勾股定理知識要點(diǎn)及重點(diǎn)題型

勾股定理知識要點(diǎn)及重點(diǎn)題型一、知識梳理（一）勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a、b,斜邊為c,那么。2+b2=C2即：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。1.用面積法證明勾股定理：（1）如圖，將四個(gè)全等的直角三角形拼成正方形。(I) (H)(II)(II)TOC\o"1-5"\h\zC / ,、 ，1，(1)5 =(a+b)2=。2+4X-ab。\o"CurrentDocument"正方形ABCD 2C /八，1 ，S -c2=(a-b)2+4X-ab。\o"CurrentDocument"正方形FGH 2勾股定理各種表達(dá)式：在RtAABC中，

ZC=90°,ZA.ZB.ZC的對邊分另ij為a、b、c. 貝0c2=a2+b2,a2=c2一b2,b2=c2一a2。勾股定理的面積表示法（如右圖）勾股定理的作用：（1） 已知直角三角形的兩邊求第三邊。（2） 利用勾股定理解決實(shí)際問題。（3） 用于證明平方關(guān)系的問題。（二）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。 即：在^ABC中，若a2+b2=。2,則左ABC為RtA0滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).常用的勾股數(shù)組如：3,4,5；6,8,10；??-若a,b,c為一組勾股數(shù)，那么ka,kb,kc（k為正整數(shù)）也是勾股數(shù).如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形。首先求出最大邊（如c）；驗(yàn)證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系。若c2=a2+b2，則△ABC是以/C=90°的直角三角形；若a2+b2>c2，則三角形是銳角三角形；若a2+b2<c2，則三角形是鈍角三角形。二、重難點(diǎn)突破1、重點(diǎn)：（1）勾股定理的性質(zhì)和判定。（2）弄清a,b,c所對應(yīng)三角形的三邊。2、難點(diǎn)：（1）勾股定理及逆定理的運(yùn)用。（2）勾股定理相關(guān)計(jì)算和證明。

三、典例剖析專題一：勾股定理例1：1、(直角三角形三邊關(guān)系)已知直角三角形的兩邊長分別為3、4,則第三邊長為—.變式訓(xùn)練：2、直角三角形有兩條邊為3和4,問斜邊長為.3、 已知直角三角形的斜邊長為13,其中一條直角邊比另一條直角邊長7,則該直角三角形的面積是.4.AABC中，AB=10,AC=17,BC邊的高AD=8，求邊BC的長。例2.(等面積法的運(yùn)用)如圖已知RtAABC中,ZA=90°,AB=5,AC=12,求斜邊BC上的高。變式訓(xùn)練：如圖已知：RtAABC中，/ACB=90°,AB=17,AC=8,求△ABC的面積。作CDXAB于D,求CD的長。若點(diǎn)O為此RtAABC內(nèi)一點(diǎn)且點(diǎn)O到三邊的距離相等，作OE、OF、OG分別垂直于AB、AC、BC，求OE的長。例3.(勾股定理法)如圖△ABC中，AB=13,BC=14,AC=15,求面積。

變式訓(xùn)練：已知△ABC中，AB=AC=9,CD±AB于D,BD+BC=20,求BD和BC的長?例4：（勾股定理在折疊方面的運(yùn)用）（2010山東）如圖，長方形ABCD中，折痕為EF，合，已知AB=3cm,AD=9cm.求EF的長。變式訓(xùn)練1、（2010綿陽）如圖，在△ABC中，/ACB=90°，AD是ZACB的平分線，AACD沿AD翻折，C點(diǎn)落在邊AB上的點(diǎn)F處。已知AC=6，BC=8，求DF的長。2、（重慶市競賽題）如圖，長方形紙片ABCD，BC=a，AB=2a，沿對角線AC將^ADC翻折至AEC。求圖中重疊部分（陰影部分）的面積。求圖中重疊部分（陰影部分）的面積。3、如圖，已知，折疊長方形ABCD的一邊AD使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，AB=8cm，BC=10cm，求△FEC的面積。專題二：勾股定理逆定理例4：1、（判定一個(gè)三角形的形狀）三邊長分別是17cm，15cm，8cm的三角形的面積是

cm2。12、如圖，正方形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，且DF二頂CD4連結(jié)BE，EF，BF，求證△BEF是直角三角形變式訓(xùn)練如圖所示的一塊地，/ADC=90°，AD=12m,CD=9m,AB=39m,BC=36,求這塊地的面積。專題三：最短路經(jīng)問題例5：1.如圖，有一圓柱底面直徑為4cm（設(shè)兀=3），高為8cm，在圓柱的下底面點(diǎn)A處.有一只螞蟻，它想吃到底面與A相對的B處的食物，需爬行的最短路程是多少？2、有一個(gè)長寬高分別為2cm，1cm，3cm的長方體，有一只小螞蟻想從點(diǎn)A爬到點(diǎn)q處，則它爬行的最短路程為cm.3、如圖，A、B兩個(gè)小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，分別到河的距離為AC=10千米，BD=30千米，B且CD=30千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬，請你在河流CD上選擇水廠的位置M，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省，*并求出總費(fèi)用是多少？ I一一C D---

4、如圖，已知P是邊長為4cm的正方形ABCD的對角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).E是CD邊上一點(diǎn)，且DE為1cm，求PD+PE的最小值是.變式訓(xùn)練：1、長方體的底面邊長分別為1cm和3cm，高為6cm.如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)8,那么所用細(xì)線最短需要cm；如果從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點(diǎn)8,那么所用細(xì)線最短需要cm.2、 如圖，是一個(gè)三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個(gè)臺階兩個(gè)相對的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，求螞蟻沿著臺階面爬到B點(diǎn)的最短路程dm?3、 如圖，菱形ABCD中，AB=2，ZBAD=60°，E是AB的中點(diǎn)，P是對角線AC上的一個(gè)動(dòng)