勾股定理題型總結

勾股定理知識技能和題型歸納(一)一知識技能一、 本章知識內容歸納1、 勾股定理——揭示的是平面幾何圖形本身所蘊含的代數關系。重視勾股定理的敘述形式：直角三角形直角邊上的兩個正方形的面積之和等于斜邊上的正方形的面積、直角三角形斜邊長度的平方，等于兩個直角邊長度平方之和、從這兩種形式來看，有“形的勾股定理”和“數的勾股定理"之分、定理的作用：已知直角三角形的兩邊，求第三邊。證明三角形中的某些線段的平方關系。作長為的線段、(利用勾股定理探究長度為……的無理數線段的幾何作圖方法，并在數軸上將這些點表示出來，進一步反映了數與形的互相表示,加深對無理數概念的認識、)2、 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理的證明方法，通過構造一個三角形與直角三角形全等，達到證明某個角為直角的目的。逆定理的作用：判定一個三角形是否為直角三角形、⑶勾股定理的逆定理是把數轉化為形，是利用代數計算來證明幾何問題。要注意敘述及書寫格式、運用勾股定理的逆定理的步驟如下：首先確定最大的邊(如c)驗證與是否具有相等關系：若，則△A8C是以NC為90°的直角三角形。若，則△ABC不是直角三角形。補充知識：當時,則是銳角三角形當時，則是鈍角三角形、(4)通過總結歸納，記住一些常用的勾股數、如：3,4,5;5,12,13；6,8,10;8,15,17;9,40,41；……以及這些數組的倍數組成的數組。勾股數組的一般規(guī)律：丟番圖發(fā)現的：式子的正整數)畢達哥拉斯發(fā)現的：(的整數)柏拉圖發(fā)現的：(的整數)3、 勾股定理與勾股定理逆定理的關系注意分清應用條件：勾股定理是由直角得到三條邊的關系，勾股定理逆定理則是由邊的關系來判斷一個角是否為直角。依照課標要求，對原命題、逆命題及命題之間的關系只要求依照例子了解即可，不必專門訓練、二、 本章解題技能歸納1、直角三角形的性質與判定小結

(1)直角三角形的性質：角的關系：直角三角形兩銳角互余。邊的關系：直角三角形斜邊大于直角邊。直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半、邊角關系：直角三角形中，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半。雙垂圖：雙垂圖中的線段關系、⑵直角三角形的判定：有一個角是直角的三角形是直角三角形。有兩個角互余的三角形是直角三角形。兩邊的平方和等于第三邊(最長的邊)的平方的三角形是直角三角形。2、 已知直角三角形的兩邊長,會求第三邊長設直角三角形的兩直角邊為a,b,斜邊長為c,由勾股定理明白：。變形得:，因此已知直角三角形的任意兩邊，利用勾股定理可求出第三條邊。3、 當直角三角形中含有30°與45°角時，已知一邊,會求其它的邊含有30°的直角三角形的三邊的比為：1：。含有45°的直角三角形的三邊的比為：。⑶等邊三角形的邊長為，則高為，面積為。三、閱讀與考慮——“希波克拉底月牙形”的三S的面積S1，S2,S3有什么關系？答： (1) 如左圖：的三S的面積S1，S2,S3有什么關系？答： ⑵如圖：NC=9o°，/ABC的面積為20,在VB的同側，分別以AB,BC,AC為直徑作三個半圓■則陰影部分(即*波克拉底月牙形”)的面積為勾股定理知識技能和題型歸納(二)——題型一、基礎練習(要求熟練掌握)1、 在NABC中，a,b,c為三邊長、當NA=90。時，三邊關系、當NC=90°時，三邊關系、當時,=90°、2、 如圖，在RtAABC中，/C=90°,BC=a,AC=b,AB=c、已知a=5,b=12,則c=;已知b=6,c=10,則a=已知a=2,c=,則b=;已知a=15,b=20,則MABC的周長=;已知a=2,c=2、5,則^ABC的面積=;已知a:c=3:5,a+c=32,則卜=;已知c=10,a:b=3:4,則a=,b=,斜邊上的高

3、 已知^ABC3、 已知^ABC是直角三角形,AC=3,BC=5,求AB的長。4、 在△ABC中，NC=90°,AB=20。（1）若NB=45°，求BC、AC。（2）若NA=60°，求BC、AC。5、 求下列圖中未知數x、y、z的值：6、 在4ABC的三邊，且，判斷4ABC的形狀。7、 若^ABC的三邊滿足條件，判斷y=z=△ABC的形狀。8、 AABC的三邊，滿足邊的長是的解，求^ABC中最大角的度數、9、 用本章學過的知識判斷直線與的位置關系，說明理由。10、 在B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60°方向以每小時8海里的速度前進，乙船沿南偏東某個角度以每小時15海里的速度前進，2小時后，甲船到M島，乙船到P島，兩島相距34海里，您明白乙船是沿哪個方向航行的不？11、 為美化環(huán)境，計劃在某小區(qū)內用30平方米的草皮鋪設一邊長為10米的等腰三角形綠地，請您求出這個等腰三角形綠地的另兩邊長。12、 如圖，鐵路上A、B兩站（視為直線上兩點）相距25千米，C、D為兩個村莊（視為兩個點），DA^AB于A,CB±AB于B,DA=15千米，CB=10千米,現要在鐵路上建設一個土特產收購站E,使得C、D兩村到E的的距離相等，則E應建在距A多少千米處？13、 在河L的同側有兩個倉庫A、B相距164。米，其中A距河210米,B距河570米，現要在河岸上建一個貨運碼頭，使得兩倉庫到碼頭的路程和最短，問：這個最短路程是多少？碼頭應建在何處？三、典型數學思想、方法的訓練（一）方程思想進行計算14、 小明用一根長30厘米的繩子折成三段，圍成一個三角形，他用尺子量了一下，其中一條線段的長度比較短線段長7厘米,比較長線段短1厘米,請您幫助小明判斷一下，他圍成的三角形是直角三角形不？15、 已知△ABC中，/C=90°,D、E分別為BC、AC的中點,AD=5,BE=，求AB的長、16、有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺。假如把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面。這個水池的深度與這根蘆葦的長度分別為多少？17、如圖所示、已知:在正方形ABCD中，/BAC的平分線交BC于E,作EF±AC于尸，作FG^AB于G、求的值、（二）構造直角三角形18、已知△ABC中，AB=8,AC=7,BC=6，求△△&「的面積。

19、 已知△ABC中，NB=30°,ZC=45°,AB~AC=2~,求BC的長。20、 已知：如圖，AB=AC=20,BC=32,D為BC邊上一點，/DAC=90。、求BD的長、21、 (1)寫出三種用“構造斜邊長為的直角三角形的方法''作長為的線段的方案、能否通過“構造直角邊長為的直角三角形的方法”來作長為的線段？若能，寫出三角形的三邊；若不能，說明理由。在(1)中，作長為的線段,往往需要先作出其它長為無理數的線段才能求出長為的線段，關于正整數，能否通過構造兩邊均為有理數的直角三角形求出作長為的線段？若能，請寫出此時三角形三邊之間的關系；若不能，請說明理由、勾股定理與變換22、 已知矩形ABCD沿直線BD折疊，使點C落在同一平面內C處,BC與AD交于點、E,AD=8,AB=4,求DE的長、3、(2004年荊州中考)一個直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發(fā)現了勾股定理的一種證明方法。如圖，火柴盒的一個側面ABCD倒下到的位置，連結，設,請利用四邊形的面積證明勾股定理。24、 AABC中,CD是AB邊上的中線,AC=8,BC=6,CD=5,判斷△ABC的形狀。面積法：25、 設表示三角形的三條高，假如 ，那么這個三角形是什么三角形？26、 證明：直角三角形的斜邊與斜邊上的高的和大于兩直角邊之和。27、 已知:平面直角坐標系xOy內，點A(),B(),C(0,-3),(1)判斷的形狀并說明理由；⑵若點D的坐標為，求中CD邊上的高h的值、TOC\o"1-5"\h\z28、 如圖，已知直線與x軸、y軸分別 y交于點A、B,以線段AB為直角邊在第一象限內 f作等腰RtAABC,ZBAC=90O且P(1,a)為坐標系中的一個動點、 r求AABC的面積； r<T/證明不論3取任何實數，AB0P的面積是一個常數 %要使得△ABC和△ABP的面積相等，求實數a的值、 。 爻代數計算證明幾何問題：29、 求證:直角三角形中兩直角邊上的中線的平方和的4倍等于斜邊平方的5倍、30、 如圖△ABC中，ZC=90°,M是CB的中點,MD±AB于D,32、（求證(①； M②。BA 請說明三條線段AD32、（求證(①； M②。B圖,?上AB,0A>OB,1、 邊長為4,E為AB中點,AF=,圖,?上AB,0A>OB,（2）運用（1）的結論能夠證明下列命題：已知:如圖，設M是^ABC內部任意一點，MD±AB于G,MEVBC于K,MF±CA于H,BD=BE,CE=CF,求證:AD=AF;（六）圖形的割、補與拼圖33、 已知：如圖，四邊形ABCD中，AB=3,BC=4,CD=5,AD=5,ZB=90°，求四邊形ABCD的面積、第33題圖34、 一塊四邊形的草地ABCD，其中ZA=60°,ZB=ZD=90°,AB=20m,CD=10m,求這塊草地的面積、35、 有十字形，它由五個全等的正方形組成，如圖所示，您能把它姨三題拼成一個長是寬的2倍的長方形不？（先計算，再拼圖）備用圖：36、 現有一張長為6。5，寬為2的紙片，請您將它分割成6塊，再合并成一個正方形，要求先畫出分割線，再拼成正方形并證明您的方法的正確性。（七）運動、開放與探究37、 在△中，設當ZC=90°時，依照勾股定理有;若△不是直角三角形，請您類比勾股定理,試猜想與的關系，并證明您的結論。38、 如圖,M是Rt^ABC斜邊AB的中點，P、Q分別在AC、38、 如圖,M是Rt^ABC斜邊AB的中點，P、Q分別在AC、BC上,PM±MQ,判斷的數量關系并證明您的結論。39、 △ABC中,AB=AC=4,點P在BC邊上運動，猜想的值而變化，并證明您的猜想、40、 已知：矩形ABCD、（四個角是直角）P為矩.形內一點（如圖a）,求證：;探究PQ隨點P位置的變化