2022-2023學年福建省南平市武夷山第三中學高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析

2022-2023學年福建省南平市武夷山第三中學高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.將函數(shù)的圖像上所有的點向右平行移動個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖像的函數(shù)解析式是（

）A.B.C.D.參考答案：C略2.已知則

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D3.設函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱,它的周期是,則正確的是（

）A.的圖象過點

B.在上是減函數(shù)C.的一個對稱中心是D.將的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象.參考答案：C4.在四面體S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，則該四面體的外接球的表面積為（）A．11π B．7π C． D．參考答案：D考點：球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：求出BC，利用正弦定理可得△ABC外接圓的半徑，從而可求該三棱錐的外接球的半徑，即可求出三棱錐的外接球表面積．解答：解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，∴BC==，∴三角形ABC的外接圓半徑為r，2r=，r=，∵SA⊥平面ABC，SA=2，由于三角形OSA為等腰三角形，則有該三棱錐的外接球的半徑R═=，∴該三棱錐的外接球的表面積為S=4πR2=4π×（）2=．故選：D．點評：本題考查三棱錐的外接球表面積，考查直線和平面的位置關(guān)系，確定三棱錐的外接球的半徑是關(guān)鍵．5.在等差數(shù)列中，為其前n項和，若，則A.60

B.75

C.90

D.

105參考答案：B6.(09年石景山區(qū)統(tǒng)一測試)設，又記則

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A7.復數(shù)的共軛復數(shù)（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：A8.已知實數(shù)x，y滿足，若z＝kx＋y的最大值為3k＋9，最小值為3k－3，則實數(shù)k的取值范圍為

()A．－1≤k≤1

B．k≤－1C．k≥1

D．k≥1或k≥－1參考答案：A9.在區(qū)間和分別取一個數(shù),記為,則方程表示焦點在軸上且離心率小于的橢圓的概率為A．

B．

C．

D．參考答案：B10.在△ABC中，已知向量與滿足，且，則△ABC為 A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰非等邊三角形 D．三邊均不相等的三角形參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設函數(shù)f（x）的定義域為D，如果存在正實數(shù)k，使對任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，則稱函數(shù)f（x）為D上的“k型增函數(shù)”．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=|x﹣a|﹣2a，若f（x）為R上的“2011型增函數(shù)”，則實數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：【考點】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】由題意可以得到再由定義存在正實數(shù)k，使對任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，則稱函數(shù)f（x）為D上的“k型增函數(shù)”．對所給的問題分自變量全為正，全為負，一正一負三類討論，求出參數(shù)所滿足的共同范圍即可．【解答】解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=|x﹣a|﹣2a，∴又f（x）為R上的“2011型增函數(shù)”，當x＞0時，由定義有|x+2011﹣a|﹣2a＞|x﹣a|﹣2a，即|x+2011﹣a|＞|x﹣a|，其幾何意義為到點a小于到點a﹣2011的距離，由于x＞0故可知a+a﹣2011＜0得a＜當x＜0時，分兩類研究，若x+2011＜0，則有﹣|x+2011+a|+2a＞﹣|x+a|+2a，即|x+a|＞|x+2011+a|，其幾何意義表示到點﹣a的距離小于到點﹣a﹣2011的距離，由于x＜0，故可得﹣a﹣a﹣2011＞0，得a＜；若x+2011＞0，則有|x+2011﹣a|﹣2a＞﹣|x+a|+2a，即|x+a|+|x+2011﹣a|＞4a，其幾何意義表示到到點﹣a的距離與到點a﹣2011的距離的和大于4a，當a≤0時，顯然成立，當a＞0時，由于|x+a|+|x+2011+a|≥|﹣a﹣a+2011|=|2a﹣2011|，故有|2a﹣2011|＞4a，必有2011﹣2a＞4a，解得

綜上，對x∈R都成立的實數(shù)a的取值范圍是故答案為：．12.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)減區(qū)間，則m的一個值可以是_______；參考答案：（答案不唯一，只要）【分析】由題意可得在區(qū)間上恒成立，即可得答案；【詳解】，，在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上恒成立，取，顯然恒成立，故答案為：.【點睛】本題考查余弦二倍角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運算求解能力，求解時注意結(jié)合三角函數(shù)的圖象進行求解.13.已知數(shù)列{an}滿足a1=0，a2=1，，則{an}的前n項和Sn=

．參考答案：14.設x，y為實數(shù)，且滿足則x+y=

.參考答案：2解：原方程組即取f(t)=t3+1997t+1，f￠(t)=3t2+1987>0．故f(t)單調(diào)增，現(xiàn)x－1=1－y，x+y=2．15.（5分）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b，則△ABC的周長的取值范圍是．參考答案：（2，3]【考點】：余弦定理．【專題】：壓軸題；解三角形．【分析】：由余弦定理求得cosC，代入已知等式可得（b+c）2﹣1=3bc，利用基本不等式求得b+c≤2，故a+b+c≤3．再由三角形任意兩邊之和大于第三邊求得a+b+c＞2，由此求得△ABC的周長的取值范圍．解：△ABC中，由余弦定理可得2cosC=，∵a=1，2cosC+c=2b，∴+c=2b，化簡可得（b+c）2﹣1=3bc．∵bc≤，∴（b+c）2﹣1≤3×，解得b+c≤2（當且僅當b=c時，取等號）．故a+b+c≤3．再由任意兩邊之和大于第三邊可得b+c＞a=1，故有a+b+c＞2，故△ABC的周長的取值范圍是（2，3]，故答案為（2，3]．【點評】：本題主要考查余弦定理、基本不等式的應用，三角形任意兩邊之和大于第三邊，屬于中檔題．16.已知是奇函數(shù),且.若,則_______.參考答案：-117.某學校需要把6名同學安排到A，B，C三個興趣小組學習，每個興趣小組安排2名同學，已知甲不能安排到A組，乙和丙不能安排到同一小組，則安排方案的種數(shù)有

.參考答案：48三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在三棱錐P-ABC中，PB=PC，AB=AC．D，E分別是BC，PB的中點．（Ⅰ）求證：DE∥平面PAC；（Ⅱ）求證：平面ABC⊥平面PAD．

參考答案：（Ⅰ）證明：因為，分別是，的中點，所以．因為平面，平面，所以平面．

……2分（Ⅱ）證明：因為，，是的中點，所以，．因為，所以平面．因為平面，所以平面平面．……5分19.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，分別是AC，B1C1的中點．求證：（1）MN∥平面ABB1A1；（2）AN⊥A1B.參考答案：（1）證明：取AB的中點P，連結(jié)因為M,P分別是AB,AC的中點，所以且在直三棱柱中，，，又因為是的中點，所以且.

所以四邊形是平行四邊形，所以，

而平面，平面，所以平面.

（2）證明：因為三棱柱為直三棱柱，所以面，又因為面，所以面面，

又因為，所以，面面，，所以面，

又因為面，所以，即，連結(jié)，因為在平行四邊形中，，所以，又因為，且，面，所以面，而面，所以.

20.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角C；（2）若△ABC的面積為，求ab的最小值.參考答案：（1）（2）12試題分析：（1）利用余弦定理化簡，轉(zhuǎn)化求解角；（2）利用三角形的面積以及余弦定理結(jié)合基本不等式求解即可。解析：(1)

（2）

故的最小值為12.

21.已知函數(shù)f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[]上的最大值和最小值．參考答案：【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應用；三角函數(shù)的周期性及其求法；三角函數(shù)的最值．【分析】（1）利用正弦函數(shù)的兩角和與差的公式與輔助角公式將f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1化為f（x）=sin（2x+），即可求得函數(shù)f（x）的最小正周期；（2）可分析得到函數(shù)f（x）在區(qū)間[]上是增函數(shù)，在區(qū)間[，]上是減函數(shù)，從而可求得f（x）在區(qū)間[]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x?cos+cos2x?sin+sin2x?cos﹣cos2x?sin+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴函數(shù)f（x）的最小正周期T==π．（2）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[]上是增函數(shù)，在區(qū)間[，]上是減函數(shù)，又f（﹣）=﹣1，f（）=，f（）=1，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[]上的最大值為，最小值為﹣1．22.已知數(shù)列的前n項和為且