2021屆高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)訓(xùn)練：立體幾何

2018-2020年高考全國卷數(shù)學(xué)之立體幾何專題訓(xùn)練

一.選擇題（共13小題）

1.（2018?新課標(biāo)I）某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖.圓柱表面上的點M

在正視圖上的對應(yīng)點為A,圓柱表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為B,則在此圓柱側(cè)

面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為（）

A.2^/17B.2代C.3D.2

2.（2018?新課標(biāo)HD設(shè)A,B,C,。是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊

三角形且面積為”后，則三棱錐。-ABC體積的最大值為（）

A.125/3B.1873C.24我D.54a

3.（2020?新課標(biāo)1）已知A,B,C為球。的球面上的三個點，。01為△ABC的外接圓.若

。01的面積為4n,AB=BC=AC=OO\,則球。的表面積為（）

A.64nB.48nC.36nD.32n

4.（2020?新課標(biāo)I）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四

棱錐.以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其

側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）

AV5-1R娓T煙+1D遍+1

A.---------o.---------cJ---------U,---------

4242

5.（2020?新課標(biāo)H）如圖是一個多面體的三視圖，這個多面體某條棱的一個端點在正視圖

中對應(yīng)的點為M,在俯視圖中對應(yīng)的點為N,則該端點在側(cè)視圖中對應(yīng)的點為（）

A.EB.FC.GD.H

6.（2020?新課標(biāo)HI）如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）

A.6+4&B.4+472C.6+273D.4+2^3

7.（2020?新課標(biāo)U）已知aABC是面積為2返的等邊三角形，且其頂點都在球。的球面

4

上.若球。的表面積為16m則0到平面ABC的距離為（）

A.5/3B.旦C.1D.返

22

8.（2019?新課標(biāo)I）已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球。的球面上，PA=PB=PC,△

ABC是邊長為2的正三角形，E,F分別是出，AB的中點，NCEF=90°,則球。的體

積為（）

A.B.C.D.

9.（2019?新課標(biāo)III）如圖，點N為正方形ABC。的中心，△EC。為正三角形，平面ECD

_L平面A8C￡>,M是線段ED的中點，則（）

A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線

B.BMWEN,且直線BM,EN是相交直線

C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線

D.BM￥EN,且直線BM,EN是異面直線

10.（2019?全國）正三棱錐P-ABC的側(cè)面都是直角三角形，E,尸分別是4B,BC的中點,

則PB與平面PEF所成角的正弦為（）

A.返B.四C.返D.后

6633

11.（2019?全國）經(jīng)過點（1,-1,3）且與平面2x+y-z+4=0平行的平面方程為（）

A.2x+y-z+2=0B.2x+y+z-6=0C.2x+y+z-4=0D.2x+y-z-3=0

12.（2018?新課標(biāo)n）在正方體A8CO-4BC1O1中，E為棱CC1的中點，則異面直線AE

與C。所成角的正切值為（）

A.返B.返C.在D.近

2222

13.（2018?新課標(biāo)I）已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面a所成的角都相等，

則a截此正方體所得截面面積的最大值為（）

A.^1.B.c.D.返

4342

二.填空題（共1（）小題）

14.（2018?全國）已知三棱錐O-A8C的體積為1,Ai、Bi、。分別為04、OB、0c的中

點，則三棱錐0-A1B1C1的體積為.

15.（2018?全國）長方體A8CD-AiBiCiOi,AB=AD=4,A4i=8,E、F、G為AB、481、

的中點，〃為4。上一點，則4H=1,求異面直線FH與EG所成角的余弦值.

16.（2020?新課標(biāo)I）如圖，在三棱錐P-A8C的平面展開圖中，AC=1,AB=AO=匾，

ABLAC,ABLAD,NCAE=30°,則cosN尸CB=.

以P)

17.（2020?新課標(biāo)I）設(shè)向量a=（1,-1）,b=（〃?+1,2m-4）,若a±b，貝!Im=.

18.（2020?新課標(biāo)HI）已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的

體積為.

19.（2019?新課標(biāo)I）已知/4C8=90°,P為平面ABC外一點，PC=2,點P到NACB

兩邊AC,8c的距離均為百，那么P到平面A8C的距離為.

20.（2019?新課標(biāo)H）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多

為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖

1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)

的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面

上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有個面，其棱長為.

圖1圖2

21.（2019?新課標(biāo)HI）學(xué)生到工廠勞動實踐，利用3。打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為

長方體ABCC-4B1C1OI挖去四棱錐。-EFGH后所得的幾何體，其中。為長方體的中

心，E,F,G,H分別為所在棱的中點，AB=BC=6cm,A4=4cw.3O打印所用原料密

度為0.9g/"A不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.

22.（2019?全國）已知平面a截球。的球面所得圓的面積為m。到a的距離為3,則球。

的表面積為.

23.（2018?新課標(biāo)H）已知圓錐的頂點為S,母線S4,S3互相垂直，SA與圓錐底面所成角

為30°.若aSAB的面積為8,則該圓錐的體積為.

三.解答題（共17小題）

24.（2018?新課標(biāo)I）如圖，在平行四邊形中，AB=AC=3,乙4cM=90°,以4c

為折痕將aACM折起，使點M到達點。的位置，且

(1)證明：平面AC。_L平面ABC；

(2)。為線段A。上一點，P為線段BC上一點，S.BP=DQ=^DA,求三棱錐0-ABP

的體積.

25.(2020?新課標(biāo)I)如圖，。為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE

=AD.△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為。。上一點，20=逅。。.

6

(1)證明：%JL平面PBC；

(2)求二面角8-PC-E的余弦值.

26.(2020?新課標(biāo)I)如圖，。為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，△A8C是底面的內(nèi)

接正三角形，P為。。上一點，NAPC=90°.

(1)證明：平面以BJ_平面以C；

(2)設(shè)。。="力，圓錐的側(cè)面積為百n,求三棱錐P-ABC的體積.

D

27.(2020?新課標(biāo)H)如圖，已知三棱柱ABC-A\B\C\的底面是正三角形，側(cè)面BBCC

是矩形，M,N分別為BC,BiCi的中點，P為AM上一點.過81。和P的平面交AB于

E,交AC于尸.

(1)證明：AA\//MN,且平面4AMV_L平面EBiCiF；

(2)設(shè)。為△481。的中心.若A?！ㄆ矫鍱BC1凡且AO=A8,求直線BE與平面

A1AMN所成角的正弦值.

28.(2020?新課標(biāo)HI)如圖，在長方體48C￡>-AIBICIDI中，點E,尸分別在棱力Di,BB\

上，且2DE=EDi,BF=2FBi.

(1)證明：點C1在平面AEF內(nèi)；

(2)若AB=2,AD=1,AAi=3,求二面角A-EF-4的正弦值.

cB

29.(2020?新課標(biāo)HI)如圖，在長方體ABC。-4BiCi￡>i中，點E,尸分別在棱。￡>i,BBi

上，iL2DE=ED\,BF=2FB\.證明:

(1)當(dāng)48=BC時，EF1AC；

(2)點Ci在平面AEF內(nèi).

30.(2020?新課標(biāo)H)如圖，已知三棱柱ABC-AyB\C\的底面是正三角形，側(cè)面BB\C\C

是矩形，M,N分別為BC,BiCi的中點，P為AM上一點.過BiCi和尸的平面交AB于

E,交AC于F.

(1)證明：AA\//MN,且平面4AMM1平面EBICIF；

(2)設(shè)。為△A1B1C1的中心.若AO=AB=6,AO〃平面EB1C1F,且NMPN='-,求

3

四棱錐B-EB1C1F的體積.

31.(2019?新課標(biāo)I)如圖，直四棱柱A8CD-A181clz)1的底面是菱形，441=4,AB=2,

ZBAD=60°,E,M,N分別是8C,BB\,4。的中點.

(1)證明：MN〃平面C\DE；

(2)求點C到平面CiQE的距離.

32.(2019?新課標(biāo)I)如圖，直四棱柱A8CO-481cl￡>1的底面是菱形，441=4,AB=2,

NBAO=60°,E,M,N分別是8C,BB\,4。的中點.

(1)證明：MN〃平面CiDE；

(2)求二面角A-MA\-N的正弦值.

33.(2019?新課標(biāo)II)如圖，長方體ABCD-4B1C1A的底面ABC。是正方形，點E在棱

AA\±,BELEC\.

(1)證明：BE_L平面EBiCi；

(2)若求二面角8-EC-Ci的正弦值.

34.(2019?新課標(biāo)H)如圖，長方體A8CO-481。。的底面A8C。是正方形，點E在棱

A4上，BELEC\.

(1)證明：SELL平面EB1C1；

(2)若AE=AiE,AB=3,求四棱錐E-8B1C1C的體積.

35.(2019?新課標(biāo)HI)圖1是由矩形AOEB、RtzMBC和菱形2FGC組成的一個平面圖形，

其中AB=1,BE=BF=2,ZFBC=60°.將其沿AB,BC折起使得BE與8F重合，連

結(jié)QG,如圖2.

圖1圖2

(1)證明：圖2中的A,C,G,。四點共面，且平面ABC,平面BCGE；

(2)求圖2中的二面角8-CG-A的大小.

36.(2019?新課標(biāo)III)圖1是由矩形4DEB,RtA4BC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，

其中AB=1,BE=BF=2,NFBC=60；將其沿AB,8c折起使得BE與BF重合，連

結(jié)。G,如圖2.

GB

圖1圖2

(1)證明：圖2中的A,C,G,。四點共面，且平面ABC_L平面BCGE；

(2)求圖2中的四邊形ACG。的面積.

37.(2018?新課標(biāo)II)如圖，在三棱錐P-A8C中，AB=BC=2顯,PA=PB=PC=AC=4,

。為AC的中點.

(1)證明：PO_L平面ABC；

(2)若點例在棱BC上，且MC=2MB,求點C到平面尸。例的距離.

38.(2018?新課標(biāo)III)如圖，矩形ABC。所在平面與半圓弧而所在平面垂直，M是面上異

于C,。的點.

(1)證明：平面AMD_L平面8MC；

(2)在線段AM上是否存在點P,使得〃平面尸8。？說明理由.

39.(2018?新課標(biāo)I)如圖，四邊形ABCD為正方形，E,F分別為AD,BC的中點，以

QF為折痕把折起，使點C到達點尸的位置，且PFLBF.

(1)證明：平面PEF_L平面A8FQ；

(2)求。P與平面A5FD所成角的正弦值.

40.（2018?新課標(biāo)H）如圖，在三棱錐P-A8C中，AB=BC=2?PA=PB=PC=AC=4,

。為AC的中點.

(1)證明：PO_L平面ABC；

(2)若點M在棱BC上，且二面角M-附-C為30°,求PC與平面以M所成角的正

弦值.

O,

C

B

答案

一.選擇題（共13小題）

1.【解答】解：由題意可知幾何體是圓柱，底面周長16,高為：2,

直觀圖以及側(cè)面展開圖如圖:

圓柱表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為B,則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中,

最短路徑的長度：^22+42=275.

故選：B.

2.【解答】解：ZsABC為等邊三角形且面積為9?,可得亨XAB2=9V^，解得AB=6,

球心為0,三角形A8C的外心為0',顯然。在0'0的延長線與球的交點如圖：

°,C=￡x除X6=2。00'=爪2_（2百）2=2,

04

則三棱錐D-ABC高的最大值為：6,

3=

則三棱錐。-A8C體積的最大值為：1X^-X618V3.

3.【解答】解：由題意可知圖形如圖：。01的面積為4n,可得0M=2,則

■1-A0i=ABsin6(r,yAOj

：.AB=BC=AC=OOi^243,

外接球的半徑為：R=JA0]2+00]2=4,

球。的表面積：4XnX42=64n.

故選：A.

4.【解答】解：設(shè)正四棱錐的高為兒底面邊長為“，側(cè)面三角形底邊上的高為〃'，

h2=>^-ah/

則依題意有：，

,2,/2、2

h=h-(,ya)

因此有“2_(旦)2=L“=?4(1^)2-2(~^)-1=()=>2^=遍>1(負(fù)值-巡+1

22aaa44

舍去)；

故選：C.

5?【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖:

如圖所示:

根據(jù)三視圖和幾何體的的對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用，這個多面體某條棱的一個端點在正視圖中對

應(yīng)的點為例，在俯視圖中對應(yīng)的點為N,

所以在側(cè)視圖中與點E對應(yīng).

故選：A.

6.【解答】解：由三視圖可知，幾何體的直觀圖是正方體的一個角，如圖:

PA=AB=AC^2,PA,AB.AC兩兩垂直，

故PB=BC=PC=242,

幾何體的表面積為：3x2.x2X2X(2>/2)2=6+2^3>

故選：C.

7.【解答】解：由題意可知圖形如圖：△48C是面積為2返的等邊三角形，可得

4

：.AB=BC=AC=3,

可得：AO|=2x3=百，

32

球。的表面積為16n,

外接球的半徑為：R;所以4TTR2=16TT,解得R=2,

所以。到平面ABC的距離為：yj4—3~1?

由公=PB=PC,AABC是邊長為2的正三角形，可知三棱錐P-A8C為正三棱錐,

則頂點尸在底面的射影01為底面三角形的中心，連接BOi并延長，交AC于G,

則AC_L8G,又P0i_LAC,P0\C\BG=0\,可得AC_L平面PBG,則PB_LAC,

■:E,尸分別是B4,AB的中點，：,EF//PB,

又NCEF=90°,EPEFLCE,：.PBLCE,得PBJ_平面P4C,

.?.正三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直,

把三棱錐補形為正方體，則正方體外接球即為三棱錐的外接球,

其直徑為D=y/pf,2+PB2+PC2=^(PA2+PB2+PB2+PC2+PA2+PC2)

(AB2+BC2+AC2)=^1(22+22+22)^^-

半徑為逅，則球。的體積為生兀x<)3=V6K.

232

故選：D.

9.【解答】解：?.?點N為正方形ABC。的中心，為正三角形，平面EC。，平面ABCQ,

M是線段瓦>的中點，

:.BMu平面BDE,ENu平面BOE,

是△〃￡)￡■中。E邊上的中線，EN是△BOE中80邊上的中線，

直線8M,EN是相交直線，

設(shè)。E=m則80=企a,BE=艮/總@2=如&,

:.BM中EN,

故選：B.

10.【解答】解：,??正三棱錐人45。的側(cè)面都是直角三角形，E,尸分別是A3,3c的中點,

p

...以P為原點，方為x軸，PB為y軸，PC為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)物=P8=PC=2,

則A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),E(1,1,0),F(0,1,1),

而=(0,2,0),正=(1,1,0),屈=(0,1,1),

設(shè)平面PEF的法向量］=(x,y,z),

n，,.n,PE=x+y=0汨__,.，八

則?一?,取X—1,1rj-n—(1,-1?1),

n，Pf=y+Z=0

設(shè)PB與平面PEF所成角為0,

則sing旦B-nJ=_^=運.

|PB|-|n|2^33

:.PB與平面PE尸所成角的正弦值為返.

3

故選：C.

11.【解答】解：設(shè)與平面2r+y-z+4=0平行的平面方程為2x+y-z+A=0,

代入點(1,-1,3),得2X1-1-3+:=0,解得左=2,

則所求的平面方程為2x+y-z+2=0.

故選:A.

12.【解答］解以。為原點，ZM為x軸，QC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)正方體ABCO-AiBCiP棱長為2,

則A(2,0,0),E(0,2,1),D(0,0,0),

C(0,2,0),

AE=(-2,2,1),CD=(0，-2,0),

設(shè)異面直線AE與CD所成角為0,

則COS0=42

lAEl-ICDl檸23,

sin0=返

3’

.,.tane=^^>

2

異面直線AE與CD所成角的正切值為近?.

2

故選：C.

13.【解答】解：正方體的所有棱中，實際上是3組平行的棱，每條棱所在直線與平面a所

成的角都相等，如圖：所示的正六邊形平行的平面，并且正六邊形時，a截此正方體所

得截面面積的最大，

此時正六邊形的邊長返,

2

a截此正方體所得截面最大值為：6X務(wù)（多2二攀

二.填空題（共10小題）

14?【解答】解：如圖，

VABBI、Ci分別為04、OB、0C的中點,

???△4BQSOBC,則s.艮3小△ABC'

過0作。G,平面ABC,交平面481。于Gi,則0G［卷0G.

’V三棱錐O_A：B&卓△A：B：C：'OGiqxls△必c?0G

=工1

百％-ABC工

15.【解答】解：?.,長方體ABC。-A向CiOi,AB=AD=4,A4i=8,

E、F、G為AB、AiB\.。。的中點,

H為AiDi上一點,則AiH=l,

以力為原點，D4為x軸，OC為)，軸，。。為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

F(4,2,8),H(3,0,8),E(4,2,0),

G(0,0,4),

FH=(-1.-2,0),EG=(-4,-2,4),

設(shè)異面直線FH與EG所成角為0,

則cos0=型.咆=*_

|FH|?|EG|V5WV3615

故答案為：2匹.

15

16.【解答]解：由已知得8。=揚8=遍，BC=2,

因為力、E、尸三點重合，所以AE=AO=次，BF=BD=y[2AB=\[^,

則在△ACE中，由余弦定理可得CE2=AC2+AE2-2ACME-cosZCAE=1+3-返

2

=1,

所以CE=CF=\,

222

則在△BCF中，由余弦定理得COS/FCB=BC-F二BF_=1+4->=.A

2BC-CF2X1X24

故答案為：

4

17.【解答】解：向量@=(1,-1),b=(加+1,2m-4),若a_Lb，

—?—*

貝Ia,b—w+1-(2/M-4)=-機+5=0，

則m=5,

故答案為：5.

18.【解答］解：因為圓錐內(nèi)半徑最大的球應(yīng)該為該圓錐的內(nèi)切球，

如圖，圓錐母線BS=3,底面半徑BC=1,

則其圖SC=qB$2_BC2=2"V"^’

不妨設(shè)該內(nèi)切球與母線8s切于點。，

令。。=OC=r,由△SO￡>S/\SBC,則毀=幽，

OSBS

即一——=—,解得廠=返-,

2加-r32

-rrr3=^-n,

33

故答案為：返n.

3

s

19.【解答】解：ZACB=90°,P為平面ABC外一點，PC=2,

點P到/ACB兩邊AC,BC的距離均為我，

過點尸作ED_LAC,交AC于￡>,作PELBC,交BC于E,

過尸作PO_L平面ABC,交平面ABC于。，

連結(jié)OD,0C,則PD=PE=M，

**?由題意得CD=CE=0D=0E={22_2=1,

_0D2=J3_]=V^.

到平面ABC的距離為企.

故答案為：V2.

20.【解答】解：該半正多面體共有8+8+8+2=26個面，設(shè)其棱長為x,則"返x+返x=l,

22

解得x=&-1.

故答案為：26,V2-1.

21?【解答】解：該模型為長方體ABCO-4BICIOI,挖去四棱錐。-EFGH后所得的幾何

體，其中。為長方體的中心，

E,F,G,H,分別為所在棱的中點，AB=BC=6cm,AAI=4CTC,

???該模型體積為：

%CD-A[B：CiD：一VO-EFGH

=6X6X4-^-x(4X6-4XyX3X2)X3

=144-12=132(.cm5),

V3D打印所用原料密度為0.9^/c/n3,不考慮打印損耗，

.,.制作該模型所需原料的質(zhì)量為：132X0.9=118.8(g).

故答案為：118.8.

G

22?【解答】解：?.?平面a截球。的球面所得圓的面積為n,則圓的半徑為1,

該平面與球心的距離d=3,

.,.球半徑l2+32=V10-

二球的表面積S=4H/?2=40TT.

故答案為：40n.

23.【解答】解：圓錐的頂點為S,母線SA,SB互相垂直，△SAB的面積為8,可得:/SA2=8,

解得SA=4,

S4與圓錐底面所成角為30°.可得圓錐的底面半徑為：2次，圓錐的高為：2,

則該圓錐的體積為：V=—XnX（2V3）2X2=8n.

3

故答案為：8n.

三.解答題（共17小題）

24.【解答】解：（1）證明：:?在平行四邊形ABCM中，NACM=90°,J.ABVAC,

51.ABIDA.且AQCAC=A,

AB_L面ADC,'：ABu面ABC,

二平面ACQ_L平面ABC；

(2)\"AB=AC=3,ZACM=90°,

:.BP=DQ=2DA=2瓜

3

由（1）wDCLAB,又Z）C_LCA,ADCl?ABC,

二三棱錐-ABP的體積

QV-1SAABPX^-DC

oo

=1x9x11911

ffSAABCfDC=|X|XAX3X3X1X3=1.

25.【解答】解：（1）不妨設(shè)圓O的半徑為1,0A=08=0C=l,AE=AO=2,AB=BC=ACW^,

DO=VDA2-OA2=V3,P0=^D0=^，

PA=PB=PC=VPO2+AO2=第，

在△布c中，PA1+PC2=AC1,故勿_LPC,

同理可得以1_尸8,又PBCPC=P

故也_L平面PBC；

（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則有B（空，,，o）,c（乎，0）,P（0,0,善），E（0,1,0）,

乙乙乙乙乙

故BC=（~V§‘0,°）,CE=（雪■，4->0），CP=*

乙乙乙乙乙

設(shè)平面PCE的法向量為二=6,y,z），

n*CE=0

則由.取x=l,則丫=-?,z=-V6,

n-CP=0

所以平面PCE的法向量為］=（1,-Jj,一證）,

1，冬,

由（1）可知以，平面尸8C,不妨取平面尸2C的法向量為三=（0,

故COS9=_^L2區(qū)，即二面角B-PC-E的余弦值為2匹.

|PA||n|55

26.【解答】解：(1)連接。A,OB,OC,ZVIBC是底面的內(nèi)接正三角形,

所以AB=BC=AC.

。是圓錐底面的圓心，所以：OA=OB=OC,

所以AP=BP=CP=O/^+OP1=OB2+OP2=O^+OP2,

所以PBg△BP8△APC,

由于NAPC=90°,

所以NAPB=N8PC=90°,

所以AP_LBP,CPLBP,

由于APCCP=P,

所以BP_L平面APC,

由于BPu平面PAB,

所以：平面用BJ_平面網(wǎng)C.

(2)設(shè)圓錐的底面半徑為r,圓錐的母線長為/,

所以］=V2+r^

由于圓錐的側(cè)面積為技,

所以兀?Jz+r2二禽冗，整理得（，+3）（r2-1）=0,

解得r=l.

所以AB=Ji+12X1X1X(*=

由于4尸+8戶=482,解得

則：Vp-ABC^X/X

27.【解答】解：（1）證明：N分別為BC,B1G的中點，底面為正三角形,

:.BiN=BM,四邊形881MW為矩形，A\NLB\C\,

：.BB\//MN,'：AA\//BB\,：.AA\//MN,

'：MN^B\C\,4N_LBiCl,MNCAiN=N,

平面AiAMM

?.?BiCju平面EB\C\F,

二平面AiAMN，平面EB\C\F,

綜上，AA\//MN,且平面AiAMN_L平面EBiCiF.

(2)解：..?三棱柱上下底面平行，平面EB1C1F與上下底面分別交于BiCi,EF,

：.EF//B\C\//BC,

'：A0//^EB\C\F,AOu面AMNAi,面AMW41n面EB1C1F=PN,

J.AO//PN,四邊形APNO為平行四邊形，

是正三角形的中心，AO=AB,

:.AiN=3ON,AM=3AP,PN=BC=BiC\=3EF,

由(1)知直線BE在平面44MN內(nèi)的投影為PN,

直線與平面A1A用N所成角即為等腰梯形EFC\B\中81E與PN所成角,

在等腰梯形EFC181中，令EF=1,過E作EMLBiCi于，，

,

則PN=BiCi=EH=3,B1E=V10

B1H775

sin/8iEH=」一=衛(wèi)1,

B[E10

直線BiE與平面AMMN所成角的正弦值為逗.

10

28.【解答】（1）證明：在441上取點M,使得4M=2AM,連接EM,BiM,EC\,FC\,

在長方體ABCQ-AiBiCiQi中，有。Ci〃A4i〃BBi,且。Di=AAi=BBi.

又2DE=EDi,4M=2AM,BF=2FBi,：.DE=AM=FB\.

四邊形BiRM和四邊形EDAM都是平行四邊形.

：.AF//MB\,S.AF=MBi,AD//ME,S.AD^ME.

又在長方體ABC。-A181C1。中，有A￡)〃BICI,且AQ=BiCi,

.?.310〃〃￡：且81。=M￡：,則四邊形81CEM為平行四邊形，

：.EC\//MB\,且ECl=MBi,

又AF〃MBi,S.AF=MB\,：.AF//EC\,且AF=ECi,

則四邊形4尸ClE為平行四邊形,

...點C1在平面AEF內(nèi);

(2)解：在長方體ABCQ-41BC1O1中，以Ci為坐標(biāo)原點,

分別以CIQI,C\B\,CiC所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

；A8=2,AD=\,A4i=3,2DE=EDi,BF=2FBi,

：.A(2,1,3),E(2,0,2),F(0,1,1),A\(2,1,0),

則而=(-2,1,-1)，AE=(O,-1,-1)，A[E=(0,-1,2)-

設(shè)平面AEF的一個法向量為q=(xi，Y1，zi>

ni*EF=-2xi+y.-z<=0

則_._，取用=1，得3=(1,1,-1)；

rij*AE=-yj-zj=0

設(shè)平面4EF的一個法向量為正=但2,y2，z2)-

'??

n2-EF=-2x2+y2-z2=0

則一一.，取r=l,得n/(1,4,2)?

+=

n2*A1E=-y22z20

nl，n21+4-2V7

，cos〈m，E>=

I、|-忘|V3*V217

設(shè)二面角A-EF-A1為0,則sin?=

二面角A-EF-AA的正弦值為返

7

29.【解答】解：(1)因為ABCD-AiBiCi。是長方體，所以BBi_L平面ABCQ,而ACu平

?ABCD,所以AC_LB8i,

因為ABCO-AIBICIOI是長方體，且A8=BC,所以ABC。是正方形，所以4CJ_BD,

所以AC,平面881囪力，又因為點E,尸分別在棱￡＞。1,881上，所以￡7七平面BBIDID,

所以EFLAC.

(2)取A4i上靠近4的三等分點M,連接DM,C\F,MF,C\E.

因為點E在力Oi,S.2DE=ED\,所以且EDi=AM,

所以四邊形AECiM為平行四邊形，所以O(shè)iM〃AE,且。1M=AE,

又因為產(chǎn)在881上，且BF=2F8i,所以4M〃尸81,且AiM=F8i,

所以FM為平行四邊形,

所以1rM〃A181,FM=A\B\,B|JFM//C\D\,FM=C\D\,

所以CiDiMF為平行四邊形，

所以D\M//C\F,

所以AE〃C1F,所以A,E,F,。四點共面.

所以點Cl在平面AEF內(nèi).

30.【解答】證明：（1）由題意知A4i〃BBi〃CCi,

又；側(cè)面881cle是矩形且M,N分別為BC,BiCi的中點,

：.MN〃BBi,BBi±BC,

：.MN//AA\,MNLBiCi,又底面是正三角形，

：.AM±BC,AiN±BiCi,

又.?.81。_1_平面4力削，

：BiCiu平面EB\C\F,

平面AiAMN_L平面EBiCiF；

解：（2）；A?！ㄆ矫鍱BiCiF,AOu平面AMMM

平面AiAMNC平面EB\C\F=NP,：.AO//NP,

'：NO//AP,：.A0=NP=6,

：0為△A1B1C1的中心,

；.ON=LiCisin60°=Lx6X

33

0N=AP=M，

，4M=3AP=3我,

過何作例，J_NP,垂足為H,

?平面4AMN_L平面E31C1F,平面AiAMNCl平面MHu平面AiAMM

平面EB\C\F,

?.?在等邊三角形中里=2巳，

BCAM

B|JE尸=^^=^1=2,

AM373

由（1）可知四邊形EBCi尸為梯形,

四邊形EBiCi尸的面積為S四邊肥EBCF=L(BC1+E尸)?NP=L(6+2)X6=24,

1122

?.?MP=2.AM=2x3次=2次,

NMPN=j：.MH=MPsinNMPN=273乂喙=3,

=JLX24X3=24.

3

31?【解答】解法一：

證明：（1）連結(jié)8C,ME,,:M,E分別是BBi,BC的中點，

：.ME//B\C,又N為Ai。的中點，：.ND=^-A\D,

2

由題設(shè)知AiBiJ/CC,:.BiC口AiD,:.ME]]ND,

...四邊形MNDE是平行四邊形，

MN//ED,

又MNU平面C\DE,〃平面CiDE.

解：（2）過C作C1E的垂線，垂足為H,

由已知可得OE_LBC,DELC\C,

.?.DE_L平面C1CE,故OEJLCH,

；.C，J?平面CiDE,故CH的長即為C到平面C1DE的距離，

由已知可得CE=1,CCi=4,

.*.Ci￡=-/17>故。/7=生叵，

17

點C到平面CiDE的距離為M2.

17

解法二：

證明：（1）?.?直四棱柱48cQ-4B1C1P的底面是菱形，

44=4,AB=2,ZBAD=60°,E,M,N分別是8C,BBi,40的中點.

平面ABCD,DELAD,

以。為原點，D4為x軸，OE為），軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

M（1,2）,N（1,0,2）,D（0,0,0）,E（0,炳,0）,C\（-1,眄,4）,

誦=（0,-73.0）,西=（-1,a，4）,DE=（0,V3?0）,

設(shè)平面C1OE的法向量3=（x,y,z）,

叫_n_?DC1<=-x+V3y+4z=0，

n-DE=V3y=0

取z=l,得11=（4,0,1）,

；MN?n=0，MNC平面。。E,

〃平面C\DE.

解：(2)C(-1,M，0),DC=(-1，F(xiàn)，

平面CiQE的法向量1=(4,0,1),

.?.點C到平面OOE的距離：

32.【解答】（1）證明：如圖，過N作N"_L4D,則NH〃/Ui,且研得人人「

XMB//AA\,A/B=—AA,，四邊形NMBH為平行四邊形，則NM〃BH,

21

由NH〃A4i,N為4。中點，得H為AO中點，而E為2c中點，

J.BE//DH,BE=DH,則四邊形BED”為平行四邊形，則8H〃Z）E,

：.NM//DE,

平面CiQE,Z）Eu平面。。E,

〃平面ClDE；

（2）解：以。為坐標(biāo)原點，以垂直于。C得直線為x軸，以。C所在直線為y軸，以

所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

貝l]N（返，[，2）,M（V3-1，2）,Ai（我，-1,4）,

22

NM=（亨,日,°），叫=（率，9，2）＞

設(shè)平面A1MN的一個法向量為左（x,y,z），

m*NM=乎x,y=0

由，___'取彳=?，得-1,-1),

m,NA]=2x-^y+2z=0

又平面MA4的一個法向量為1=（1,0,0）,

m,n

；.cos<m,n>==V3=V75

ImI,In|V55

二面角A-M4-N的正弦值為IB.

5

33.【解答】證明：（1）長方體ABCD-4B1C1D1中，用。J_平面AB4B1,

J.BiCilBE,\'BE±ECi,

VBICIDECI-CI,，鹿，平面EBiCi.

解：（2）以C為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)AE=AiE=l,則BE=EBi,VBE±￥ffiEB\C\,：.BELEB\,

，8E2+EBI2=2BE2=BB[2=4,：.BE2=2,

VAE2+AB2=1+AB2=BE2=2,：.AB=l,

則E(l,1,1),A(1,1,0),Bi(0,1,2),Ci(0,0,2),C(0,0,0),

?;BC±EB\,EB\_L面EBC,

故取平面E8C的法向量為口=可=(-1,0,1),

設(shè)平面EC。的法向量^=(x,y,z),

n,CCi=0(=n—

由《，得Iz,取x=l,得口=(1，-1,0),

tn-CE=0lx+y+z=0

m

.*.cos<^,；>=_1L—=-

Iml-lnl2

二面角B-EC-Ci的正弦值為返.

2

34.【解答】解：(1)證明：由長方