新疆維吾爾自治區(qū)2023屆高三第一次適應(yīng)性檢測(cè)文科數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

新疆維吾爾自治區(qū)2023年普通高考第一次適應(yīng)性檢測(cè)文科數(shù)學(xué)第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，且，則集合（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)一元二次不等式的性質(zhì)求出集合，然后再根據(jù)集合中元素的特征即可求解.【詳解】由題意可知：，因?yàn)榧希?，且，所以，故選：2.設(shè)為虛數(shù)單位，且，則（）A.1 B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】題中將看做常數(shù)，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算，再利用復(fù)數(shù)相等，求出即可.【詳解】由題意，，根據(jù)復(fù)數(shù)相等運(yùn)算法則，則且，解得.故選：D.3.已知平面向量滿足與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平方的方法化簡(jiǎn)，由此求得與的夾角.【詳解】設(shè)與的夾角為，由兩邊平方得，即，由于，所以.故選：C4.如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形分成四個(gè)全等的正三角形，第一次挖去中間的一個(gè)小三角形，將剩下的三個(gè)小正三角形，再分別從中間挖去一個(gè)小三角形，保留它們的邊，重復(fù)操作以上做法，得到的集合為謝爾賓斯基三角形.設(shè)是第n次挖去的小三角形面積之和（如是第1次挖去的中間小三角形面積，是第2次挖去的三個(gè)小三角形面積之和），則前10次挖去的所有小三角形面積之和的值為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖形可知：每次挖去的小三角形面積之和構(gòu)成一個(gè)以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】原正三角形的面積為，由題意可知：第次挖去個(gè)小正三角形，且每次挖去的小三角形面積之和構(gòu)成一個(gè)以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，由等比數(shù)列的求和公式可得：前10次挖去的所有小三角形面積之和的值為，故選：.5.一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如下圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：如圖所示，截去部分是正方體的一個(gè)角,其體積是正方體體積的,剩余部分體積是正方體體積的,所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為,故選D.考點(diǎn)：本題主要考查三視圖及幾何體體積的計(jì)算.6.若拋物線的焦點(diǎn)也是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則此拋物線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先表示出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到其焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到方程，解得即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，雙曲線可化簡(jiǎn)為，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可得，即，解得，則此拋物線的方程為.故選：B.7.在等差數(shù)列中，若，則的最小值是（）A2 B.8 C.15 D.19【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得，再根據(jù)都為大于1的正整數(shù)，即可得出的最小值是15.【詳解】由題意可知，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，即；易知且，即是10的整數(shù)倍，易得時(shí)，不是整數(shù)，所以時(shí)，的最小值為，滿足題意；所以的最小值為.故選：C8.如圖，在長(zhǎng)方體中，，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.B.與異面C.平面D.平面平面【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題目信息和相似比可知，不可能平行于，與異面，可得A錯(cuò)誤，B正確；再利用線面平行和面面平行的判定定理即可證明CD正確.【詳解】如下圖所示，連接，根據(jù)題意，由可得，，且；同理可得，且；由，而，所以不可能平行于，即A錯(cuò)誤；易知與不平行，且不相交，由異面直線定義可知，與異面，即B正確；在長(zhǎng)方體中，所以，即四邊形為平行四邊形；所以，又，所以；平面，平面，所以平面，即C正確；由，平面，平面，所以平面；又，平面，平面，所以平面；又，且平面，所以平面平面，即D正確.故選：A9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分別構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】依題意，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù)，所以，即，所以；令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，所以；令，則，令，則，易得在上是增函數(shù)，且，所以在上恒成立，所以在上是減函數(shù)，又因?yàn)?，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上是減函數(shù)，所以，即，所以，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用及構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用，屬于難題.10.在一個(gè)圓上隨機(jī)取三點(diǎn)，則以這三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是銳角三角形的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】不妨設(shè)是半徑為1的圓的任意一內(nèi)接三角形，且角所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)分別為，根據(jù)題意列出不等式組，利用幾何概型的概率公式即可求解.【詳解】不妨設(shè)是半徑為1的圓的任意一內(nèi)接三角形，且角所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)分別為，則角所對(duì)的弧長(zhǎng)為.對(duì)于，有，，，該不等式組所表示的區(qū)域面積為.若為銳角三角形，則有，，，該不等式組所表示的區(qū)域面積為，所以，故選：A.11.已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)（在之間），與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，勾股定理，雙曲線的幾何性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，畫出圖形分析即可求解.【詳解】依題意，可得如圖所示：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，因?yàn)閳A，所以半徑，過圓心作弦的垂線，垂足為，則為的中點(diǎn)，又，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以且，又，所以，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，，所以，所以雙曲線的離心率為：.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的幾何性質(zhì)垂徑定理，勾股定理，雙曲線定義的運(yùn)用，雙曲線離心率的求法，解題過程中出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí)可優(yōu)先考慮中位線的性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化的過程中要充分考慮相關(guān)圖形的性質(zhì).12.設(shè)函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值（）A. B.1 C. D.0【答案】D【解析】【分析】由題意，恒成立，即求的最大值，求導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)最值，即可得實(shí)數(shù)的取值范圍，得到答案.【詳解】由題意，恒成立，即求的最大值，函數(shù)，定義域?yàn)?，，，而在上單調(diào)遞減，且時(shí)，，時(shí)，，存在，滿足，即且，當(dāng)，；當(dāng),，；因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在,上單調(diào)遞減，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是實(shí)數(shù)的最大值為0.故選：D.第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題~第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22題~第23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13.冬奧會(huì)的兩個(gè)吉祥物是“冰墩墩“和“雪容融”.“冰墩墩”將熊貓形象與富有超能量的冰晶外殼相結(jié)合，體現(xiàn)了冰雪運(yùn)動(dòng)和現(xiàn)代科技特點(diǎn).冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融“以燈籠為原型進(jìn)行設(shè)計(jì)創(chuàng)作，頂部的如意造型象征吉祥幸福.小明在紀(jì)念品商店買了2個(gè)“冰墩墩”和2個(gè)“雪容融”，隨機(jī)選了2個(gè)作為禮物寄給他的好朋友小華，則小華收到的禮物中既有“冰墩墩”又有“雪容融”的概率為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)基本事件的個(gè)數(shù)及滿足條件的基本事件的個(gè)數(shù)，應(yīng)用古典概型公式求解即可.【詳解】小明在紀(jì)念品商店買了2個(gè)“冰墩墩”和2個(gè)“雪容融”，隨機(jī)選了2個(gè)作為禮物寄給他的好朋友小華，則基本事件數(shù)為；則小華收到的禮物中既有“冰墩墩”又有“雪容融”的事件數(shù)為；故.故答案為：.14.三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，則外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)出圓的一般方程為，利用待定系數(shù)法，分別將三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程，解方程組求出，從而得出圓的一般方程，再根據(jù)圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化，即可得出答案.【詳解】設(shè)所求圓的一般方程為：，，由圓經(jīng)過三點(diǎn)，，解得：，則所求圓的一般方程為：，所以的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：.故答案為：.15.以函數(shù)的圖象上相鄰三個(gè)最值點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是正三角形，則__________.【答案】##【解析】【分析】作出函數(shù)的大致圖像，先由正弦函數(shù)的性質(zhì)得，，再由正三角形的性質(zhì)推得，從而利用三角函數(shù)的周期公式即可得解.【詳解】作出函數(shù)的大致圖像，不妨取如圖的相鄰三個(gè)最值點(diǎn)，設(shè)其中兩個(gè)最大值點(diǎn)為，最小值點(diǎn)為，過作交于，如圖，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，，因?yàn)槭钦切?，所以，故，則，又，則，故，所以.故答案為：.16.直線與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次是，則滿足的一個(gè)等式為__________.【答案】【解析】【分析】令，則，令，求導(dǎo)得到單調(diào)性從而畫出的圖象，判斷曲線和曲線只有一個(gè)交點(diǎn).再分別對(duì)，求導(dǎo)得到單調(diào)性后畫出圖象，從而確定當(dāng)直線經(jīng)過曲線曲線和曲線的唯一公共點(diǎn)時(shí)，直線與兩條曲線恰好有三個(gè)不同的交點(diǎn)，進(jìn)而得到，且利用同構(gòu)化為再借助的單調(diào)性得到，，借助，最終可得.【詳解】令，即，則，令，則所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，又，所以的圖象如圖所示：由圖可知，的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，因此曲線和曲線只有一個(gè)交點(diǎn).對(duì)求導(dǎo)，可得所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以.對(duì)求導(dǎo)，可得所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，所以圖象如圖所示：由圖知，當(dāng)直線經(jīng)過曲線曲線和曲線的唯一公共點(diǎn)時(shí)，直線與兩條曲線恰好有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則有，且則且上單調(diào)遞減，，又且在上單調(diào)遞增，，而即，，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：先判斷曲線和曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，可以令，即，則，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到單調(diào)性畫出圖象判斷.三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.在中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，.（1）若，求的值；（2）求的最大值.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）利用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)得，則，則得到的值；（2）利用余弦定理和輔助角公式得，則，解出，則得到最大值.【小問1詳解】由得,即，即即,因?yàn)?所以,即,由得，故.【小問2詳解】由結(jié)合余弦定理得,則,于是,即.解得,故當(dāng)時(shí)，有最大值.18.如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形所在平面與半圓弧所在的平面垂直，是弧上異于，的點(diǎn).平面與平面的交線為.（1）證明：⊥平面；（2）點(diǎn)在線段上，滿足，當(dāng)點(diǎn)到平面的距離為時(shí)，判斷點(diǎn)在弧的位置，并說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）點(diǎn)在弧的中點(diǎn)處，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直得到平面，再根據(jù)線面平行得到，從而證明出結(jié)論；（2）根據(jù)比例關(guān)系得到到平面的距離，設(shè)，可得到平面的距離，根據(jù)，列出方程，求出，得到點(diǎn)在弧的位置.【小問1詳解】∵平面平面，交線為，，平面，平面，∵，平面，平面，∴平面，∵平面與平面的交線為，平面，∴，平面.【小問2詳解】點(diǎn)在弧的中點(diǎn)處，理由如下：點(diǎn)在線段上，滿足，，又點(diǎn)到平面的距離為，到平面的距離為，設(shè)，可得，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，交線為，平面，所以⊥平面，設(shè)到平面的距離為，則，在中，可得，由，可得，，，解得，，故，點(diǎn)在弧的中點(diǎn)處.19.學(xué)生的學(xué)習(xí)除了在課堂上認(rèn)真聽講，還有一個(gè)重要環(huán)節(jié)就是課后的“自主學(xué)習(xí)”，包括預(yù)習(xí)，復(fù)習(xí)，歸納整理等等，現(xiàn)在人們普遍認(rèn)為課后花的時(shí)間越多越好，某研究機(jī)構(gòu)抽查了部分高中學(xué)生，對(duì)學(xué)生花在課后的學(xué)習(xí)時(shí)間（設(shè)為x分鐘）和他們的數(shù)學(xué)平均成績(jī)（設(shè)為y）做出了以下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)表格回答問題：x60708090100110120130y92109114120119121121122（1）請(qǐng)根據(jù)所給數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，并且從以下三個(gè)函數(shù)從①；②：③三個(gè)函數(shù)中選擇一個(gè)作為學(xué)習(xí)時(shí)間x和平均y的回歸類型，判斷哪個(gè)類型更加符合，不必說明理由；（2）根據(jù)（1）中選擇的回歸類型，求出y與x的回歸方程；（3）請(qǐng)根據(jù)此回歸方程，闡述你對(duì)學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)和成績(jī)之間關(guān)系的看法．參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為．參考數(shù)據(jù)：【答案】（1）散點(diǎn)圖見解析，最合適（2）（3）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)可得散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖可得函數(shù)模型；（2）由（1）中模型可得，設(shè)，，則，利用公式可求后者，從而得到前者；（3）根據(jù)回歸方程可得相應(yīng)的看法.【小問1詳解】散點(diǎn)圖如圖所示：由圖象可知最合適.【小問2詳解】對(duì)兩邊取以為底的對(duì)數(shù)可得，設(shè)，，則，，，，故即，.【小問3詳解】此回歸方程為關(guān)于時(shí)間的增函數(shù)，說明隨著學(xué)習(xí)時(shí)間的增加，學(xué)習(xí)成績(jī)是提高的，但是函數(shù)的增速先快后慢，說明如果原來成績(jī)較低，通過增加學(xué)習(xí)時(shí)間可以有效提高成績(jī)，但是當(dāng)成績(jī)提高到120分左右時(shí)，想要通過延長(zhǎng)學(xué)習(xí)時(shí)間來提高學(xué)習(xí)成績(jī)就比較困難了，需要想別的辦法.20.已知橢圓的離心率為是的左、右焦點(diǎn)，是的上頂點(diǎn)，且.（1）求橢圓的方程；（2）是橢圓的右頂點(diǎn)，斜率為的直線與交于兩點(diǎn)（與不重合）.設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由已知得點(diǎn)由結(jié)合從而可解；(2)設(shè)點(diǎn)直線的方程為利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟即可求解.【小問1詳解】由已知得點(diǎn)則，①又由有，，即②聯(lián)立①②解得故橢圓的方程為.【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)直線的方程為聯(lián)立整理得：則即由韋達(dá)定理得：(*)又點(diǎn)則故將代入整理得：將(*)代入得：因?yàn)樗?，即解得或因?yàn)榕c不重合，所以，故所以(**)所以將(**)代入得故【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.21.已知函數(shù).（1）若函數(shù)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的最大值；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）題目轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有交點(diǎn)，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，計(jì)算最值得到答案.（2）題目轉(zhuǎn)化為，設(shè)，求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，再設(shè)，確定函數(shù)大于零恒成立，得到的單調(diào)區(qū)間，計(jì)算最值得到答案.【小問1詳解】函數(shù)，，函數(shù)存在零點(diǎn)，則方程存在實(shí)數(shù)解，故函數(shù)與有交點(diǎn)，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.故時(shí)，函數(shù)取得極大值即最大值，，故，實(shí)數(shù)的最大值為.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立，即，令，，令，，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；故時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值，，故恒成立，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值即最大值，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中利用參數(shù)分離的思想，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解題的關(guān)鍵.請(qǐng)考生在第22、23題中