中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿分突破（全國通用）：專題18 矩形折疊問題（原卷版）

專題18矩形折疊問題模型的概述：已知矩形的長與寬，利用勾股定理、相似三角形及翻折的性質(zhì)，求各線段邊長。解題方法：不找以折痕為邊長的直角三角形，利用未知數(shù)表示其它直角三角形三邊，通過勾股定理/相似三角形知識(shí)求解。問題：根據(jù)已知信息，求翻折后各邊長。模型一：思路：模型二：思路：模型三：思路：嘗試借助一線三垂直知識(shí)利用相似的方法求解模型四：思路：模型五：思路：模型六：點(diǎn)M,點(diǎn)N分別為DC，AB中點(diǎn)思路：模型七：點(diǎn)A’為BC中點(diǎn)思路：過點(diǎn)F作FH⊥AE，垂足為點(diǎn)H設(shè)AE=A’E=x，則BE=8-x由勾股定理解得x=174∴BE=由于△EBA’∽△A’CG∽△FD’G∴A’G=3415CG=1615DF=D’F=AH=134【培優(yōu)過關(guān)練】1．（2022秋·山東青島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，，點(diǎn)、分別在邊、上，若將四邊形沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上，則的長度為（

）A． B． C． D．2．（2022秋·江蘇徐州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形紙片中，點(diǎn)E在邊上，沿著折疊使點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)F處，若，，則的長為（

）A．1 B．2 C． D．3．（2022秋·福建泉州·九年級(jí)福建省惠安第一中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊在x軸上，邊在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，將矩形沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)B落在D點(diǎn)的位置，且交y軸交于點(diǎn)E，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（

）A．（） B．（，2） C．（） D．4．（2023春·廣東廣州·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，矩形紙片中，，，折疊紙片使落在對(duì)角線上，折痕為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，那么的長為（

）A．1 B． C． D．25．（2022秋·湖南邵陽·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在矩形紙片中，，點(diǎn)E在上，將沿折疊，點(diǎn)恰落在邊上的點(diǎn)F處；點(diǎn)在上，將△ABG沿折疊，點(diǎn)恰落在線段上的點(diǎn)處，有下列結(jié)論：①；②；③四邊形的面積等于；④．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．（2022秋·廣東梅州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)F處，連接，則的長為（

）A． B． C． D．7．（2022秋·廣西貴港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形紙片中，，，M是上的點(diǎn)，且，將矩形紙片沿過點(diǎn)M的直線折疊，使點(diǎn)D落在上的點(diǎn)P處，點(diǎn)C落在點(diǎn)處，折痕為，當(dāng)與線段交于點(diǎn)H時(shí)，則線段的長是（

）A．3 B． C．4 D．8．（2022秋·山東棗莊·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，邊長為2的正方形的對(duì)角線與交于點(diǎn)O，將正方形沿直線折疊，點(diǎn)C落在對(duì)角線上的點(diǎn)E處，折痕交于點(diǎn)M，則（

）A． B． C． D．9．（2022·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，點(diǎn)M在邊上，把沿直線折疊，使點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)E處，連接，過點(diǎn)B作，垂足為F，若，則線段的長為（

）A． B． C． D．10．（2022·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）矩形紙片中，E為的中點(diǎn)，連接，將沿折疊得到，連接．若，，則的長是（

）A．3 B． C． D．11．（2022·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，，，將沿BD折疊到位置，DE交AB于點(diǎn)F，則的值為（

）A． B． C． D．12．（2022·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知BD是矩形ABCD的對(duì)角線，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，連結(jié)BE，DF．將△ABE沿BE翻折，將△DCF沿DF翻折，若翻折后，點(diǎn)A，C分別落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)G，H處，連結(jié)GF．則下列結(jié)論不正確的是（

）A．BD＝10 B．HG＝2 C． D．GF⊥BC13．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點(diǎn)A、B、D恰好都落在點(diǎn)O處，且點(diǎn)G、O、C在同一條直線上，同時(shí)點(diǎn)E、O、F在另一條直線上．小煒同學(xué)得出以下結(jié)論：①GF∥EC；②AB=AD；③GE=DF；④OC=2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正確的是（

）A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④14．（2021·廣西來賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形紙片，，點(diǎn)，分別在，上，把紙片如圖沿折疊，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，連接并延長交線段于點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．15．（2011·吉林長春·中考真題）如圖，矩形紙片ABCD中，已知AD=8，折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為AE，且EF=3，則AB的長為()A．3 B．4C．5 D．616．（2020·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=12．將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊AD的延長線上的點(diǎn)G處，折痕為EF，點(diǎn)E、F分別在邊AD和邊BC上．連接BG，交CD于點(diǎn)K,FG交CD于點(diǎn)H．給出以下結(jié)論：①EF⊥BG；②GE=GF；③△GDK和△GKH的面積相等；④當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，∠DEF=75°．其中正確的結(jié)論共有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)17．（2020·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）如圖，把某矩形紙片沿，折疊（點(diǎn)E、H在邊上，點(diǎn)F，G在邊上），使點(diǎn)B和點(diǎn)C落在邊上同一點(diǎn)P處，A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為、D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，若，的面積為8，的面積為2，則矩形的長為（

）A． B． C． D．18．如圖，矩形紙片ABCD，AB=4，BC=3，點(diǎn)P在BC邊上，將△CDP沿DP折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，PE、DE分別交AB于點(diǎn)O、F，且OP=OF，則cos∠ADF的值為（）A． B． C． D．19．（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形為正方形，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，將正方形沿折疊，得到點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，延長交線段于點(diǎn)P，若，則的長度為___________．20．（2022·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片，折痕是，點(diǎn)落在點(diǎn)處，分別延長、交于點(diǎn)、，若點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，則______cm．21．（2022·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為．(1)求證：；(2)若，求的長．22．（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．(1)操作判斷操作一：對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；操作二：在AD上選一點(diǎn)P，沿BP折疊，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接PM，BM．根據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，寫出圖1中一個(gè)30°的角：______．(2)遷移探究小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點(diǎn)Q，連接BQ．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改變點(diǎn)P在AD上的位置（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合），如圖3，判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)拓展應(yīng)用在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm，當(dāng)FQ＝1cm時(shí)，直接寫出AP的長．23．（2022·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）【探索發(fā)現(xiàn)】在一次折紙活動(dòng)中，小亮同學(xué)選用了常見的A4紙，如圖①，矩形為它的示意圖．他查找了A4紙的相關(guān)資料，根據(jù)資料顯示得出圖①中．他先將A4紙沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，折痕為；再沿過點(diǎn)F的直線折疊，使點(diǎn)C落在上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，折痕為；然后連結(jié)，沿所在的直線再次折疊，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，進(jìn)而猜想．【問題解決】(1)小亮對(duì)上面的猜想進(jìn)行了證明，下面是部分證明過程：證明：四邊形是矩形，∴．由折疊可知，，．∴．∴．請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過程．【結(jié)論應(yīng)用】(2)的度數(shù)為________度，的值為_________；(3)在圖①的條件下，點(diǎn)P