性,來選擇采樣率和采樣點(diǎn)數(shù)。4補(bǔ)零fft對(duì)頻域多采樣率的分析本文首先討論了采樣定理,并對(duì)其進(jìn)行了推廣。然后從頻率分辨率的角度,進(jìn)行了信號(hào)的多采樣率的分析,著重分析了補(bǔ)零FFT對(duì)頻域采樣率的變化。并從時(shí)頻的角度討論了采樣率變化對(duì)頻率分析的影響。1采樣速率的確定和同hf-b的關(guān)系根據(jù)Nyquist抽樣定理,抽樣速率HSff≥2(Hf為信號(hào)的最大頻率)時(shí),原信號(hào)可以被采樣后的信號(hào)準(zhǔn)確確定,而不會(huì)發(fā)生頻譜混疊。但這只適用于頻譜分布在(0,Hf)的基帶信號(hào),對(duì)頻率分布在(Lf,Hf)的帶限信號(hào)(見圖1(a)),抽樣定理有不同的表現(xiàn)形式。其采樣速率Sf須滿足:)(2的最大正整數(shù)(0,1,2,…),原信號(hào)才可被完全確定。其中,0f為信號(hào)中心頻率,B為頻率寬度。當(dāng)帶通信號(hào)的中心頻率滿足下面關(guān)系時(shí))可用兩倍頻帶帶寬速率對(duì)帶通信號(hào)進(jìn)行采樣(如圖1(b)所示),此時(shí)和Nyquist采樣定理是一致的。對(duì)于帶通信號(hào),還可通過減采樣,得到理論上