勾股定理知識總結(jié)

勾股定理知識總結(jié)一.基礎(chǔ)知識點：1:勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a?+b2=C2）要點詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在AABC中，/C=90°，貝Uc=^a2+b2，b=、c2-a2，（2） 已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊（3） 利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題2：勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理請你根據(jù)圖形寫出勾股定理的證明過 程:3、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長：a、b、c，則有關(guān)系霧+b2=。，那么這個三角形是直角三角形。證明：如果三角形的三邊長：a、b、c，滿足a?+b=c?，那么這個三角形是直角三角形。要點詮釋：勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時應(yīng)注意：（1） 首先確定最大邊，不妨設(shè)最長邊長為：c；（2） 驗證c?與卻+加是否具有相等關(guān)系，若c?=卻+b?，則AABC是以4為直角的直角三角形(若C2R+S,則△ABC是以ZC為鈍角的鈍角三角形；若。<蹈+b2,則△ABC為銳角三角形)。(定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長a，b，c滿足a2+c2=b2，那么以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊)3:勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。4：互逆命題的概念如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。規(guī)律方法指導(dǎo)勾股定理的證明實際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證明的。勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān)系的題目。勾股定理在應(yīng)用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個知識在應(yīng)用過程中易犯的主要錯誤。勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a，b,c有下列關(guān)系：a^+b=c^，那么這個三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個三角形是否是直角三角形的判定方法.應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的過程主要是進行代數(shù)運算，通過學(xué)習(xí)加深對“數(shù)形結(jié)合”的理解.6：勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2+b2=c2中，a，b，c為正整數(shù)時，稱a，b，c為一組勾股數(shù)記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等用含字母的代數(shù)式表示〃組勾股數(shù)：n2-1,2n,n2+1(n>2,n為正整數(shù))；2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1(n為正整數(shù))m2-n2,2mn,m2+n2(m>n,m，n為正整數(shù)結(jié)合三角形：已知△ABC的三邊a、b、c滿足(a-b)2+(b-c)2=0，則△ABC為角形在△ABC中，若a2=(b+c)(b-c)，則△ABC是 三角形，且/90。在△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，則BC的長為1.已知|x-12〔+|x+y-251與z2-10z+25互為相反數(shù)，試判斷以%、y、z為三邊的三角形的形狀。2.已知：在AABC中，三條邊長分別為a、b、c，a=n2-1，b=2n，c=n2+1(n>1)試說明：/C=90。。

3.若AABC的三邊a、b、c滿足條件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，試判斷AABC的形狀。（二）、實際應(yīng)用：梯子滑動問題：（1） 一架長2.5m的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離墻底0.7m（如圖），如果梯子的頂端沿墻下滑0.4m，那么梯子底端將向左滑動米（2） 如圖，梯子AB斜靠在墻面上，AC±BC,AC=BC,當(dāng)梯子的頂端A沿AC方向下滑x米時，梯足B沿CB方向滑動y米，則x與y的大小關(guān)系是（ ）A.X=y B.X>y C.x<y D.不能確定（3） 小明想知道學(xué)校旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子吹到地面上還多1m，當(dāng)他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)繩子下端剛好觸到地面，試問旗桿的高度為米直角邊與斜邊和斜邊上的高的關(guān)系：直角三角形兩直角邊長為a，b，斜邊上的高為h，則下列式子總能成立的是（ ）C.D.A.ab=b2B.a2+b2=2h2C.D.變：如圖，在RtAABC如圖，在RtAABC中，NACB=90。，CD±AB于D，設(shè)AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。求證：（1）'+—=—a2b2h2（2） a+b<c+h（3） 以a+b，h，c+h為三邊的三角形是直角三角形爬行距離最短問題：如圖，一塊磚寬AN=5血，長ND=10血，CD上的點F距地面的高FD=8m，地面上A處的一只螞蟻到B處吃食，要爬行的最短路線是 cm如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個臺階兩相對的端點，A點有一只昆蟲想到B點去吃可口的食物，則昆蟲沿著臺階爬到B點的最短路程是 分米？如圖，一只螞蟻沿邊長為a的正方體表面從點A爬到點B，則它走過的路程最短為（ ）

（三）方向問題:1.一輪船在大海中航行，它先向正北方向航行8km,接著，它又掉頭向正東方向航行15千米.⑴此時輪船離開出發(fā)點多少km?⑵若輪船每航行1km,需耗油0.4升，那么在此過程中輪船共耗油多少升？（四）旋轉(zhuǎn)問題：1.如圖，AABC為等腰直角三角形，/BAC=90。，將△ABH繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到AACH'處，若AH=3m，試求出H、h'兩點之間的距離。2.如圖所示，已知在AABC中，AB=AC，/BAC=90。，D是BC上任一點，求證：BD2+CD2=2AD