2021屆貴州省畢節(jié)市高三年級上冊診斷性考試數(shù)學（理）試題及答案

2021屆貴州省畢節(jié)市高三上學期診斷性考試數(shù)學(理)試題(一)

一、單選題

1.已知集合4={。/)|*2+/43,*《2,丫62},8={(蒼刈，=*},則人013中的元素個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

答案：B

先解出集合A,然后求AA8.

解：因為

A={(x,y)|x2+/<3,xeZ,>'eZ}={(0,0),(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0),(1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1)),

B={(x,y)|y=x},

所以4「8={(0,0),(1,1),(-1,-1)},

故ACIB中的元素個數(shù)為3.

故選：B.

2.設復數(shù)z滿足(K-i)z=2i(i為虛數(shù)單位)，則|z|=()

A.4B.2C.72D.1

答案：D

由條件等式，應用復數(shù)的除法運算求z,進而求模即可.

2i2i(G+i)-2+2s/3i-1+A/3Z

解：由題意,

Q-i—庫-I)電+i)4-—2-

故選：D.

3.設m,n是兩條不同的直線，a,B是兩個不同的平面，下列命題中錯誤的是()

A.若m//n,n_La,a〃B,則m_LP

B.l^mLp.nLp.nLa,則m±a

C.若m±a,m//n,n//B,則aJ_B

D.若機_L/v%ua,〃u",貝lja_LB

答案：D

對于每一個選項從定義或判定上分析，另外這類題也可以通過畫圖來判斷.

解：解：對于A,若ml/n,n>a,a//p,則且根」用，所以A正確；

對于B,若〃則m〃〃且m_La,所以B正確；

對于C,若〃?La,〃〃/〃,“〃/，則由面面垂直的判定定理可得a_L夕，所以C正確:

對于D,若，尸，則a,4可能相交或垂直，所以D錯誤.

故選：D.

3x-y+l>0

4.若x,y滿足約束條件,x+2y-240,則z=x+y的最大值為（）

4x+y-8<0

A.1B.2C.5D.6

答案：B

作出可行域，然后數(shù)形結(jié)合即可求解.

因為z=x+y,所以y=-x+z,結(jié)合圖形以及直線y=-x+z的幾何意義可知：

當直線y=-x+z經(jīng)過點（2,0）時，取得最大值，此時z=2+0=2.

故選：B.

5.袋子中裝有大小相同的2個紅球和2個白球，不放回地依次從袋中取出兩球，則取出的兩球同

色的概率為（）

A.-B.1C.-D.-

3234

答案：A

把基本事件的所有情況列舉出來，然后把所求事件包含的基本事件個數(shù)列舉出來，即可求所求事件

的概率.

解：把2個紅球記為“力，2個白球記為c,d,則不放回地依次從袋中取出兩球包含的基本事件有

ab,ac,ad,bc,bd,cd,共6種，記“取出的兩球同色”為事件A,事件A包含的基本事件有血以，

71

2種情況，所以「(/1)=工=不

o3

故選：A.

6.函數(shù)/(x)=e*+x2-2x的圖象在點(0,f(0))處的切線方程為()

A.x+y-l=0B.x+y+l=0

C.2x+y+l=0D.2x+y-l=0

答案：A

求出原函數(shù)的導函數(shù)，求出在x=0處的切線斜率，再求出八0),即可得到切線方程.

解：因為/(x)=e*+x2-2x,

所以尸(x)=e*+2x-2,

???/'(())=T，

又八0)=1,

所以所求切線方程為y-i=0),

即x+y-l=0.

故選：A

7.在矩形ABCD中，A8=&,BC=2,點F在CD邊上，若A瓦/=&，則(而+前)?麗=()

A.0B.2C.272D.4

答案：C

可分別以直線BC,BA為x,＞軸，建立平面直角坐標系，然后可得出A(O,0),8(O,O),C(2,O),并設

尸(2,y),根據(jù)通.通=正即可求出點尸的坐標，進而可得出向量而和福+/的坐標，從而可

求出(而+元).麗的值.

解：分別以邊BC,84所在的直線為x,y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則:

A(0,72),B(0,0),C(2,0),設尸(2,y),

則AB=(0,-72),AF=(2,y-y/2),AC=(2,-揚，

AAB-AF=2--j2y=>/2,解得y=

F(2,5/2-1),通+而=(2,-2&),而=(2,近—1),

A(AB+AC)BF=4-4+2y/2=2s/2.

故選：C.

8.宋元時期我國數(shù)學家朱世杰在《四元玉鑒》中所記載的''垛積術"，其中"落一形"就是以下所描

述的三角錐垛，三角錐垛從上到下最上面是1個球，第二層是3個球，第三層是6個球，第四層是

10個球，...，則這個三角錐垛的第十五層球的個數(shù)為()

A.91B.105C.120D.210

答案：C

歸納可得“三角形數(shù)”的通項公式為：=1+2+3+……+〃=里空2,從而求出第15層球的個數(shù).

解：：“三角形數(shù)”可寫為：1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,I+2+3+4+5,…，

“三角形數(shù)”的通項公式為：q,=1+2+3+……+”=四羅，

???則這個三角錐垛的第十五層球的個數(shù)為/==120,

故選：C.

9.已知圓G：?+/一履-2丫=0和圓642+9-2切-2=0相交,則圓G和圓C2的公共弦所在的直線

恒過的定點為()

A.(2,2)B.(2,1)C.(1,2)D.(1,1)

答案：B

根據(jù)題意，聯(lián)立兩個圓的方程可得兩圓公共弦所在的直線方程，由此分析可得答案.

解：根據(jù)題意,圓C：x2+y2-fcv-2y=0和圓。2*+丫2-2g-2=0相交，

則卜、丁"2k°,

[x2+y2-2ky-2=0

則圓G和圓G的公共弦所在的直線為h-26+2丁-2=0,變形可得屹-2y)=2(y-1),

則有尸一?：°,則有H即兩圓公共弦所在的直線恒過的定點為(2,1),

[y-l=0[y=\

故選：B.

10.已知圓G：—+y2-京-2y=0和圓C2：f+y2-2.-2=0相交，則圓G和圓的公共弦所在的直

線恒過的定點為()

A.(2,2)B.(2,1)C.(1,2)D.(1,1)

答案：B

根據(jù)題意，聯(lián)立兩個圓的方程可得兩圓公共弦所在的直線方程，由此分析可得答案.

解：根據(jù)題意,圓G：》、/-丘-2y=0和圓C2：f+y2-2切-2=0相交，

則卜—2y=0,

[x24-y2-2ky-2=0

則圓G和圓G的公共弦所在的直線為依-2@+2y-2=0,變形可得％(x-2y)=2(y-l),

[x-2y=0fx=2,

則有/A，則有「即兩圓公共弦所在的直線恒過的定點為(2,1),

[y-1=0[>,=1

故選:B.

11.設人腦分別為雙曲線c：J=ig>()"))的左，右焦點，過點E的直線1與C的一條漸近

線交于點P,若尸鳥_Lx軸，且點入到1的距離為2a,則C的離心率為()

A.72B.石C.45D.272

答案：B

根據(jù)題意，先表示出求出直線1的方程，利用尸2到1的距離為2a,到關于a、b、c的

齊次式，消去b,求出離心率.

解:設居(—0),瓦(c,0),

因為過點尸?的直線1與C的一條漸近線交于點P,若軸，所以可設尸

所以直線1：y=3(x+c),

2a

be

因為點K到1的距離為2a,所以|一7TT=2"，

百

整理化簡，得：b2=2a2,

消去〃，得：c2=3a2,所以離心率為：e=￡=6.

a

故選：B

12.若e"+lna=eG+gln(助)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則()

A.a2>bB.2a>bC.a2<bD.2a<b

答案：A

依題意得j+hw=e的+ln揚+g,又/(x)=，+Inx,(x>0)為增函數(shù)，則〃〉揚，即可判斷結(jié)果.

解：由e"+Ina=e?+；In(eh)得ea+Ino=e"+In\[b+g

設〃x)=e"+lnx,(x>0),則/z(x)=ev+—>0

所以/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，則"q)=/(折)+；>/(〃)

所以a>揚，則。2>6

故選:A

二、填空題

13.若一組數(shù)據(jù)3為-1,3當-1,…,3%-1的平均數(shù)為8,則另一組數(shù)據(jù)%,多，…%的平均數(shù)為

答案：3

設數(shù)據(jù)與聲，…%的平均數(shù)為"根據(jù)平均數(shù)的線性關系列方程，求出「

解：設數(shù)據(jù)士,々，…%的平均數(shù)為1則數(shù)據(jù)網(wǎng)-1,3f-1,…,3內(nèi)-1的平均數(shù)為公-1，

即3x-l=9，解得：x=3

故答案為：3.

14.已知圓錐的底面直徑為2,側(cè)面展開圖為半圓，則圓錐的體積為.

答案：與

3

根據(jù)題意由圓錐側(cè)面積的兩種計算方法找到等量關系，從而求得母線長，進而求得圓錐高，最終求

得圓錐體積.

解：解：設底面圓半徑為，母線長/,圓錐高為

r=1,

?0?圓錐側(cè)面積S=7irl=7rl,

而根據(jù)題意，半圓面積S=

?：n\=—KI2

2

:.l=2

/.r=--S/?=-x^-xl2x73=—

333

故答案為立*

3

15.已知拋物線/=4），上一點A到x軸的距離為m,到直線x+2y+8=0的距離為n,則m+n的最小

值為

答案：2逐-1

利用拋物線的定義，轉(zhuǎn)化距離，"=|河|-1,再利用數(shù)形結(jié)合求，的最小值.

解：根據(jù)拋物線的定義可知，點A到準線的距離和到焦點的距離相等，即

如圖，|AH=〃，則〃?+〃=|A目+IM-1,而|AF|+|AP|的最小值是點尸（0,1）到直線x+2y+8=0的

距離〃二胃;26

Ay

所以機+〃的最小值是2百-1.

故答案為：2必1

16.已知函數(shù)關于x的方程"(x)『+"(x)+從-i=o恰有5個不同實數(shù)解，則實數(shù)

b=____.

答案：—1

首先畫出函數(shù)“X)的圖象，根據(jù)題設條件和函數(shù)的圖象，令f=F(x),轉(zhuǎn)化為關于，的方程

產(chǎn)+"+廿-1=0有一個根為1,另外一個根為0或大于I,分類討論，即可求解.

解：由題意，函數(shù)〃X)=F-2],畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，

當”0時，方程“力=/有2個實數(shù)根；

當，=1時，方程”司=￡有3個實數(shù)根；

當f>l時,方程〃x)=，有2個實數(shù)根；

當0<r<l時，方程/(%)=￡有4個實數(shù)根,

令f=/(x),則關于X的方程"(x)F+"(x)+U-l=0,

轉(zhuǎn)化為關于t的方程產(chǎn)+初+〃7=0有一個根為1,另外一個根為0或大于1,

令f=l,可得1+力+〃-1=0,解得6=0或b=-l；

當6=0時，方程即為/-]=o,此時f=l或f=-l,不合題意；

當。=—1時，方程即為產(chǎn)-1=0,此時，=0或/=1,滿足題意,

綜上可得：6=-L

故答案為：—1

17.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知（bc-a）sinA=csinCsin8.

（1）求角B的大??；

（2）求cosC+sinB+GeosA的取值范圍.

答案：（1）8=9；（2）?

6I2_

（1）由已知結(jié)合正弦定理及余弦定理進行化簡可求cos3,進而求得B.

（2）結(jié)合（1）,利用兩角和差角公式及輔助角公式進行化簡，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

解：（1）由已知（Gc-a）sinA=csinC-Z＞sinB

利用正弦定理得：y/3ac-a2=c2-b2,即a2+c2-b2=43ac

由余弦定理得：cosB=H=好

2ac2

又3e（0,;r）,：.B=^

6

（2）由（1）知8=f,^A+C=—

66

二.cosC+sin8+6cosA=cos|--A|+cosA+-

l6）2

=-^-cosA+—sinA+73cosA+—=—+—sin71+—cosA

222222

=sin（A+q）+g

由0cA＜2,知工＜A+2＜衛(wèi)，

6336

利用正弦函數(shù)性質(zhì)知-；＜sin（A+g）41

故原式的取值范圍為1-o，T

點評：方法點睛：在解三角形題目中，若己知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余

弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：

(1)若式子含有Sinx的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”：

(2)若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；

(3)代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；

(4)同時出現(xiàn)兩個自由角(或三個自由角)時;要用到A+B+C=乃.

18.畢節(jié)市2020屆高三年級第一次診考結(jié)束后，隨機抽取參加考試的500名學生的數(shù)學成績制成

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求x的值并估計全市數(shù)學成績的中位數(shù)；

(2)從成績在［70,80)和［120,130)的學生中根據(jù)分層抽樣抽取3人，再從這3人中隨機抽取兩

人作某項調(diào)查，求這兩人中恰好有1人的成績在［70,80)內(nèi)的概率.

2

答案：(1)x=0.014；中位數(shù)是98；(2)P=§

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，利用頻率和為1,計算x,再根據(jù)中位數(shù)的定義，求中位數(shù)；

(2)首先計算這兩個組分別抽取的人數(shù)，再利用古典概型公式求概率.

解：(1)由條件可知，(0.012+0.018+0.025+0.020+x+0.006+0.005)x10=1,

解得：x=0.014,

0.012x1()+().018x10+(x-90)x().025=0.5,解得：x=98,

所以中位數(shù)是98；

(2)成績在［70,80)和［120,130)的頻率之比是2:1,

所以抽取的3人中，［70,80)的有2人，記為a,b,

［120,130)的有1人，記為c,

從這3名同學中抽取2人所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有：

(a,b),(a,c),(b,c)共3種情況，

其中恰好有1人的成績在［70,80)內(nèi)有(a,c),S,c),共2種,

2

所以這兩人中恰好有1人的成績在［70,80)內(nèi)的概率尸=§.

19.如圖，D是以AB為直徑的半圓0上異于A,B的點，^ABC所在的平面垂直于半圓0所在的平

面，且AC=A5,AB=2BC=2.

(1)證明：AD±DC；

(2)若=，求二面角。一AC-3的余弦值.

答案：(1)證明見解析：(2)顯

4

(1)先證明BCVBD,再根據(jù)直線與平面垂直判定定理證明線面垂直，進而可得答案;

(2)取8。中點E,過E作EF_L4C于F,連接OE、EF、DF,可證明NEFD為二面角O-AC—B

的平面角，，把問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形求解.

解：(1)證明：A8為半圓。的直徑，所以AD_LZ)B,

因為AC=6，AB=2BC=2,所以AC2=A82+8C2,

所以8C_LTW,

又因為AABC所在的平面垂直于半圓。所在的平面，

所以BCL平面所以3CLA。，BCLBD,

所以AL>_L平面BOC,OCu平面8￡>C,

所以ADLOC.

(2)由(1)知3C_L3￡),CD=母,BC=1,

所以BD=J(向2+J,所以A3。。為正三角形，

取30中點E,過E作印，4c于F,連接DE、EF、DF,

DELAB,因為平面ASC_L平面所以DE_L平面A8C,

所以￡)E_LEF,DEIAC,所以AC_L平面?！晔?，

所以AC_LF￡),所以NE/月為二面角。-AC-3的平面角,

1.3

設其大小為。，貝3。=登=—七廠屋，所以COS8=',粵.

EF+V3s!\+tan2O4

2亞

故二面角。-AC-3的余弦值為也.

4

20.已知橢圓C:￡+￡(a>b>0)的離心率為業(yè)，經(jīng)過點P(0,1)與橢圓C的右頂點的直線斜率為

ab'3

_V3

6,

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點P且與x軸不垂直的直線1與橢圓C交于A,B兩點，在y軸上是否存在定點N,使得

麗.而=0恒成立？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

22

答案：(1)工+21=1；(2)存在定點(0,-2).

124

(1)由經(jīng)過點P(0,1)與橢圓C的右頂點的直線斜率為-且，可求出。的值，然后根據(jù)離心率求

6

出c,進一步求出6,從而求出橢圓方程；

(2)設直線/：>=履+1,設N(0,y。)，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用根與系數(shù)關系，表示兩交點的坐

標關系，再由麗.麗=0建立方程，從而求出點N的坐標.

解：(1)由經(jīng)過點P(O，D與橢圓C的右頂點的直線斜率為-立,

6

得1±=一立，即a=2百,e=￡=遠，

0-〃6a3

得c=2\/2,則b1=a2—c2=4,

所以橢圓C的方程為上+$=1；

124

(2)設直線/：y="+l,設N(0,y0),

y=kx+\

聯(lián)立直線與橢圓方程住+￡

=1

U24

消去》得，（3/+1）%2+6履一9=0,

6k9

設A(x,必),3(%,%)，則%+々—TTo7，$/=_&心27

SK+13k+1

1

而為+%=kE+x2)+l,yxy2=kxxx2+k(xt+x2)+l,

NA=a，y「%）,NB=（X2,y2-%）,

則麗?麗=卬^+（%一%）也一%）

=中2+弘%-%（乂+）3）+￥

=（%2+1）XW+（一）'1）k（玉+七）+中+=1,

代換為我的表達式即（35+l）y；-2%-4（3/+2）=0,

即[（3二+1）%-2（3公+2）]（%+2）=0,%為常數(shù)時，%=-2,

故存在滿足條件的點N,點N的坐標為（0,-2）.

點評：過定點問題的處理方法：（1）先設出定點坐標，根據(jù)已知條件推導出定點坐標；（2）由特殊

條件先求出定點坐標，再證明一般情況也滿足.

21.己知函數(shù)/（*）=/+以2+c（b,ceR）.

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）是否存在b,c,使得f（x）在區(qū)間[T,0]上的最小值為-1且最大值為1?若存在，求出b,c

的所有值；若不存在，請說明理由.

答案：（1）當〃=0時，/㈤在R上為增函數(shù)；

當。<0時，在（-8,0）,（-日,心）上為增函數(shù)，/（x）在（0,-弓）上為減函數(shù)；

當b>0時，/（X）在（-8,-日）,（0,+8）上為增函數(shù)，〃x）在（-m,0）上為減函數(shù).

[b=-l.[h=3

⑵?或.

[c=1[c=-l

⑴求出導函數(shù)/（X）,令尸（幻=0得、=0或許-弓，通過比較兩根的大小分類討論，導函數(shù)在

不同情況下的正負，從而確定函數(shù)〃x）的單調(diào)性.

（2）在（1）的基礎上，比較-弓和區(qū)間端點-1,0的大小，來確定在上的單調(diào)性，分別

求出最大最小值，令最大值為1,最小值為-1,判斷滿足要求的b,C是否存在.

解：(1)因為/(x)=]3+加+c(O,c￡R),所以尸(x)=3爐+2"=x(3x+2/?),

令尸(x)=0得》=0曲=-弓，

當6=0時，/0)20且不恒為0,所以"X)在R上為增函數(shù)，

當分<0時，/'(x)>0^x<0^x>-y,/'(x)<0得0<x<-g,

所以/(x)在(-8,0),(-g,+oo)上為增函數(shù)，Ax)在(0,-,)上為減函數(shù)，

當6>0時，f'M>0^x<-^x>0,/,(x)<0^-y<x<0,

所以/(x)在(-8,-胃),(0,+8)上為增函數(shù)，/(x)在(_弓,0)上為減函數(shù).

(2)設存在滿足條件的，由(1)可得，

當640時，/(X)在[-1,0]上為增函數(shù)，

X

/()min=/(-l)=-l+^+C=-l,f(X)max=/(0)=C=1,解得。=-l,C=l；

當b＞0時，若-,4-1,即匹g時，

f(x)在［-1,0］上為減函數(shù)，/(x)mas=f(-1)=-l+b+c=\,/U)mi?=/(O)=c=-l,

解得b=3,c=-l

若0＜匕＜|時，在(-1,-與)上為增函數(shù)，在(-弓,0)上為減函數(shù),

3

=./(-y)=(-)+bx(-^+c=1，

如果/(-I)2/(0),即時，f(x)疝-f(O)=c=T,

3

解得6=荻,c=T，(不滿足條件)

如果〃-1)＜/(0),即0＜。＜1時，fMmin=f(-l)=-l+b+c=-l,

(--)3+/?x(--)2+c=14Z?3

由3，3,化簡得：—=b+\,

-l+b+c=-i27

4Z?2

因為0</?vl,所以——<1,Z?+1>1,此時〃無解，

27

^=~l_p.fb=3

綜上所述?或?.

[c=\[c=-l

點評：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間需判斷導函數(shù)的正負，本題(1)中須比較兩個根-弓和0的大小來分

類討論，第(2)問中需比較-石和區(qū)間端點-1,0的大小來確定導函數(shù)在區(qū)間上的正負,

判斷單調(diào)性，確定最值，求解〃,。.

.1

x=-3——t

2

22.在直角坐標系xOy中，直線1的參數(shù)方程為＜(t為參數(shù)).以坐標原點為極點,X軸

0

的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C