中考數(shù)學復習滿分突破（全國通用）：專題33 圖形的相似（解析版）

專題33圖形的相似【考查題型】【知識要點】知識點一相似圖形相似圖形的概念：我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形。【注意事項】1）相似圖形的形狀相同，大小不一定相同，全等圖形是特殊的相似圖形；2）兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到；3）圖形的相似與圖形的位置無關(guān)。相似多邊形的概念：若兩個邊數(shù)相同的多邊形，它們的對應角相等、對應邊成比例，則這兩個多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形的性質(zhì)：對應角相等，對應邊成比例?！咀⒁馐马棥?）相似多邊形對應邊的比稱為相似比,一般用k表示；2）若已知四邊形與四邊形的相似比是,那么四邊形與四邊形的相似比是。知識點二比例線段的概念及性質(zhì)比例線段的定義：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度的比)與另兩條線段的比相等，如（即），我們就說這四段線段是成比例線段，簡稱比例線段。其中a、b、c、d叫組成比例的項；a、d叫比的外項，b、c叫比的內(nèi)項，【補充】當比的內(nèi)項相等時，即ab=b【解題思路】1）判斷四條線段是否成比例，需要將這四條線段從小到大依次排列，再判斷前兩條線段的比與后兩條線段的比是否相等即可；2）成比例的線段是有順序的，比如：a、b、c、d是成比例的線段，則成比例線段只能寫成（即：第一條第二條=第三條第四條）比例的性質(zhì)：①基本性質(zhì)：②變形：核心內(nèi)容：③合、分比性質(zhì)：【注意】實際上，比例的合比性質(zhì)可擴展為：比例式中等號左右兩個比的前項，后項之間發(fā)生同樣和差變化比例仍成立．如：④等比性質(zhì)：如果，那么⑤黃金分割：點C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果,那么線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比?！咀⒁狻?）(叫做黃金分割值).簡記為：2）一條線段的黃金分割點有兩個。3）黃金三角形的概念：頂角是360的等腰三角形。4）黃金矩形的概念：寬與長的比等于黃金數(shù)的矩形?！緮U展】作一條線段的黃金分割點：如圖，已知線段AB，按照如下方法作圖：（1）經(jīng)過點B作BD⊥AB，使BD=AB.（2）連接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.則點C為線段AB的黃金分割點。知識點三平行線段成比例定理平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對應線段成比例。1）已知l3∥l4∥l5,可得等2）把平行線分線段成比例的定理運用到三角形中，會出現(xiàn)下面的兩種情況：

把l4（圖1）或l3（圖2）看作平行底邊BC的直線，再根據(jù)平分線分線段成比例的定理，我們可以得出，平行于三角形一邊的直線和其兩邊相交（或其兩邊的延長線相交），所構(gòu)成的三角形和原三角形相似。知識點四相似三角形的判定相似三角形的概念：對應角相等、對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。相似用符號“∽”，讀作“相似于”。相似三角形的判定:判斷定理一：三邊成比例的兩個三角形相似，即：若，則∽【技巧】判斷網(wǎng)格中三角形是否相似，先運用勾股定理計算出三邊的長度，再看對應邊的比例是否相等。判斷定理二：兩邊成比例并且夾角相等的兩個三角形相似。即：若，且∠C＝則∽判斷定理三：兩個角分別相等的兩個三角形相似。

即：若，,則∽判斷定理四：斜邊和直角邊成比例的兩個直角三角形相似。即：在中，若或,則【小結(jié)】三角形全等三角形相似兩角夾一邊對應相等(ASA)

兩角一對邊對應相等(AAS)

兩邊及夾角對應相等(SAS)

三邊對應相等(SSS)、斜邊和一直角邊相等(HL）兩角對應相等

兩邊對應成比例，且夾角相等

三邊對應成比例斜邊和一直角邊對應成比例【常見的相似三角形】見附件pdf知識點五相似三角形的性質(zhì)1）相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等。2）相似三角形對應高，對應中線，對應角平分線的比都等于相似比。3）相似三角形周長的比等于相似比。4）相似三角形面積比等于相似比的平方。知識點六位似位似圖形的定義:如果兩個圖形不僅是相似圖形,且對應點連線相交于一點,對應線段相互平行,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形,位似圖形對應點連線的交點是位似中心。【注意事項】1）位似圖形是相似圖形的一種特殊形式。2）位似圖形一定是相似圖形，具有相似圖形的所有性質(zhì)，但相似圖形不一定是位似圖形。常見的位似圖形：畫位似圖形的方法：兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的同側(cè)。（即畫位似圖形時，注意關(guān)于某點的位似圖形有兩個。）判斷位似圖形的方法：首先看這兩個圖形是否相似，再看對應點的連線是否經(jīng)過位似中心。位似圖形的性質(zhì)：1)位似圖形的對應頂點的連線所在直線相交與一點，位似圖形的對應邊互相平行或者共線。2)位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比。3)在平面直角坐標系中，如果以原點為位似中心，畫一個與原圖形的位似圖形，使它與原圖形的相似比為k，若原圖形上點的坐標為(x，y)，則位似圖形上與它對應的點的坐標為(kx，ky)或(-kx，-ky)。畫位似圖形的步驟：1）確定位似中心,找原圖形的關(guān)鍵點。2）確定位似比。3）以位似中心為端點向各關(guān)鍵點作射線。4）順次連結(jié)各截取點，即可得到要求的新圖形。平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)、位似的區(qū)別：平移：和原圖形一模一樣（和原圖形全等且能與原圖形重合）軸對稱：面積和原圖形一樣也是全等，和平移的不同點就是軸對稱之后的圖形不能與原圖形重合，雖然它們?nèi)龋┬D(zhuǎn)：面積和原圖形一樣，也是全等，和軸對稱的不同點是軸對稱只有一個和原圖形軸對稱的圖形，而旋轉(zhuǎn)可以旋轉(zhuǎn)出無數(shù)個。位似：位似出的圖形只和原圖形的角相等邊就不一定相等了?！究偨Y(jié)】平移軸對稱旋轉(zhuǎn)位似原圖形全等全等全等相似考查題型一比例的性質(zhì)典例1．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中記載，戰(zhàn)國時期的銅衡桿，其形式既不同于天平衡桿，也異于稱桿衡桿正中有拱肩提紐和穿線孔，一面刻有貫通上、下的十等分線．用該衡桿稱物，可以把被稱物與砝碼放在提紐兩邊不同位置的刻線上，這樣，用同一個砝碼就可以稱出大于它一倍或幾倍重量的物體．圖為銅衡桿的使用示意圖，此時被稱物重量是砝碼重量的_________倍．【答案】1.2【分析】設被稱物的重量為，砝碼的重量為，根據(jù)圖中可圖列出方程即可求解．【詳解】解：設被稱物的重量為，砝碼的重量為，依題意得，，解得，故答案為：1.2．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，掌握杠桿的原理是解題的關(guān)鍵．變式1-1．（2021·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）已知，則________【答案】【分析】設，再將分別用的代數(shù)式表示，再代入約去即可求解．【詳解】解：設，則，故，故答案為：．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，正確用同一字母表示各數(shù)是解決此類題的關(guān)鍵．變式1-3．（2021·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）已知非負實數(shù)，，滿足，設的最大值為，最小值為，則的值為__．【答案】+##0.6875【分析】設，則，，，可得；利用a，b，c為非負實數(shù)可得k的取值范圍，從而求得m，n的值，結(jié)論可求．【詳解】解：設，則，，，．，，為非負實數(shù)，，解得：．當時，取最大值，當時，取最小值．，．．故答案為：【點睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)，解不等式組，非負數(shù)的應用等，設是解題的關(guān)鍵．考查題型二成比例線段典例2．（2022·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）在設計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設計一座高度為的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設計高度約是（

）（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）A． B． C． D．【答案】B【分析】設雕像的下部高為xm，由黃金分割的定義得求解即可．【詳解】解：設雕像的下部高為xm，則上部長為（2-x）m，∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，雷鋒雕像為2m，∴

∴，即該雕像的下部設計高度約是1.24m，故選：B．【點睛】本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義及黃金比值是解題的關(guān)鍵．變式2-1．（2021·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）我們把寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形．黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，世界各國許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設計．已知四邊形ABCD是黃金矩形，邊AB的長度為1，則該矩形的周長為__________________．【答案】或4【分析】分兩種情況：①邊為矩形的長時，則矩形的寬為，求出矩形的周長即可；②邊為矩形的寬時，則矩形的長為，求出矩形的周長即可．【詳解】解：分兩種情況：①邊為矩形的長時，則矩形的寬為，矩形的周長為：；②邊為矩形的寬時，則矩形的長為：，矩形的周長為；綜上所述，該矩形的周長為或4，故答案為：或4．【點睛】本題考查了黃金分割，熟記黃金分割的比值是解題的關(guān)鍵．變式2-2．（2022·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）在四邊形中，的平分線交于，延長到使，是的中點，交于，連接．(1)當四邊形是矩形時，如圖，求證：①；②．(2)當四邊形是平行四邊形時，如圖，（1）中的結(jié)論都成立，請給出結(jié)論②的證明．【答案】(1)證明見詳解(2)證明見詳解【分析】（1）①證明即可；②連接BG，CG，證明，即可證明；（2）①的結(jié)論和（1）中證明一樣，證明即可；②的結(jié)論，作，證明即可．【詳解】（1）證明：①證明過程：四邊形ABCD為矩形，平分為等腰直角三角形②證明：連接BG，CG，G為AF的中點，四邊形ABCD為矩形，平分，（2）作，如圖所示由（1）同理可證：四邊形ABCD為平行四邊形G為AF的中點，由平行線分線段成比例可得，【點睛】本題考查了以矩形與平行四邊形為橋梁，涉及全等三角形的證明，相似三角形的證明，正確作出輔助線并由此得到相應的全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．考查題型三黃金分割典例3．（2022·山西·中考真題）神奇的自然界處處蘊含著數(shù)學知識．動物學家在鸚鵡螺外殼上發(fā)現(xiàn)，其每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618．這體現(xiàn)了數(shù)學中的（

）A．平移 B．旋轉(zhuǎn) C．軸對稱 D．黃金分割【答案】D【分析】根據(jù)黃金分割的定義即可求解．【詳解】解：動物學家在鸚鵡螺外殼上發(fā)現(xiàn)，其每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618．這體現(xiàn)了數(shù)學中的黃金分割．故選：D【點睛】本題考查了黃金分割的定義，黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為，約等于0.618，這個比例被公認為是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割．熟知黃金分割的定義是解題關(guān)鍵．變式3-1（2021·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）兩千多年前，古希臘數(shù)學家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：如圖，點P是線段AB上一點（AP＞BP），若滿足，則稱點P是AB的黃金分割點．黃金分割在日常生活中處處可見，例如：主持人在舞臺上主持節(jié)目時，站在黃金分割點上，觀眾看上去感覺最好．若舞臺長20米，主持人從舞臺一側(cè)進入，設他至少走x米時恰好站在舞臺的黃金分割點上，則x滿足的方程是（）A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不對【答案】A【分析】點P是AB的黃金分割點，且PB＜PA，PB＝x，則PA＝20?x，則，即可求解．【詳解】解：由題意知，點P是AB的黃金分割點，且PB＜PA，PB＝x，則PA＝20?x，∴，∴（20?x）2＝20x，故選：A．【點睛】本題考查了黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對應線段是解決問題的關(guān)鍵．變式3-2（2020·甘肅金昌·統(tǒng)考中考真題）生活中到處可見黃金分割的美，如圖，在設計人體雕像時，使雕像的腰部以下與全身的高度比值接近0．618，可以增加視覺美感，若圖中為2米，則約為（

）A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米【答案】A【分析】根據(jù)a:b≈0.618，且b=2即可求解．【詳解】解：由題意可知，a:b≈0.618，代入b=2，∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．故答案為：A【點睛】本題考查了黃金分割比的定義，根據(jù)題中所給信息即可求解，本題屬于基礎題．變式3-3（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓中扇子對應的圓心角（）與剩余圓心角的比值為黃金比時，扇子會顯得更加美觀，若黃金比取0.6，則的度數(shù)是__________．【答案】90°##90度【分析】根據(jù)題意得出α=0.6β，結(jié)合圖形得出β=225°，然后求解即可．【詳解】解：由題意可得：α：β=0.6，即α=0.6β，∵α+β=360°，∴0.6β+β=360°，解得：β=225°，∴α=360°-225°=135°，∴β-α=90°，故答案為：90°．【點睛】題目主要考查圓心角的計算及一元一次方程的應用，理解題意，得出兩個角度的關(guān)系是解題關(guān)鍵．變式3-4（2022·陜西·統(tǒng)考中考真題）在20世紀70年代，我國著名數(shù)學家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所做將矩形窗框分為上下兩部分，其中E為邊的黃金分割點，即．已知為2米，則線段的長為______米．【答案】##【分析】根據(jù)點E是AB的黃金分割點，可得，代入數(shù)值得出答案．【詳解】∵點E是AB的黃金分割點，∴．∵AB=2米，∴米．故答案為：（）．【點睛】本題主要考查了黃金分割的應用，掌握黃金比是解題的關(guān)鍵．考查題型四相似多邊形的性質(zhì)典例4．（2022·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）如圖，以點O為位似中心，作四邊形的位似圖形﹐已知，若四邊形的面積是2，則四邊形的面積是（

）A．4 B．6 C．16 D．18【答案】D【分析】兩圖形位似必相似，再由相似的圖形面積比等于相似比的平方即可求解．【詳解】解：由題意可知，四邊形與四邊形相似，由兩圖形相似面積比等于相似比的平方可知：，又四邊形的面積是2，∴四邊形的面積為18，故選：D．【點睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，屬于基礎題，熟練掌握相似圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．變式4-1（2021·廣西百色·統(tǒng)考中考真題）下列四個命題：①直徑是圓的對稱軸；②若兩個相似四邊形的相似比是1：3，則它們的周長比是1：3，面積比是1：6；③同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩條直線互相平行；④對角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形．其中真命題有（

）A．①③ B．①④ C．③④ D．②③④【答案】C【分析】根據(jù)有關(guān)性質(zhì)，對命題逐個判斷即可．【詳解】解：①直徑是圓的對稱軸，直徑為線段，對稱軸為直線，應該是直徑所在的直線是圓的對稱軸，為假命題；②若兩個相似四邊形的相似比是1：3，面積比是1：9，而不是1：6，為假命題；③根據(jù)平行和垂直的有關(guān)性質(zhì)，可以判定為真命題；④根據(jù)正方形的判定方法，可以判定為真命題；故答案選C．【點睛】此題考查了命題的判定，熟練掌握命題有關(guān)內(nèi)容的基礎知識是解題的關(guān)鍵．變式4-2（2021·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形OABC的面積為36，它的對角線OB與雙曲線y相交于點D，且OD：OB＝2：3，則k的值為（

）A．12 B．﹣12 C．16 D．﹣16【答案】D【分析】過D點作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足為E、F，由雙曲線的解析式可知S矩形OEDF=|k|，由于D點在矩形的對角線OB上，可知矩形OEDF∽矩形OABC，并且相似比為OD:OB＝2:3，由相似多邊形的面積比等于相似比的平方可求出S矩形OEDF=16，再根據(jù)在反比例函數(shù)y圖象在第二象限，即可算出k的值．【詳解】解：過D點作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足為E、F，∵D點在雙曲線y上，∴S矩形OEDF=|xy|=|k|，∵D點在矩形的對角線OB上，∴矩形OEDF∽矩形OABC，∴，∵S矩形OABC=36，∴S矩形OEDF=16，∴|k|=16，∵雙曲線y在第二象限，∴k=-16，故選：D．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是過D點作坐標軸的垂線，構(gòu)造矩形，再根據(jù)相似多邊形的面積的性質(zhì)求出|k|．考查題型五平行線分線段成比例定理典例5（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，為的邊上一點，，過作交于點，、兩點縱坐標分別為1、3，則點的縱坐標為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根據(jù)得出，根據(jù)，得出，根據(jù)、兩點縱坐標分別為1、3，得出，即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵、兩點縱坐標分別為1、3，∴，∴，解得：，∴點的縱坐標為6，故C正確．故答案為：6．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平面直角坐標系中點的坐標，根據(jù)題意得出，是解題的關(guān)鍵．變式5-1（2022·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，點D為邊上任一點，交于點E，連接相交于點F，則下列等式中不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可判斷A，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷B、C、D．【詳解】解：∵，∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合題意；∴，，故B不符合題意，C符合題意；∴，故D不符合題意；故選C．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例定理，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．變式5-2（2022·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上．若線段，則線段的長是（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】過點作五條平行橫線的垂線，交第三、四條直線，分別于、，根據(jù)題意得，然后利用平行線分線段成比例定理即可求解．【詳解】解：過點作五條平行橫線的垂線，交第三、四條直線，分別于、，根據(jù)題意得，∵，∴，又∵，∴故選：C【點睛】本題考查了平行線分線段成比例的應用，作出適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．變式5-3（2021·廣西貴港·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點，且EF＝2AE＝2CF，連接DE并延長交AB于點M，連接DF并延長交BC于點N，連接MN，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】設，首先證明，再利用平行線分線段成比例定理求出，推出，，可得結(jié)論．【詳解】解：設，四邊形是正方形，，，在和中，，，，在和中，，，，，，，，，，，故選：A．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)，設正方形的邊長為，求出，．變式5-4（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，D是AC的中點，△ABC的角平分線AE交BD于點F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，則△ABC的周長為_____．【答案】【分析】如圖，過點作于點，于點，過點作交于點．證明，設，證明，設，則，求出，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過點作于點，于點，過點作交于點．平分，，，，，，設，則，，，，，設，則，，，，的周長，故答案為：．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，角平分線的性質(zhì)定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)解決問題．變式5-5（2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D為AB中點，E在線段AC上，，則_____．【答案】或【分析】由題意可求出，取AC中點E1，連接DE1，則DE1是△ABC的中位線，滿足，進而可求此時，然后在AC上取一點E2，使得DE1＝DE2，則，證明△DE1E2是等邊三角形，求出E1E2＝，即可得到，問題得解．【詳解】解：∵D為AB中點，∴，即，取AC中點E1，連接DE1，則DE1是△ABC的中位線，此時DE1∥BC，，∴，在AC上取一點E2，使得DE1＝DE2，則，∵∠A=30°，∠B=90°，∴∠C=60°，BC＝，∵DE1∥BC，∴∠DE1E2=60°，∴△DE1E2是等邊三角形，∴DE1＝DE2＝E1E2＝，∴E1E2＝，∵，∴，即，綜上，的值為：或，故答案為：或．【點睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)等，根據(jù)進行分情況求解是解題的關(guān)鍵．變式5-6（2021·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，?OABC的頂點A，B在第一象限內(nèi)，頂點C在y軸上，經(jīng)過點A的反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交BC于點D．若CD＝2BD，?OABC的面積為15，則k的值為______．【答案】18【分析】過點D作DN⊥y軸于N，過點B作BM⊥y軸于M，可得，設OC＝a，CN＝2b，則MN＝b，根據(jù)?OABC的面積為15表示出BM的長度，根據(jù)CD＝2BD求出ND的長，進而表示出A，D兩點的坐標，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可求出．【詳解】解：過點D作DN⊥y軸于N，過點B作BM⊥y軸于M，∴，∴，∵CD＝2BD，∴，即，設OC＝a，CN＝2b，則MN＝b，∵?OABC的面積為15，∴BM＝，∵，∴，∴，∵CD＝2BD，∴，∴ND＝BM＝，∴A，D點坐標分別為（，3b），（，a＋2b），∴?3b＝（a＋2b），∴b＝a，∴k＝?3b＝?3×a＝18，故答案為：18．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和反比例函數(shù)的幾何意義，相似三角形的性質(zhì)和判定，利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．考查題型六相似三角形的判定典例6．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，E是邊AC上一點，且，過點A作BE的垂線，交BE的延長線于點D，求證：．【答案】見解析【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠C=∠BEC，又由對頂角相等可證得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵∴∠C=∠BEC，∵∠BEC=∠AED，∴∠AED=∠C，∵AD⊥BD，∴∠D=90°，∵，∴∠D=∠ABC，∴．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．變式6-1（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在與中，點、分別在邊、上，且，若___________，則．請從①；②；③這三個選項中選擇一個作為條件（寫序號），并加以證明．【答案】見解析．【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理證明即可．【詳解】解：若選①，證明：∵，∴，，∴，∵，∴，∴，又，∴．選擇②，不能證明．若選③，證明：∵，∴，∴，又∵，∴．【點睛】本題考查相似三角形的判定定理，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．變式6-2（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形中，點E在上，，與相交于點O．與相交于點F．(1)若平分，求證：；(2)找出圖中與相似的三角形，并說明理由;(3)若，，求的長度．【答案】(1)證明見解析(2)，與相似，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和角平分線的定義即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)判定兩個三角形相似的判定定理，找到相應的角度相等即可得出；（3）根據(jù)得出，根據(jù)得出，聯(lián)立方程組求解即可．【詳解】（1）證明：如圖所示：四邊形為矩形，，，，，又平分，，，又與互余，與互余，；（2）解：，與相似．理由如下：，，，又，

，，，；（3）解：，，，，在矩形中對角線相互平分，圖中，①，，，，在矩形中，②，由①②，得（負值舍去），．【點睛】本題考查矩形綜合問題，涉及到矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、角度的互余關(guān)系、兩個三角形相似的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握兩個三角形相似的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．變式6-3（2020·廣西柳州·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點，連接AC、BC，OD⊥BC于點E，交⊙O于點D，連接CD、AD，AD與BC交于點F，CG與BA的延長線交于點G．（1）求證：△ACD∽△CFD；（2）若∠CDA＝∠GCA，求證：CG為⊙O的切線；（3）若sin∠CAD＝，求tan∠CDA的值．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）．【分析】（1）由垂徑定理得，由圓周角定理得∠CAD＝∠FCD，再由公共角∠ADC＝∠CDF，即可得出△ACD∽△CFD；（2）連接OC，由圓周角定理得∠ACB＝90°，則∠ABC+∠CAB＝90°，由等腰三角形的性質(zhì)得∠OBC＝∠OCB，證出∠OCB＝∠GCA，得出∠OCG＝90°，即可得出結(jié)論；（3）連接BD，由圓周角定理得∠CAD＝∠CBD，則sin∠CAD＝sin∠CBD＝，設DE＝x，OD＝OB＝r，則OE＝r﹣x，BD＝3x，由勾股定理得BE＝，則BC＝2BE＝，在Rt△OBE中，由勾股定理得(r﹣x)2+()2＝r2，解得r＝，則AB＝2r＝9x，由勾股定理求出AC＝7x，由三角函數(shù)定義即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵OD⊥BC，∴,∴∠CAD＝∠FCD，又∵∠ADC＝∠CDF，∴△ACD∽△CFD；（2）證明：連接OC，如圖1所示：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠CAB＝90°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠CDA＝∠OBC，∠CDA＝∠GCA，∴∠OCB＝∠GCA，∴∠OCG＝∠GCA+∠OCA＝∠OCB+∠OCA＝90°，∴CG⊥OC，∵OC是⊙O的半徑，∴CG是⊙O的切線；（3）解：連接BD，如圖2所示：∵∠CAD＝∠CBD，∵OD⊥BC，∴sin∠CAD＝sin∠CBD＝，BE＝CE，設DE＝x，OD＝OB＝r，則OE＝r﹣x，BD＝3x在Rt△BDE中，BE＝，∴BC＝2BE＝,在Rt△OBE中，OE2+BE2＝OB2，即(r﹣x)2+()2＝r2，，解得：r＝，∴AB＝2r＝9x，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，∴AC2+()2＝(9x)2，∴AC＝7x或AC＝﹣7x（舍去），∴tan∠CDA＝tan∠CBA＝＝．【點睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定，三角函數(shù)等知識．本題綜合性比較強，熟練掌握圓周角定理，垂徑定理是解題的關(guān)鍵．變式6-4（2020·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖矩形ABCD中，AB=20，點E是BC上一點，將沿著AE折疊，點B剛好落在CD邊上的點G處，點F在DG上，將沿著AF折疊，點D剛好落在AG上點H處，此時．（1）求證：（2）求AD的長；（3）求的值．【答案】（1）見解析；（2）12；（3）【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得出∠B=∠D=∠C=90°，由折疊的性質(zhì)得出∠AGE=∠B=90°，∠AHF=∠D=90°，證得∠EGC=∠GFH，則可得出結(jié)論；（2）由面積關(guān)系可得出GH：AH=2：3，由折疊的性質(zhì)得出AG=AB=GH+AH=20，求出GH=8，AH=12，則可得出答案；（3）由勾股定理求出DG=16，設DF=FH=x，則GF=16-x，由勾股定理得出方程，解出x=6，由銳角三角函數(shù)的定義可得出答案．【詳解】（1）證明：因為四邊形ABCD是矩形所以，(2)解：(3)解：在直角三角形ADG中，由折疊對稱性知，解得：x=6，所以：HF=6在直角三角形GHF中，．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．考查題型七相似三角形的性質(zhì)典例7．（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）已知，，若，則（

）A．4 B．6 C．8 D．16【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，代入求解即可．【詳解】解：∵，∴，即，解得．故選：A．【點睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形性質(zhì)．相似三角形性質(zhì)：相似三角形對應邊成比例，對應角相等．相似三角形的相似比等于周長比，相似三角形的相似比等于對應高，對應角平分線，對應中線的比，相似三角形的面積比等于相似比的平方．變式7-1（2022·云南·中考真題）如圖，在ABC中，D、E分別為線段BC、BA的中點，設ABC的面積為S，EBD的面積為S．則=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判定，得到相似比為，再根據(jù)兩個相似三角形的面積比等于相似比的平方，據(jù)此解題即可．【詳解】解：∵D、E分別為線段BC、BA的中點，∴，又∵，∴，相似比為，∴，故選：B．【點睛】此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．變式7-2（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）的三邊長分別為2，3，4，另有一個與它相似的三角形，其最長邊為12，則的周長是（

）A．54 B．36 C．27 D．21【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵△ABC與△DEF相似，△ABC的最長邊為4，△DEF的最長邊為12，∴兩個相似三角形的相似比為1:3，∴△DEF的周長與△ABC的周長比為3:1，∴△DEF的周長為3×（2+3+4）=27，故選：C．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的周長之比等于相似之比是解題的關(guān)鍵．變式7-3（2022·山東威?！そy(tǒng)考中考真題）由12個有公共頂點O的直角三角形拼成如圖所示的圖形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，則圖中與△AOB位似的三角形的面積為(

)A．（）3 B．（）7 C．（）6 D．（）6【答案】C【分析】根據(jù)題意得出A、O、G在同一直線上，B、O、H在同一直線上，確定與△AOB位似的三角形為△GOH，利用銳角三角函數(shù)找出相應規(guī)律得出OG=，再由相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°∴∠AOG＝180°，∠BOH＝180°，∴A、O、G在同一直線上，B、O、H在同一直線上，∴與△AOB位似的三角形為△GOH，設OA=x，則OB=，∴OC=，∴OD=，…∴OG=，∴，∴，∵，∴，故選：C．【點睛】題目主要考查利用銳角三角函數(shù)解三角形，找規(guī)律問題，相似三角形的性質(zhì)等，理解題意，找出相應邊的比值規(guī)律是解題關(guān)鍵．變式7-4．（2022·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知是內(nèi)的一點，，，若的面積為2，，，則的面積是________．【答案】12【分析】延長EF、DF分布交AC于點M、N，可以得到相似三角形并利用相似三角形分別求出AM、MN、CN之間的關(guān)系，從而得到三角形的面積關(guān)系即可求解．【詳解】解：如圖所示：延長EF、DF分布交AC于點M、N，，，，，，，令，則，，，，，，設，，，，求出,，故答案為：12．【點睛】本題考查了相似三角形中的A型，也可以利用平行線分線段成比例知識，具有一定的難度，不斷的利用相似三角形的性質(zhì)：對應線段成比例進行求解線段的長度；利用相似三角形的面積之比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．變式7-5（2022·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF，已知四邊形BFED是平行四邊形，．(1)若，求線段AD的長．(2)若的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．【答案】(1)2(2)6【分析】（1）利用平行四邊形對邊平行證明，得到即可求出；（2）利用平行條件證明，分別求出、的相似比，通過相似三角形的面積比等于相似比的平方分別求出、，最后通過求出．【詳解】（1）∵四邊形BFED是平行四邊形，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）∵四邊形BFED是平行四邊形，∴，，DE=BF，∴，∴∴，∵，DE=BF，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了相似三角形，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方、靈活運用平行條件證明三角形相似并求出相似比是解題關(guān)鍵．考查題型八利用相似三角形相關(guān)知識解決實際問題典例8．（2022·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，某零件的外徑為10cm，用一個交叉卡鉗（兩條尺長AC和BD相等）可測量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，則零件的厚度x為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出△AOB和△COD相似，利用相似三角形對應邊成比例列式計算求出AB，再根據(jù)外徑的長度解答．【詳解】解：∵OA：OC=OB：OD=3，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD，∴AB：CD=3，∴AB：3=3，∴AB=9（cm），∵外徑為10cm，∴9+2x=10，∴x=0.5（cm）．故選：B．【點睛】本題考查相似三角形的應用，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)求出AB的長．變式8-1（2022·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）某餐廳為了追求時間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點單完成后，開始倒轉(zhuǎn)“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所點的菜需全部上桌，否則該桌免費用餐）．“沙漏”是由一個圓錐體和一個圓柱體相通連接而成．某次計時前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是，高是；圓柱體底面半徑是，液體高是．計時結(jié)束后如圖（2）所示，求此時“沙漏”中液體的高度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圓錐的圓錐體底面半徑是6cm，高是6cm，可得CD=DE，根據(jù)園錐、圓柱體積公式可得液體的體積為63πcm3，圓錐的體積為72πcm3，設此時“沙漏”中液體的高度AD=xcm，則DE=CD=（6-x）cm，根據(jù)題意，列出方程，即可求解．【詳解】解：如圖，作圓錐的高AC，在BC上取點E，過點E作DE⊥AC于點D，則AB=6cm，AC=6cm，∴△ABC為等腰直角三角形，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴△CDE為等腰直角三角形，∴CD=DE，圓柱體內(nèi)液體的體積為：圓錐的體積為，設此時“沙漏”中液體的高度AD=xcm，則DE=CD=（6-x）cm，∴，∴，解得：x=3，即此時“沙漏”中液體的高度3cm．故選：B．【點睛】本題考查圓柱體、圓錐體體積問題，解題的關(guān)鍵是掌握圓柱體、圓錐體體積公式，列出方程解決問題．變式8-2（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）“跳眼法”是指用手指和眼睛估測距離的方法步驟：第一步：水平舉起右臂，大拇指緊直向上，大臂與身體垂直；第二步：閉上左眼，調(diào)整位置，使得右眼、大拇指、被測物體在一條直線上；第三步：閉上右眼，睜開左眼，此時看到被測物體出現(xiàn)在大拇指左側(cè)，與大拇指指向的位置有一段橫向距離，參照被測物體的大小，估算橫向距離的長度；第四步：將橫向距離乘以10（人的手臂長度與眼距的比值一般為10），得到的值約為被測物體離觀測，點的距離值．如圖是用“跳眼法”估測前方一輛汽車到觀測點距離的示意圖，該汽車的長度大約為4米，則汽車到觀測點的距離約為（

）A．40米 B．60米 C．80米 D．100米【答案】C【分析】參照題目中所給的“跳眼法”的方法估測出距離即可．【詳解】由“跳眼法”的步驟可知被測物體與觀測點的距離是橫向距離的10倍．觀察圖形，橫向距離大約是汽車長度的2倍，為8米，所以汽車到觀測點的距離約為80米，故選C．【點睛】本題主要考查了測量距離，正確理解“跳眼法”測物距是解答本題的關(guān)鍵．變式8-3（2022·廣西·中考真題）數(shù)學興趣小組通過測量旗桿的影長來求旗桿的高度，他們在某一時刻測得高為2米的標桿影長為1.2米，此時旗桿影長為7.2米，則旗桿的高度為______米．【答案】12【分析】根據(jù)同時、同地物高和影長的比不變，構(gòu)造相似三角形，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答．【詳解】解：設旗桿為AB，如圖所示：根據(jù)題意得：，∴∵米，米，米，∴解得：AB=12米．故答案為：12．【點睛】本題考查了中心投影、相似三角形性質(zhì)的應用，解題時關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應邊成比例列出方程，建立適當?shù)臄?shù)學模型來解決問題．變式8-4（2022·廣西·統(tǒng)考中考真題）古希臘數(shù)學家泰勒斯曾利用立桿測影的方法，在金字塔影子的頂部直立一根木桿，借助太陽光測金字塔的高度．如圖，木桿EF長2米，它的影長FD是4米，同一時刻測得OA是268米，則金字塔的高度BO是________米．【答案】134【分析】在同一時刻物高和影子成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個直角三角形相似，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：134．【點睛】本題考查了相似三角形的應用，解題的關(guān)鍵是了解：同一時刻物高和影長成正比．變式8-5（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，公園內(nèi)有一個垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個坡面，坡角．在陽光下，小明觀察到在地面上的影長為，在坡面上的影長為．同一時刻，小明測得直立于地面長60cm的木桿的影長為90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．【答案】(170+60)cm【分析】延長AD交BN于點E，過點D作DF⊥BN于點F，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DF，根據(jù)余弦的定義求出CF，根據(jù)題意求出EF，再根據(jù)題意列出比例式，計算即可．【詳解】解：延長AD交BN于點E，過點D作DF⊥BN于點F，在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，則DF=CD=90（cm），CF=CD?cos∠DCF=180×=90（cm），由題意得：=，即=，解得：EF=135，∴BE=BC+CF+EF=120+90+135=(255+90)cm，則=，解得：AB=170+60，答：立柱AB的高度為(170+60)cm．【點睛】此題考查了解直角三角形的應用-坡度坡角問題、平行投影的應用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，正確作出輔助線，利用銳角三角函數(shù)和成比例線段計算．變式8-6（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）旗桿及升旗臺的剖面如圖所示，MN、CD為水平線，旗桿AB⊥CD于點B．某一時刻，旗桿AB的一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD＝1.2m，DE＝1.4m．同一時刻，測得豎直立在坡面DN上的1m高的標桿影長為0.25m（標桿影子在坡面DN上），此時光線AE與水平線的夾角為80.5°，求旗桿AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin80.5°≈0.98，cos80.5°≈0.17，tan80.5°≈6）【答案】旗桿AB的高度為12.8m【分析】設MN為豎直立在坡面DN上的1m高的標桿，ME為標桿影子，長為0.25m，作DF⊥CD交AE于點F，作FH⊥AB于點H，利用相似和銳角三角函數(shù)可以求出旗桿AB的高度．【詳解】解：如圖，設MN為豎直立在坡面DN上的1m高的標桿，ME為標桿影子，長為0.25m，作DF⊥CD交AE于點F，作FH⊥AB于點H，∵DFMN，∴＝，∴＝，∴DF＝5.6，∴BH＝DF＝5.6，在Rt△AHF中，∠AFH＝80.5°，tan∠AFH＝，∴tan80.5°＝≈6，∴AH≈7.2，∴旗桿AB的高度為5.6+7.2＝12.8（m）．所以，旗桿AB的高度為12.8m．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)和相似三角形的應用；作出相應輔助線得到矩形是解決本題的難點；用到的知識點為：同一時刻物高與影長的比一定，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．變式8-7（2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）我們經(jīng)常會采用不同方法對某物體進行測量，請測量下列燈桿AB的長．(1)如圖1所示，將一個測角儀放置在距離燈桿AB底部a米的點D處，測角儀高為b米，從C點測得A點的仰角為α，求燈桿AB的高度．（用含a，b，ａ的代數(shù)式表示）(2)我國古代數(shù)學家趙爽利用影子對物體進行測量的方法，在至今仍有借鑒意義圖2所示，現(xiàn)將一高度為2米的木桿CG放在燈桿AB前，測得其影長CH為1米，再將木桿沿著BC方向移動1.8米至DE的位置，此時測得其影長DF為3米，求燈桿AB的高度【答案】(1)atanα+b米(2)3.8米【分析】（1）由題意得BD=a，CD=b，∠ACE=α，根據(jù)四邊形CDBE為矩形，得到BE=CD=b，BD=CE=a，在Rt?ACE中，由正切函數(shù)tanα=，即可得到AB的高度；（2）根據(jù)AB∥ED，得到?ABF~?EDF，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例得到，又根據(jù)AB∥GC，得出?ABH~?GCH，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例得到聯(lián)立得到二元一次方程組解之即可得；【詳解】（1）解：如圖由題意得BD=a，CD=b，∠ACE=α∠B=∠D=∠CEB=90°∴四邊形CDBE為矩形，則BE=CD=b，BD=CE=a，在Rt?ACE中，tanα=，得AE=CE=CE×tanα=atanα而AB=AE+BE，故AB=atanα+b答：燈桿AB的高度為atanα+b米（2）由題意可得，AB∥GC∥ED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8由于AB∥ED，∴?ABF~?EDF，此時即①，∵AB∥GC∴?ABH~?GCH，此時，②聯(lián)立①②得，解得：答：燈桿AB的高度為3.8米【點睛】本題考查了相似三角形的應用，銳角三角函數(shù)的應用，以及二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，熟悉相似三角形的判定與性質(zhì)．變式8-8（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）我市的花果山景區(qū)大圣湖畔屹立著一座古塔——阿育王塔，是蘇北地區(qū)現(xiàn)存最高和最古老的寶塔．小明與小亮要測量阿育王塔的高度，如圖所示，小明在點處測得阿育王塔最高點的仰角，再沿正對阿育王塔方向前進至處測得最高點的仰角，；小亮在點處豎立標桿，小亮的所在位置點、標桿頂、最高點在一條直線上，，．（注：結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求阿育王塔的高度；(2)求小亮與阿育王塔之間的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，由，解方程即可求解．（2）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）在中，∵，∴．∵，∴．在中，由，得，解得．經(jīng)檢驗是方程的解答：阿育王塔的高度約為．（2）由題意知，∴，即，∴．經(jīng)檢驗是方程的解答：小亮與阿育王塔之間的距離約為．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，相似三角形的應用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．考查題型九位似圖形典例9．（2022·寧夏·中考真題）如圖，將三角尺直立舉起靠近墻面，打開手機手電筒照射三角尺，在墻面上形成影子．則三角尺與影子之間屬于以下哪種圖形變換（

）A．平移 B．軸對稱 C．旋轉(zhuǎn) D．位似【答案】D【分析】根據(jù)位似的定義，即可解決問題．【詳解】根據(jù)位似的定義可知：三角尺與影子之間屬于位似．故選：D．【點睛】本題考查了生活中位似的現(xiàn)象，解決本題的關(guān)鍵是熟記位似的定義．變式9-1（2022·廣西·中考真題）已知△ABC與△A1B1C1是位似圖形，位似比是1：3，則△ABC與△A1B1C1的面積比（

）A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1【答案】C【分析】根據(jù)位似圖形的面積比等于位似比的平方，即可得到答案．【詳解】∵△ABC與△A1B1C1是位似圖形，位似比是1：3，∴△ABC與△A1B1C1的面積比為1：9，故選：C．【點睛】本題主要考查位似圖形的性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的面積比等于位似比的平方是解題的關(guān)鍵．變式9-2（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，與位似，點O是它們的位似中心，且位似比為1∶2，則與的周長之比是（

）A．1∶2 B．1∶4 C．1∶3 D．1∶9【答案】A【分析】根據(jù)位似圖形是相似圖形，位似比等于相似比，相似三角形的周長比等于相似比即可求解．【詳解】解：∵與位似∴∵與的位似比是1:2∴與的相似比是1:2∴與的周長比是1:2故選：A．【點睛】本題考查了位似變換，解題的關(guān)鍵是掌握位似變換的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)．變式9-3（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，和是以點為位似中心的位似圖形．若，則與的周長比是_________．【答案】【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，得到，根據(jù)得到相似比為，再結(jié)合三角形的周長比等于相似比即可得到結(jié)論．【詳解】解：和是以點為位似中心的位似圖形，，，，，根據(jù)與的周長比等于相似比可得，故答案為：．【點睛】本題考查相似圖形的性質(zhì)，掌握位似圖形與相似圖形的關(guān)系，熟記相似圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．考查題型十坐標系與位似中心典例10．（2021·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，A、B兩個頂點在x軸的上方，點C的坐標是（1，0），以點C為位似中心，在x軸的下方作的位似圖形，并把的邊長放大到原來的2倍，設點B的橫坐標是a，則點B的對應點的橫坐標是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設點的橫坐標為，然后表示出、的橫坐標的距離，再根據(jù)位似比列式計算即可得解.【詳解】設點的橫坐標為，則、間的橫坐標的差為，、間的橫坐標的差為，放大到原來的倍得到，，解得：.故選：A.【點睛】本題考查了位似變換，坐標與圖形的性質(zhì)，根據(jù)位似比的定義，利用兩點間的橫坐標的距離等于對應邊的比列出方程是解題的關(guān)鍵.變式10-1（2021·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，將以原點O為位似中心放大后得到，若，，則與的相似比是（

）A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3【答案】D【分析】直接利用對應邊的比等于相似比求解即可．【詳解】解：由B、D兩點坐標可知：OB=1，OD=3；△OAB與△OCD的相似比等于；故選D．【點睛】本題考查了在平面直角坐標系中求兩個位似圖形的相似比的概念，同時涉及到了位似圖形的概念、平面直角坐標系中點的坐標、線段長度的確定等知識；解題關(guān)鍵是牢記相似比等于對應邊的比，準確求出對應邊的比即可完成求解，考查了學生對概念的理解與應用等能力．變式10-2（2021·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標系中，與是位似圖形，則位似中心的坐標為__________________．【答案】【分析】根據(jù)位似圖形的對應頂點的連線交于一點并結(jié)合網(wǎng)格圖中的格點特征確定位似中心．【詳解】解：連接DB，OA并延長，交于點M，點M即為位似中心∴M點坐標為故答案為：．【點睛】本題考查的是位似變換的概念、坐標與圖形性質(zhì)，掌握如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心是解題的關(guān)鍵．變式10-3（2022·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）如圖、在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別為A（4，1），B（2，3），C（1，2）．(1)畫出與△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；(2)以原點O為位似中心，在第三象限內(nèi)畫一個△A2B2C2，使它與△ABC的相似比為，并寫出點B2的坐標．【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析【分析】（1）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的坐標得到A1、B1、C1的坐標，然后描點連線得到△A1B1C1．（2）把A、B、C的坐標都乘以-2得到A2、B2、C2的坐標，然后描點連線即可．【詳解】（1）如圖，為所作．（2）如圖，為所作，點B2的坐標為（-4，-6）．【點睛】本題考查位似變換、軸對稱變換，解題的關(guān)鍵是注意位似中心及相似比、對稱軸．考查題型十一相似三角形綜合典例11．（2021·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）在等腰中，，點是邊上一點（不與點、重合），連結(jié)．（1）如圖1，若，點關(guān)于直線的對稱點為點，結(jié)，，則________；（2）若，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)．①在圖2中補全圖形；②探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，若，且，試探究、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）30°；（2）①見解析；②；見解析；（3），見解析【分析】（1）先根據(jù)題意得出△ABC是等邊三角形，再利用三角形的外角計算即可（2）①按要求補全圖即可②先根據(jù)已知條件證明△ABC是等邊三角形，再證明，即可得出（3）先證明，再證明，得出，從而證明，得出，從而證明【詳解】解：（1）∵，∴△ABC是等邊三角形∴∠B=60°∵點關(guān)于直線的對稱點為點∴AB⊥DE，∴故答案為：；（2）①補全圖如圖2所示；②與的數(shù)量關(guān)系為：；證明：∵，．∴為正三角形，又∵繞點順時針旋轉(zhuǎn)，∴，，∵，，∴，∴，∴．（3）連接．∵，，∴．∴．又∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴，．∵，∴．又∵，∴．【點睛】本題考查相似三角形的證明及性質(zhì)、全等三角形的證明及性質(zhì)、三角形的外角、軸對稱，熟練進行角的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵，相似三角形的證明是重點變式11-1（2021·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，點為的中點，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，且交線段于點，的平分線交于點．（1）如圖1，若，則線段與的數(shù)量關(guān)系是________，________；（2）如圖2