2022年湖北省鄂州市石橋中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

2022年湖北省鄂州市石橋中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)全集，集合，集合，則=（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A略2.已知函數(shù)，，若對(duì)于任一實(shí)數(shù)，與至少有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B略3.（6）已知圖象不間斷的函數(shù)是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，且在區(qū)間上存在零點(diǎn)．圖1是用二分法求方程近似解的程序框圖，判斷框內(nèi)可以填寫(xiě)的內(nèi)容有如下四個(gè)選擇：①；

②；③；

④其中能夠正確求出近似解的是（

）①、③

B．②、③

C．①、④

D．②、④參考答案：C略4.已知平面向量，，則（

）A．(－2,－1)

B．(－2,1)

C．(－1,0)

D．(－1,2)參考答案：D5.將函數(shù)的圖象沿x軸方向左平移個(gè)單位，平移后的圖象如右圖所示.則平移后的圖象所對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式是(

)A．

B．C．

D．參考答案：C略6.，方程有個(gè)實(shí)根，

則所有非零實(shí)根之積為

A．

B．

C．

D．參考答案：C7.某班一天上午有4節(jié)課，每節(jié)都需要安排一名教師去上課，現(xiàn)從A，B，C，D，E，F(xiàn)等6名教師中安排4人分別上一節(jié)課，第一節(jié)課只能從A、B兩人中安排一人，第四節(jié)課只能從A、C兩人中安排一人，則不同的安排方案共有（

）

A．24種

B．36種

C．48種

D．72種參考答案：B8.已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|kx﹣y≤2}，其中x，y∈R，若A?B，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(

)A．[0，] B．[﹣，0] C．[﹣，] D．[﹣，+∞）參考答案：C【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【分析】集合A和B均為點(diǎn)的集合，所以可以考慮用數(shù)形結(jié)合求解．【解答】解：集合A為單位圓上的點(diǎn)，集合B表示恒過(guò)（0，﹣2）點(diǎn)的直線(xiàn)一側(cè)的區(qū)域，若A?B，如下圖所示：當(dāng)直線(xiàn)kx﹣y﹣2=0與圓相切時(shí)，k=±，故k的范圍為故選C【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的關(guān)系問(wèn)題，注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．9.已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最小值為A.

B.

C. 2

D.4參考答案：D作出可行域，可知當(dāng)，時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取到最小值，最小值為.故選D.10.已知函數(shù)

則下列結(jié)論正確的是A．

B．C．函數(shù)在上單調(diào)遞增

D．函數(shù)的值域是參考答案：D【考點(diǎn)】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)分段函數(shù)，抽象函數(shù)與復(fù)合函數(shù)【試題解析】結(jié)合圖像知：f(x)是奇函數(shù)，且在上遞減，在上遞增，在上遞減，且值域?yàn)?。故A、C錯(cuò)；D對(duì)。

對(duì)B，存在x=0，使故B錯(cuò)；二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，定義若，，則的最小值為．參考答案：因?yàn)?，所以時(shí)，解得或。當(dāng)時(shí)，，即，所以，做出圖象，由圖象可知函數(shù)的最小值在A處，所以最小值為。12.已知sina+cosa=，則sin2a的值為_(kāi)______.參考答案：略13.當(dāng)x〉l時(shí)，的最小值為_(kāi)___.參考答案：略14.已知P,A,B,C是以O(shè)為球心的球面上的四個(gè)點(diǎn)，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=2，則球的表面積等于______________________。參考答案：答案：

15.

.參考答案：

2/3

16.對(duì)于大于或等于2的正整數(shù)m的n次方冪有如下分解方式：

根據(jù)上述分解規(guī)律．若m3（m∈N*）的分解中最小的數(shù)是91，則m的值為

。參考答案：17.i是虛數(shù)單位，計(jì)算等于

。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（14分）已知橢圓M：，直線(xiàn)y=kx（k≠0）與橢圓M交于A、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)與橢圓M交于C、D兩點(diǎn)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），直線(xiàn)PA和PB斜率乘積為．（1）求橢圓M離心率；（2）若弦AC的最小值為，求橢圓M的方程．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專(zhuān)題】圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）設(shè)A（x1，y1），由對(duì)稱(chēng)性得B（﹣x1，﹣y1）．將A（x1，y1）代入橢圓可得．利用斜率計(jì)算公式可得kPA?kPB=，再利用已知，a2=b2+c2及即可得出；（2）由（1）可得a2=2b2，于是橢圓方程可化為x2+2y2=a2，與直線(xiàn)AC的方程聯(lián)立可得A，C的坐標(biāo)，進(jìn)而得到|AC|2，再利用基本不等式即可得出．解：（1）設(shè)A（x1，y1），由對(duì)稱(chēng)性得B（﹣x1，﹣y1）．將A（x1，y1）代入橢圓得，∴．∴．又，∴，∴，∴．（2）橢圓方程可化為x2+2y2=a2，聯(lián)立解得，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OA|2=，同理可得|OC|2=．∴|AC|2=+==．當(dāng)且僅當(dāng)k2=1即k=±1時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，∴a2=2．∴橢圓方程為

．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立，兩點(diǎn)間的距離公式、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．19.設(shè)函數(shù)，k∈R（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)k＞0時(shí)，若f（x）存在零點(diǎn)，則f（x）在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn)．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專(zhuān)題】綜合題；分類(lèi)討論；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】（1）由解析式求出定義域和f′（x），化簡(jiǎn)后對(duì)k進(jìn)行分類(lèi)討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分別求出函數(shù)的增區(qū)間、減區(qū)間；（2）由（1）求函數(shù)的最小值，由條件列出不等式求出k的范圍，對(duì)k進(jìn)行分類(lèi)討論，并分別判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，求出f（1）和f（）、判斷出符號(hào)，即可證明結(jié)論．【解答】解：（1）由得，函數(shù)的定義域是（0，+∞），=；①當(dāng)k≤0時(shí)，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，此時(shí)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；②當(dāng)k＞0時(shí)，由f′（x）=0得x=或x=﹣（舍去），當(dāng)時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)時(shí)，令f′（x）＜0，所以f（x）的遞減區(qū)間是（0，），遞增區(qū)間是（）；…證明：（2）由（1）知，當(dāng)k＞0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上的最小值為f（）==．因?yàn)閒（x）存在零點(diǎn)，所以，解得k≥e．當(dāng)k=e時(shí)，f（x）在（1，）上遞減，且f（）=0，所以x=是f（x）在（1，]上的唯一零點(diǎn)．當(dāng)k＞e時(shí)，f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，且f（1）=0，f（）=＜0，所以f（x）在區(qū)間（1，]上僅有一個(gè)零點(diǎn)．綜上可知，若f（x）存在零點(diǎn)，則f（x）在（1，]上僅有一個(gè)零點(diǎn)…【點(diǎn)評(píng)】本題考查求導(dǎo)公式、法則，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及函數(shù)零點(diǎn)的轉(zhuǎn)化，考查分類(lèi)討論思想，化簡(jiǎn)、變形能力，屬于中檔題．20.（12分）如圖，P—ABC中，D是AC的中點(diǎn)，PA=PB=PC=

（1）求證：PD⊥平面ABC；

（2）求二面角P—AB—C的大小；

（3）求AB的中點(diǎn)E到平面PBC的距離.

參考答案：解析：方法一：（1）證明：連結(jié)BD，∵D分別是AC的中點(diǎn)，PA=PC=∴PD⊥AC，∵AC=2，AB=，BC=∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，即AB⊥BC.…………2分∴BD=，∵PD2=PA2—AD2=3，PB∴PD2+BD2=PB2，∴PD⊥BD，∵ACBD=D∴PD⊥平面ABC.…………4分（2）解：取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE、PE，由E為AB的中點(diǎn)知DE//BC，∵AB⊥BC，∴AB⊥DE，∵DE是直線(xiàn)PE的底面ABC上的射景∴PE⊥AB∴∠PED是二面角P—AB—C的平面角，……6分在△PED中，DE=∠=90°，∴tan∠PDE=∴二面角P—AB—C的大小是（3）解：設(shè)點(diǎn)E到平面PBC的距離為h.∵VP—EBC=VE—PBC，∴……10分在△PBC中，PB=PC=，BC=而PD=∴∴點(diǎn)E到平面PBC的距離為……12分方法二：（1）同方法一：（2）解：解：取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE、PE，過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線(xiàn)交BC于點(diǎn)F，以D為原點(diǎn)，DE為x軸，DF為y軸，DP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則D（0，0，0），P（0，0，），E（），B=（）設(shè)上平面PAB的一個(gè)法向量，則由這時(shí)，……6分顯然，是平面ABC的一個(gè)法向量.∴∴二面角P—AB—C的大小是……8分（3）解：設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量，由得令是平面PBC的一個(gè)法向量……10分又∴點(diǎn)E到平面PBC的距離為………………12分21.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，，，點(diǎn)O，M分別為AD，PC的中點(diǎn)，.（Ⅰ）求證：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直線(xiàn)PA與平面OBM所成角的正弦值.參考答案：（Ⅰ）證明：因?yàn)榈酌鏋榱庑?，，所以是正三角?因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)?，，所?又因?yàn)椋允钦切?因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.所以是平面與平面所成的平面角.因?yàn)?，所以平面與平面所成的平面角為.即平面平面.（Ⅱ）解：分別以，，為，，軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：不妨設(shè)，則點(diǎn)，，，，，.則，，.設(shè)平面的法向量為，則由得得令，得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角的大小為，則.故直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.22.為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線(xiàn)的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每隔30min從該生產(chǎn)線(xiàn)上隨機(jī)抽取一個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）.下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的16個(gè)零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.049.95

經(jīng)計(jì)算得，，，，，其中為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，抽取次序，樣本的相關(guān)系數(shù).（1）求的相關(guān)系數(shù)r，并回答是否可以認(rèn)為這一年生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過(guò)程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小，（若，則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過(guò)程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小）；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.①?gòu)倪@一天抽檢的結(jié)果看，是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？②在之外的數(shù)據(jù)成為離群值，試剔除離群值，估計(jì)這條生產(chǎn)線(xiàn)當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)差（精確到0.01）.參考答案：（1）認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過(guò)程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小；（2）①需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查；②0.09.【分析】（1）代入數(shù)據(jù)計(jì)算，比較|r|與0.25的大小作出結(jié)論；（2）（i）計(jì)算合格零件尺寸范圍，得出結(jié)論；（ii）代入公式計(jì)算即可．【詳解】(1)因?yàn)?，2，3，…，16的平均數(shù)為8.5，所以樣本(xi，i)(i＝1，2，…，16)的相關(guān)系數(shù)r