新高考2023屆高考數(shù)學二輪復習專題突破精練第14講端點恒成立與端點不成立問題教師版

第14講端點恒成立與端點不成立問題一．解答題（共30小題）1．（2021?天津二模）已知函數(shù)．（Ⅰ）當時，求在點，處的切線方程；（Ⅱ）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若對任意的，在，上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）當時，，（1分），，函數(shù)在點，處的切線方程為．（2分）（Ⅱ）由題意，．（3分）（?。┊敃r，，令，得；，得，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；（4分）（ⅱ）當時，，令，得；，得或，（5分）所以在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，（6分）（Ⅲ）令（a），，，當，時，，（a）單調(diào)遞增，則，（7分）則（a）對，恒成立等價于（a），即，對，恒成立．（8分）（?。┊敃r，，，，此時，不合題意，舍去．（9分）（ⅱ）當時，令，，，則，（10分）其中，，，令，，，則在區(qū)間，上單調(diào)遞增，（11分）①當時，，所以對，，，則在，上單調(diào)遞增，故對任意，，，即不等式在，上恒成立，滿足題意．（12分）②當時，由，（1）及在區(qū)間，上單調(diào)遞增，所以存在唯一的使得，且時，．即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，則時，，即，不符合題意．（13分）綜上所述，．（14分）2．（2021春?沈陽期末）已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若當時，有恒成立，求的取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)，則，①當時，，則在上單調(diào)遞增；②當時，令，解得，當時，，則單調(diào)遞減，當時，，則單調(diào)遞增．綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由（1）可知，當時，，則在，單調(diào)遞增，所以，因為，，則在，上恒成立，所以當時，在，上恒成立，令，則，故，所以在，上單調(diào)遞增，又，①當時，，則在，上單調(diào)遞增，故，所以；②當時，，因為在，上單調(diào)遞增，且，故存在，，使得，且，即，所以，不符合題意．綜上所述，實數(shù)的取值范圍為，．3．（2021?懷化一模）已知函數(shù)．（1）若，函數(shù)的極大值為，求實數(shù)的值；（2）若對任意的，，在，上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）的導數(shù)為．①當時，，令，得；，得，所以在單調(diào)遞增單調(diào)遞減．所以的極大值為，不合題意．②當時，，令，得；令，得或；所以在單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減．所以的極大值為，得．綜上所述．（2）令（a），，當時，，故（a）于，上遞增，（a），原問題于，上恒成立．①當時，，，，此時，不合題意．②當時，令，，則，其中，，令，，則在區(qū)間，上單調(diào)遞增，（?。r，，所以對，，從而在，上單調(diào)遞增，所以對任意，，即不等式，于，上恒成立．（ⅱ）時，由，（1）及在區(qū)間，上單調(diào)遞增，所以存在唯一的，使得，且時，．從而時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，則時，，即，不符合題意．綜上所述，．4．（2021秋?河南月考）已知函數(shù)．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若，且當時恒成立，求的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由題意可知，，當時，，在上單調(diào)遞增，當時，令，得，所以，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（Ⅱ）因為當時，恒成立，所以當時，恒成立，所以當時，恒成立，令，，，令，，因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，因為，當時，，，當，，，所以在上，，單調(diào)遞減，在時，，單調(diào)遞增，所以，在上，（1），所以，所以的最大值為．5．（2021秋?許昌月考）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）因為，，令，當，，由，解得，由，解得，當，，令，得，，當時，，解得；，解得，當，即時，由，解得，由，．由時，即時，恒成立；當時，即時，由，解得；由，解得．綜上所述，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）因為，在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，設(shè)，，令，．因為，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以（1），所以，所以在上單調(diào)遞減，所以（1），所以，所以的取值范圍為，．6．（2021秋?玉溪月考）已知函數(shù)f（x）＝x2﹣a（x﹣1）﹣lnx﹣1．（1）若a＝1，求函數(shù)f（x）的最小值；（2）若x＞0時，f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）當a＝1時，f（x）＝x2﹣x﹣lnx，f′（x）＝2x﹣1﹣＝＝，令f′（x）＝0?x＝1，當0＜x＜1時，f′（x）＜0，則f（x）在（0，1）單調(diào)遞減當x＞1時，f′（x）＞0，則f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，所以f（x）min＝f（1）＝0（4分）（2）f（x）＝x2﹣a（x﹣1）﹣lnx﹣1（x＞0），f′（x）＝2x﹣a﹣＝，設(shè)r（x）＝2x2﹣ax﹣1，因為△＝a2+8＞0，故存在x0＞0，有r（x0）＝2﹣ax0﹣1＝0（8分）且f′（x）在（0，x0）時f′（x）＜0，在（x0，+∞）時f′（x）＞0，則f（x）在（0，x0）單調(diào)遞減，在（x0，+∞）單調(diào)遞增，所以函數(shù)f（x）在x＝x0處取到最小值，（10分）又因為f（1）＝0，要使得f（x）≥0恒成立，只有x0＝1才能滿足．故代入2﹣ax0﹣1＝0得a＝1，故所求a＝1（12分）7．（2021秋?巴中月考）已知，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，若對任意，恒成立，求的取值范圍．【解答】解：（1）因為，則，①當時，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當時，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上所述，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）當且時，恒成立，即對于恒成立，等價于對于恒成立，令，則問題轉(zhuǎn)化為對于恒成立，因為對于恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則對于恒成立，等價于對于恒成立，故對于恒成立，令，則，當時，，則單調(diào)遞增，當時，，則單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值（1），則，所以的取值范圍為．8．（2021秋?河南月考）已知函數(shù)．（1）設(shè)是的導函數(shù)，求在，上的最小值；（2）今，若對于任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）由，得，令，所以對，恒成立，所以在，上為增函數(shù)，所以，所以在，上的最小值為1，（2）當，時，由得，取對，恒成立，所以對，恒成立，即函數(shù)的圖象在的上方，當，時，由得，取對，恒成立，所以對，恒成立，即函數(shù)的圖象在的下方，在的切線斜率為，當時，對，恒成立，令，，由（1）知的最小值是1，所以的最小值是0，所以是增函數(shù)，最小值在時取得，且，所以時對，恒成立，同理可證時，對，恒成立，根據(jù)函數(shù)圖象知．故實數(shù)的取值范圍為，．9．（2021秋?南寧月考）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性．（2）設(shè)，若恒成立，求的取值范圍．【解答】解：（1），當時，，單調(diào)遞增，當時，在上，，單調(diào)遞增，在，上，，單調(diào)遞減，綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，（2），若恒成立，則恒成立，所以恒成立，令，，令，，，令，，所以在上單調(diào)遞增，又（1），且時，，所以在上，，，單調(diào)遞減，在，，，單調(diào)遞增，所以（1），所以在上單調(diào)遞增，又（1），所以在上，，，單調(diào)遞減，在，，，單調(diào)遞增，所以（1），所以，所以的取值范圍為，．10．（2021秋?廣東月考）已知函數(shù)且．（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若恒成立，求的取值范圍．【解答】解：（1）由于二次函數(shù)的開口向上，且在單調(diào)遞減，的定義域為，，且在定義域上單調(diào)遞增，于是由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，實數(shù)應(yīng)滿足，解得，實數(shù)的取值范圍為；（2），當且僅當時等號成立，，解得，實數(shù)的取值范圍為，．11．（2021秋?吳中區(qū)校級月考）設(shè)函數(shù)．（1）若命題“，”是真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若對于，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）當時，恒成立；當時，為開口向上的拋物線，原不等式不恒成立；當時，只需△，即，解得．綜上可得，的取值范圍是，；（2）對于，，即為即，令，，即有，因為，當且僅當時取得等號，所以，即，所以的取值范圍是，．12．（2021秋?重慶月考）已知函數(shù)，為函數(shù)的導函數(shù)．（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求的取值范圍．【解答】解：（1）的定義域是，，當時，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，，在上單調(diào)遞增；當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述，當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；當時，的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為當時，的遞增區(qū)間為；當時，的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為．（2）令，恒成立，恒成立，即，恒成立，①當時，有，令，，在單調(diào)遞減，當時，，；②當時，恒成立，；③當時，，有，，由得，時，，單調(diào)遞減，，時，，單調(diào)遞增，當時，取得極小值，也是最小值，；綜上所述，．即的取值范圍為，．13．（2021秋?江西月考）已知函數(shù)，．（1）若，討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點個數(shù)；（2）若，函數(shù)在上恒成立，求整數(shù)的最大值．【解答】解：（1）的定義域為，且，方程，△，①當△，即時，在上單調(diào)遞增，故極值點個數(shù)為0；②當△，即時，當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故極值點個數(shù)為2，綜上可知，當時，極值點個數(shù)為0，當時，極值點個數(shù)為2；（2）當，，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，而（3），（4），所以存在，使得，即，故，且時，，，，，即在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以，因為，，即的最大值為3．所以，的最大值為3．14．（2021秋?浙江月考）已知函數(shù)．（Ⅰ）若的圖象在處的切線的斜率為，求直線的方程；（Ⅱ）若對于任意的，，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ），（1），，，解得，（1），切點為，斜率為，切線的方程為；（Ⅱ）法對于任意的，，恒成立，，解得．又當時，，對于任意的，，恒成立，等價于在，上恒成立，令，，，則只需即可．，且，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，（2），由，（2），解得，．法對于任意的，，恒成立，，解得．由，，，，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，，（2），要使恒成立，只需即可，即，，即，．法，，恒成立，且（2），解得．恒成立，由，知，，所以兩邊平方得：，即對任意的，恒成立，，當時，，則，即，．15．（2021秋?龍巖月考）已知函數(shù)且為常數(shù)）．（Ⅰ）討論函數(shù)的極值點個數(shù)；（Ⅱ）若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）由題設(shè)知：的定義域為，，令，在上恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且值域為，①當時，在上恒成立，即，故在上單調(diào)遞增，無極值點；②當時，方程有唯一解為，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，是函數(shù)的極小值點，沒有極大值點．綜上，當時，無極值點，當時，函數(shù)只有1個極值點；（Ⅱ）不等式對任意的恒成立，即對任意的恒成立，對任意的恒成立記，則，記，則，易知在上恒成立，在上單調(diào)遞增，且，（1），存在，使得，且當時，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當，時，即，故在，上單調(diào)遞增，，即，又，故，即，即，由（Ⅰ）知函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，．綜上，實數(shù)的取值范圍是，．16．（2021秋?湘潭月考）已知為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，，．（1）若，且的圖象與的圖象相切，求的值；（2）若對任意的恒成立，求的最大值．【解答】（1）因為的圖象與的圖象相切，設(shè)切點為，，又，所以，解得，．所以；（2）因為等價于，令，當時，在上為增函數(shù)，且當時，，所以不滿足題意；當時，對任意的恒成立，所以，故，此時的最大值為0；當時，因為，由，得，又當時，，當時，，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以當時，有最小值，所以，即，所以，令，則，所以當時，為增函數(shù)，當時，為減函數(shù)，所以（e），故，所以的最大值為；綜上所述，的最大值為．17．（2021秋?丹徒區(qū)校級月考）已知．（1）不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．（2）當，對任意，，，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）依題意，對任意，恒成立，則△，解得，實數(shù)的取值范圍為；（2）當時，，即為，由于為開口向上，對稱軸為的二次函數(shù)，而對任意，，，都有恒成立，于是只需即可，即，，令，則，令，則，由雙勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在，上單調(diào)遞增，故（2），，即實數(shù)的取值范圍為，．18．（2021秋?湖北月考）已知函數(shù)，，函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）記，對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）且，令，則，，所以，所以，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，當，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2），且，，令，，令，，所以在上單調(diào)遞增，①若，，所以在，上單調(diào)遞增，所以，所以恒成立．②若，，，所以存在，，使，且，，，，所以，不合題意．綜上，的取值范圍為，．19．（2021秋?河北月考）已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點，（1）處的切線方程；（2）若對任意，不等式恒成立，求正整數(shù)的最小值．【解答】解：（1）當時，，導數(shù)為，所以切線的斜率為（1），又（1），所以切線的方程為，即為；（2）當時，，整理可得，令，則，令，則，由，可得，當時，，遞減，因為（1），，所以在存在一個零點，此時，即，所以當時，，即，遞增；當時，，即，遞減，所以有最大值，所以，因為，所以正整數(shù)的最小值為1．20．（2021秋?資中縣校級月考）已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）由函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立；等價于在上恒成立，設(shè)，即在的最小值，則，，得，單調(diào)遞減；，得，單調(diào)遞增；的最小值為（1），所以，所以的取值范圍，；（2）令，由，得，當時，，令，則，令，，所以在上單調(diào)遞增，因為（1），所以時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增，故（1），滿足條件；綜上可知，的取值范圍，．21．（2021?上城區(qū)校級開學）已知，．（Ⅰ）求的最小值．（Ⅱ）設(shè)，若當時，有三個不同的零點，求的最小值．（Ⅲ）當時，恒成立，求的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）令得，，易知，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，的最小值為；（Ⅱ）依題意，，令，則，令，則，當或時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，從而作出函數(shù)的草圖如下，由圖象可知，要使有三個不同的實數(shù)根，則，的最小值為；（Ⅲ）等價于，即，，構(gòu)造函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，又考慮到，則，從而，實數(shù)的取值范圍為，．22．（2021秋?渝中區(qū)校級月考）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在處取得極值，求實數(shù)的值；（2）當時，不等式對于恒成立，求實數(shù)的值．【解答】解：（1）因為，所以，函數(shù)在處取得極值，，，，檢驗：當時，，，100單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減在處取極值，符合題意．（2）當時，，由題意知時，，當時，，令，因為為上的增函數(shù)，且的值域為，，故問題轉(zhuǎn)化為“，恒成立”，不妨設(shè)，所以，①當時，，所以在上單調(diào)遞增，且，所以當時，，這與題意不符，②當時，令，解得，當時，，單調(diào)遞減，所以，所以，所以，記，，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以（1），又因為，即，所以．23．（2021秋?青銅峽市校級月考）已知函數(shù)為常數(shù)）．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）不等式在，上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)定義域是，，時，恒成立，在上是增函數(shù)；時，時，，遞減，時，，遞增．綜上，時，在上是增函數(shù)；時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（2）即在，上恒成立，則，，設(shè)，，則，時，，遞增，時，，遞減，（1），所以，即實數(shù)的取值范圍為，．24．（2021秋?沙坪壩區(qū)校級月考）已知函數(shù)，，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)，則，①當時，恒成立，則在上單調(diào)遞增；②當時，令，解得，當時，，則單調(diào)遞增，當時，，則單調(diào)遞減．綜上所述，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，．（2）對任意都有恒成立，即對任意恒成立，即對任意恒成立，令，則，①當時，在上恒成立，則單調(diào)遞減，則只要即可，解得，又，故無解；②當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以只要即可，解得，又，所以；③當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，解得，又，所以．綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．25．（2021春?玉林期中）已知函數(shù)．（1）討論在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；（2）若對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）由已知得，設(shè)，令，即方程，△，當時，△，則，此時沒有極值點；當時，△，設(shè)方程兩根為，，不妨設(shè)，則，，則，當或時，；當時，，此時，是函數(shù)的兩個極值點，當時，△，設(shè)方程兩根為，，則，，所以，所以當時，，故沒有極值點，綜上，當時，函數(shù)有兩個極值點；當時，函數(shù)沒有極值點．（2）解：由題，在上恒成立，則在上恒成立，在上恒成立，設(shè)，則，因為，當時，，則單調(diào)遞減；當，，則單調(diào)遞增；所以（1），所以．26．（2021春?湖南期中）已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)，證明：當時，恒成立．【解答】解：（1），（1分）當時，，的單調(diào)遞增區(qū)間為，（2分）當時，令，令，（3分）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（4分）（2）．方法一：直接求導，令，（5分），令，令，，（6分），，（7分）令，（8分）下面證明，即證，令，（9分）則，在遞減，，，（11分）當時，恒成立．（12分）方法二：，要證，只需證，（5分）令，（6分）令，（7分），，（8分）證明方式，，，，（9分），（10分），，（11分）當時，恒成立．（12分）證明方式下面只需證明，令，（a）在遞減，（10分）（a）（1），，（11分）當時，恒成立．（12分）27．（2021春?蘄春縣期中）已知函數(shù)的圖象在點，（1）處的切線方程為．（1）求，的值．（2）當時，證明：對恒成立．【解答】（1）解：因為，所以，解得，則（1），解得，，；（2）證明：因為，所以要證對恒成立，只需證對恒成立．設(shè)函數(shù)，則．因為，所以，所以在上單調(diào)遞減，從而（1），則對恒成立，故當時，對恒成立．28．（2021春?寧德期中）已知函數(shù)，，其中，為的導數(shù)．（1）若為定義域內(nèi)的單調(diào)遞減