2021屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點精練15 空間幾何體（客觀題）（文）（解析版）

專題15空間幾何體（客觀題）

一、單選題

i.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積是

4

A.

iB.4

8

C.D.8

3

【試題來源】北京房山區(qū)2021屆高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題

【答案】A

【解析】根據(jù)三視圖可知，該四棱錐的直觀圖如圖P-ABCQ所示，底面為對角線長為2

1（2）4

的正方形，與底面垂直的側(cè)棱的長度為2,.,.其體積為丫=512、耳卜2=§,故選A.

B

2.《算數(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年代在我省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)

的數(shù)學(xué)典籍，其中有一道求“困蓋”體積的題：困下周六丈高二丈，求積.即已知圓錐的底面

周長為6丈，高為2丈，求圓錐的體積.《算數(shù)書》中將圓周率乃近似取為3,則該困蓋的

體積（單位：立方丈）約為

A.2B.3

C.4D.6

【試題來源】2020年湖北省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試

【答案】A

3

【解析】設(shè)圓錐底面半價為「，則2如*=6,，=—,

乃

：.V=-X^T2X2=-X^-X—x2=—?2.故選A.

337T27T

3.某幾何體的三視圖均為如圖所示的五個邊長為單位1的小正方形構(gòu)成，則該幾何體與其

外接球的表面積分別為

A.18,3萬

C.30,11%D.32,11乃

【試題來源】陜西省寶雞市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期高考模擬檢測（一）（理）

【答案】C

【解析】由三視圖的幾何體如圖所示，可知幾何體的表面積為S=lxlx5x6=30,

設(shè)該幾何體外接球的半徑為R，則2R=>/12+12+32=VT1，

所以該幾何體外接球的表面積為5'=4萬x=1\TC故選C.

4.一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積是

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

【試題來源】浙江省金華市義烏市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬考試

【答案】A

【解析】由三視圖可知，該幾何體是一個以直角梯形為底面，高為6的四棱柱,

Q

5.已知某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的體積是則％=

【試題來源】江西省吉安市2021屆高三大聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）（3-2）試題

【答案】B

【分析】作出原幾何體對應(yīng)的直觀圖，可知該幾何體為一個圓臺中挖去一個以圓臺上底面為

底面的圓柱后所得，結(jié)合題中的數(shù)據(jù)以及臺體、柱體的體積公式可求得為的值.

【解析】作出原幾何體對應(yīng)的直觀圖如下圖所示：

由三視圖可知，該幾何體為一個圓臺中挖去一個以圓臺上底面為底面的圓柱后所得,

圓臺的上底面半徑為1,下底面半徑為2,高為X,圓柱底面半徑為1,高為X,

則其體積為V---X-（7T-12+7T-22+J乃?小2?）—萬?『-x--7rx,

3\/3

48

由題設(shè)知，一兀X=-Tt,：.x=2,故選B.

33

【名師點睛】求解幾何體體積的方法如下：（1）求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的

關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積

公式求解；（2）若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補形

法等方法進行求解.

6.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有木長二丈，圍之三尺.葛生其下，

纏木七周，上與木齊.問葛長幾何？術(shù)曰：以七周乘三尺為股，木長為勾，為之求弦.弦者，

葛之長”意思是今有2丈長的圓木，其橫截面周長3尺，葛藤從圓木底端繞圓木7周至頂端，

問葛藤有多長？九章算術(shù)還有解釋：七周乘以三尺為股（直角三角形較長的直角邊），木棍

的長為勾（直角三角形較短的直角邊），葛的長為弦（直角三角形的斜邊）（注：1丈=10尺）

A.29尺B.27尺

C.23尺D.21尺

【試題來源】大慶鐵人、雞西-中、鶴崗一中三校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期聯(lián)考（理）

【答案】A

【解析】根據(jù)題意知，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，如下圖所示，矩形的高（即木棍的高）為

20尺，矩形的底邊長為7x3=21（尺），因此葛藤長，202+2肝=29（尺）?故選A.

【名師點睛】對于空間幾何體中最值問題的求解方法；（1）計算多面體或旋轉(zhuǎn)體的表面上折

線段的最值問題時，一般采用轉(zhuǎn)化的方法進行，即將側(cè)面展開化為平面圖形，即“化折為直”

或“化曲為直”來解決，要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀；（2）對于幾何體內(nèi)

部折線段長的最值，可采用轉(zhuǎn)化法，轉(zhuǎn)化為兩點間的距離，結(jié)合勾股定理求解.

7.中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅督造的一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商

鞅銅方升，其三視圖如圖所示（單位：寸），今有一球的體積與該商鞅銅方升的體積相當(dāng)，設(shè)

球的半徑為R,則RM單位：寸D的值約為

5.43

A.2.9

C.3.1D.3.2

【試題來源】河南省2021屆高三名校聯(lián)盟模擬信息卷（文）

【答案】B

【解析】由三視圖作出直觀圖，如圖，易得商鞅銅方升是由一圓柱和一長方體組合而成,

故其體枳V=（5.4—L6）x3xl+?xxl.6=11.4+0.4^,

4

設(shè)球的半徑約為R,則丁11.4+0.44，得及3^3.0.故選B.

8.如圖是一個裝有水的倒圓錐形杯子，杯子口徑6cm,高8cm（不含杯腳），已知水的高度

是4cm,現(xiàn)往杯子中放入一種直徑為1cm的珍珠，該珍珠放入水中后直接沉入杯底，且體

積不變.如果放完珍珠后水不溢出,則最多可以放入珍珠

A.98顆

C.120顆D.126顆

【試題來源】湖北省黃岡市部分普通高中2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考

【答案】D

【解析】作出圓錐的軸截面圖如圖，由題意，。尸=8,&P=4,OA=3,

4x3

設(shè)qA=%，則一=一，即了=二.

832

則最大放入珍珠的體積V=—,7Fx32x8--x4=21〃，

33⑶

最多可以放入珍珠126顆.選D.

9.在正方體A3CD—44G。中，三棱錐A—4。。的表面積為4月，則正方體外接球

的體積為

A.4信B.遍兀

C.32居D.8娓兀

【試題來源】天津市濱海七校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期末聯(lián)考

【答案】B

【解析】設(shè)正方體的棱長為。，則4〃=AC=Ag=A"=4C=.C=J〃，

由于三棱錐A-4cA的表面積為46所以S=4S蜴c=4x1X缶了=4百，

所以a=&，所以正方體的外接球的半徑為“旬+（應(yīng)）+（匈=見，

22

所以正方體的外接球的體積為乎）=?乃故選5.

【名師點睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時要認(rèn)真分析圖形,

明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正

方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體

的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.

10.已知正方體4BQD-44GR的所有頂點都在球。的表面上，若球。的體積為36萬，

則正方體ABC?！狝4GA的體積為.

A.273B.3上

C.12垂＞D.2473

【試題來源】天津市和平區(qū)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期末

【答案】D

【分析】先求出球。的半價，再根據(jù)正方體的棱長與其外接球半徑的關(guān)系，求出正方體的

樓長，即可求出正方體的體積.

4

【解析】?.?球。的體積為367，即/=36萬，解得R=3,

設(shè)正方體ABC?！狝4G。的棱長為由題意知2/?=，7+牛+片,即6=Ga，

解得a=20，：.正方體ABCD-A.B^D,的體積V3=246.故選D.

11.芻薨，中國古代數(shù)學(xué)中的一種幾何體.《九章算術(shù)》中記載：“芻薨者，下有袤有廣，而

上有袤無廣.芻，草也.薨屋蓋也翻譯為"底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一

條棱.芻薨字面意思為茅草屋頂”.如圖為一芻薨的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側(cè)視

圖為等腰三角形，則搭建它（無底面，不考慮厚度）需要的茅草面積至少為

A.14B.8A/5

C.16D.8A/6

【試題來源】四川省峨眉第二中學(xué)校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期11月月考（理）

【答案】B

【分析】由三視圖可知該芻薨是一個組合體，它山成一個直三棱柱和兩個全等的四棱錐組成,

根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可得其需要覆蓋的面積.

【解析】根據(jù)三視圖畫出其立體圖形：如圖，茅草覆蓋面積即為幾何體的側(cè)面積,

根據(jù)立體圖形可知該幾何體的側(cè)面為兩個全等的等腰梯形和兩個全等的等腰三角形.

其中，等腰梯形的上底長為2,下底長為4,高為，f+2?=石；等腰三角形的底邊長為2,

高為Ja+22=6,故側(cè)面積為S=2x（4+2）x石+2x2x4x君=8石

22

即需要茅草覆蓋面積至少為8小，故選B.

12.已知三棱錐P-ABC滿足：PC=AB=非,PA=BC=54C=PB=2,則三棱錐P-A8C的

體積為

A.旦B.也

23

「2底nV6

34

【試題來源】貴州省貴陽市第一中學(xué)2021屆高考適應(yīng)性月考卷（三）（文）

【答案】B

【解析】因為PC=AB=6，PA=BC=6AC=PB=2,構(gòu)造長方體如圖所示:

則FC,AB,PA,BC,AC,為長方體的面對角線,

/+/=5a-yfi

設(shè)AQ=a,BD="CQ=c,plij]c2+/?2=3解得,z,=0,所以三棱錐P-ABC的體積為

a2+c2=4C=1

長方體的體積減去三棱錐c-DAB.F-PAC,G-PBC,E-PAB的體積,

BPV=73x72x1-4x1x^x1x72xl=^,故選B.

323

13.如圖，在直三棱柱ABC-A的側(cè)面展開圖中，B,C是線段AD的三等分點，且

AD=3A/3,若該三棱柱的外接球。的表面積為12力，則的=

g,C,D.(A：

ABCD(A)

A.72B.2

C.V5D.2V2

【試題來源】廣東省高州市2021屆高三上學(xué)期第一次模擬

【答案】D

【分析】根據(jù)展開圖，得到直觀圖為直三棱柱，求得底面的外接圓半徑，由外接球體積求得

外接球的半徑，進而利用勾股定理求得球心到三棱柱底面的距離，乘以2即得三棱柱的高,

即為A4,的長?

【解析】由展開圖可知，直三棱柱ABC-a4G的底面是邊長為行的等邊三角形,

其外接圓的半徑滿足2廠=*-=2,所以/"=1.由4%R2=i2%得R=上.

sin60°

由球的性質(zhì)可知，球心。到底面ABC的距離為"=JR2f2=④,

結(jié)合球和直三棱柱的對稱性可知，A4,=2J=2V2,故選D.

14.在《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.已

知四棱錐S-ABCO為陽馬，SO_L底面ABC。，其三視圖如圖所示，正視圖是等腰直角三

角形，其直角邊長為2,俯視圖是邊長為2的正方形，則該陽馬的表面積為

A.472+8

C.8

【試題來源】浙江省百校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考

【答案】A

【解析】由本題三視圖知，該陽馬是底面為正方形的四棱錐，兩個側(cè)面是等腰直角三角形,

另外兩個側(cè)面是直角三角形，證明如下：5。_L平面ABC。，BCu平面ABC。，所以

SDLBC,乂BC上CD,CDQSD=D,所以BCJ,平面SOC,SCu平面SOC,

所以8C_LSC.同理A8J.S4.

所以S——x2x2H—x2x2H—x2x2,V2H—x2x2,\/2+2x2=4>/2+8.故選A.

2222

15.己知長方體的兩個底面是邊長為1的正方形，長方體的一條體對角線與底面成45°角，

則此長方體的外接球表面積為

A.4乃B.6萬

C.127D.24乃

【試題來源】寧夏平羅中學(xué)2021屆高三上學(xué)期期末考試（文）

【答案】A

【解析】記該長方體為A6CD—44G。，為該長方體的一條體對角線，其與底面所

成角為45。，因為在長方體-中，側(cè)棱。。1?底面43C。，

則ZD.BD為8。與底面所成角，即/RBD=45°,

因為長方體的兩個底面是邊長為1的正方形，所以BD=dAEP+AB2=0，

則DL>I=BD=6,所以BR=72+2=2,又長方體的外接球直徑等于其體對角線的長,

即該長方體外接球的直徑為2H=3。=72+2=2,

所以此長方體的外接球表面積為S=4兀R?=4萬.故選A.

16.某圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為2%,面積為￡的扇形，則該圓錐的外接球的表

33

面積為

A27缶27兀

64IF

9n3兀

C.—

8T

【試題來源】周口市商丘市大聯(lián)考2020-2021學(xué)年第一學(xué)期高中畢業(yè)班階段性測試（三）

【答案】c

【解析】解析設(shè)圓錐的母線長為/，則側(cè)面積S=,X2Z/2=W，所以/=1

233

2yr1

設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2萬r=丁/,所以r=一，

33

所以圓錐的高Z=J/2_/因為/z>r,所以球心在圓錐的高匕

（與—R+［§），解得/?=苧，

設(shè)外接球的半徑為R,由*=（〃一A）?+/,得夫2

97r

所以球的表面積為44/?2=4%x—.故選c.

8

17.四面體ABC。中，ABLBC,CD±BC,BC=2,且異面直線A8與C。所成的角為

60°.若四面體ABCZ）的外接球半徑為6，則四面體ABC。的體積的最大值為

A.26B.473

「百口也

L-?L/.

36

【試題來源】浙江省紹興市稽陽聯(lián)誼學(xué)校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期11月聯(lián)考

【答案】A

［解析］構(gòu)建直三棱柱ABE-FCD，設(shè)G,“分別為△ABE,ACDF的外心，連接GH,

取其中質(zhì)。，則。為宜三棱柱ABE-CDF的外接球的球心，也為四面體ABC。的外接球

的球心，因為異面直線AB與CO所成的角為60。，所以NABE=60°.

設(shè)三棱柱底面△ABE的外接圓半徑為r,則r=萬斤=2，AE=2rsin60°=28，再

由余弦定理，AE1=AB2+BE2-2AB-BE-cos60°AB2+BE2-/IB-BE=12.

所以12=AB2+BE?-ABBEN2AB-BE—ABBE=ABBE,

即A8-BE412,當(dāng)且僅當(dāng)AB=BE=26時，等號成立，

VV

所以匕A-6BCC”D=A~UDtiBb.E=D3AB2E=--~■AB-BE-sm60°-D6E=—AB-B?E<

故四面體ABC。的體積的最大值為2壞.故選A.

【名師點睛】本題解題關(guān)鍵是構(gòu)建直三棱柱ABE-FCD,再利用等體積法將VA_BCD轉(zhuǎn)化

為VD_ABE，進一步只需求出AABE面積的最大值即可?

18.已知點P,A,B,C在同一個球的球表面上，方，平面ABC,AB±AC,PB=5BC=

6PC=2,則該球的表面積為

A.6乃B.87r

C.127rD.16乃

【試題來源】四川省宜賓市2021屆高三上學(xué)期第一次珍斷考試（文）

【答案】A

【解析】如圖，：.棱錐尸-ABC補體在長方體中，?:棱錐的外接球就是補體后長方體的外

接球，長方體的外接球的直徑

2R=市9+-=12+=）+（二72）+（「+3）

=JPB、B；+PC2=瓜,即R=半，則該球的表面積S=4〃R2=6〃.故選A.

【名師點睛】本題考查了球與幾何體的綜合問題，考查空間想象能力以及化歸和計算能力,

（1）當(dāng)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直時，并且側(cè)棱長為a,"c,那么外接球的直徑

2R=yla2+b2+c2-（2）當(dāng)有一條側(cè)棱垂直于底面時，先找底面外接留的圓心，過圓心做

底面的垂線，球心在垂線上，根據(jù)垂宜關(guān)系建立R的方程.

19.已知四棱錐A—8C0E中，481.平面3。。石，底面8COE是邊長為2的正方形，且

AB=3,則該四棱錐外接球的表面積為

17兀

A.44B.

~4~

C.177rD.

【試題來源】四川省瀘州市2021屆高三第一次診斷性考試（文）（一模）試題

【答案】C

【分析】由題意，可把四棱錐4-BCDE放置在如圖所示的一個長方體內(nèi)，得到四棱錐

A-BCDE的外接球和長方體的外接球表示同一個球，結(jié)合長方體的性質(zhì)，求得球的半徑，

根據(jù)球的面積公式，即可求解.

【解析】由題意，四棱錐A—BCOE中，四邊形BCOE是邊長為2的正方形，

48=3且43上平面3。。后，可把四棱錐A—8C0E放置在如圖所示的個長方體內(nèi)，

其中長方體的長、寬、高分別為2,2,3,則四棱錐A-BCOE的外接球和長方體的外接球

表示同一個球，設(shè)四楂錐A—BCDE的外接球的半徑為R,可得回F手=2R，解

得/?=乎，所以該四棱錐外接球的表面積為5=4乃/?2=4萬、（率）2=17萬.故選C.

［名師點睛】解決與球有關(guān)的組合體的方法與策略：（1）一般要過球心及多面體中的特殊點

或過線作截面將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，從而尋找?guī)缀误w個元素的關(guān)系，結(jié)合球的截面的

性質(zhì)和改=產(chǎn)+〃2,進行求解；（2）若球面上四點P,A,5,C中兩兩垂直或三

棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長方體或正方體確定球的直徑解決外接球問題.

20.已知四棱錐A—中，四邊形3c。石是邊長為2的正方形，45=3且45，平面

BCDE,則該四棱錐外接球的表面積為

174

A.4%B.

4

C.177TD.8%

【試題來源】四川省瀘州市2021屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試（文）

【答案】C

【分析】由題意，可把四棱錐A-8CDE放置在如圖所示的一個長方體內(nèi)，得到四棱錐

A-BCDE的外接球和長方體的外接球表示同一個球，結(jié)合長方體的性質(zhì)，求得球的半徑，

根據(jù)球的面積公式，即可求解.

【解析】由題意，四棱錐A—5COE中，四邊形5CDE是邊長為2的正方形，

A8=3且A3J_平面BCDE,可把四棱錐A—3CDE放置在如圖所示的一個長方體內(nèi)，

其中長方體的長、寬、高分別為2,2,3,則四棱錐A-8COE的外接球和長方體的外接球

表示同一個球，設(shè)四棱錐A-的外接球的半徑為R,可得,2?+2?+3?=2R，解

得/?=乎，所以該四棱錐外接球的表面積為S=4萬R2=4萬x（當(dāng)了=174.故選C.

21.已知三角形ABC的三個頂點在球。的球面上，口43。的外接圓圓心為M,外接圓面

積為4%，且AB=BC=AC=OM,則球。的表面積為

A.647rB.48萬

C.36萬D.32萬

【試題來源】山東省濟南市商河縣第二中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期中考試

【答案】A

【解析】因為DABC的外接圓M面積為4萬，所以圓M半徑為2,即AM=2因為

AB=BC=AC=ON,所以點M為口ABC的重:心，設(shè)AB=a,所以2乂也。=2,即

32

a=25所以A8=8C=AC=OM=26，又0M,平面ABC,

所以。42=0^2+^2=16，所以。4=4,即球的半徑為4,所以球。的表面積為

4^--42=(Arc?故選A.

22.已知三棱錐尸-A8c的三條側(cè)棱兩兩垂直，且尸A,P民尸C的長分別為。力,c,又

(a+/?)2c-16/2,側(cè)面P4B與底面ABC成45°角，當(dāng)三棱錐體積最大時，其外接球的表

面積為

A.10乃B.40乃

C.20萬D.18萬

【試題來源】河北省邯鄲市2021屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測

【答案】A

【解析】v'abc'ab.16叵,的^^二逗,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號，

66(a+b)264ab3

因為側(cè)面PA8與底面ABC成45°角，則PC=—，：7人工=也、

2623

:.a=b=2,c=H所以4H2=/+/+,2=10,故外接球的表面積為107.故選A.

23.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)''日：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所

得開立方除之，即立圓徑意思是球的體積V乘16,除以9,再開立方，即為球的直徑4,由

此我們可以推測當(dāng)時球的表面積S計算公式為

A.S=—cl2B.S=

82

H,2

C.S=-d2D.S=—a

214

【試題來源】江蘇省泰州市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期未

【答案】A

【解析】因為:感=〃，所以丫=尤="/幺］,所以乃=22.

V9163⑴8

rriuA27d_27,2+6、A-A

明以Sc=4〃一=4x—x—=—d"，故選A.

\2）848

24.已知三棱錐P-ABC,ZBAC=1,BC=6PAL平面ABC且24=26，則

此三棱錐的外接球的體積為

16萬I-

A.不―B.4\&r

,,32兀

C.167D.------

3

【試題來源】安徽省淮北市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬考試（文）

【答案】D

【分析】可得球心到平面A8C的距離等于雨的一半，由正弦定理可求得三角形A8C外接

圓半徑，即可根據(jù)勾股定理求得球半徑，得出體積.

【解析】如圖，設(shè)球心為。，三角形A8C外接圓心為Q,

???PA_L平面ABC,二。日=（PA=G，設(shè)球半徑為R,圓Q的半徑為廣，

則在三角形ABC中，由正弦定理可得2r=.BC一=2,即r=1,

sinABAC

22

在直角三角形AOQ中，OOr+AOt=OA,即（G『+/=R2,解得R=2,

Ajr327r

則外接球的體積為一1/?3=一二.故選D.

33

25.已知三棱錐S-ABC的所有棱長都相等，點M是線段S8上的動點，點N是線段SC

上靠近S的三等分點，若AM+MN的最小值為2萬，則三棱錐S-ABC外接球的表面

積為

A.274B.81萬

C.54〃D.108乃

【試題來源】百校聯(lián)盟2021屆普通高中教育教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測考試（全國卷11月）（文）試卷

【答案】C

【分析】根據(jù)條件作出圖示，將平面￡45、平面S5C展開后利用平面圖形分析AM+MN

的最小值，結(jié)合余弦定理計算出三棱錐的棱長，再考慮三棱錐與正方體的關(guān)系，通過正方體

的外接球求解出三棱錐的外接球的半徑，從而表面積可求.

【解析】如下圖所示：招平面平面S5C展開至同一平面，連接AN交SB于點M,

故AM+MN的值最小為AN=2內(nèi)，設(shè)三棱錐S-ABC的棱長為3a，

則在△SAN中，NASN=120。，SA=3a,SN=a,

QA2_i_SN?_AN21

由余弦定理可知cosZASN=_—=解得a=2,

2SA-SN2

所以三棱錐S-ABC的棱長為6,將該四面體置于正方體中，可得正方體的外接球即為四

面體的外接球，如下圖所示：

所以正方體的棱長為阜=3夜，所以正方體的外接球半徑為=

1222

故四面體的外接球半徑為亞，外接球表面積S=4?R2=54〃.故選C.

2

【名師點睛】正四面體可以看成是正方體的三組對棱所構(gòu)成的三棱錐，此時正四面體的棱長

是正方體棱長的垃倍.

26.如圖，小方格是邊長為1的小正方形，粗線畫出的是某四棱錐的三視圖，則該四棱錐的

外接球表面積為

A.32乃B.30上萬

C.4UD.40信

【試題來源】江西省五市九校協(xié)作體2021屆高三第一次聯(lián)考

【答案】C

【解析】根據(jù)三視圖可得原幾何體如圖所示，且尸”，平面ABC。，PH=4,H為AB

的中點，四邊形ABC。為正方形，其邊長為4.設(shè)Q為正方形ABC。的中心，。2為△PA8

的外心，則外接球的球心。滿足OOX_L平面ABCD,0021平面PAB,

所以HOJ/OOi，又“Qu平面PA8,故同理

所以四邊形“QQ。為矩形.在正方形ABCO中，HOX=2,

95

在△PAB中，（4一「。2）~+4=尸。；，故尸。2=5，

故外接球半徑為J"+4=畫,故外接球的表面積為47x2=41萬，故選C.

V424

【名師點睛】幾何體外接球的半徑的求法，關(guān)鍵是球心位置的確定，可用球心與各面的外接

圓的圓心的連線與此面垂直來確定，如果球心的位置不確定，那么可用補體的方法來確定球

心的位置.

27.在三棱錐產(chǎn)一ABC中，A8=AC=20，N8AC=120°，PB=PC=2庭,

PA=2也,則該三棱錐的外接球的表面積為

A.40萬B.20萬

C.80乃D.60萬

【試題來源】江西省名校2021屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)考（理）

【答案】A

【解析】在口班。中,BC2=AB2+AC2-2-AB-AC-cosZBAC=24^即BC=2n，

又PB=PC=2瓜所以口尸5。為等邊三角形，根據(jù)題意，有如下示意圖：

如圖，設(shè)口43。的外接圓的圓心為Q,連接qc,O|A,BCcO]A=H,連接P".

由題意可得AHL8C，且A"=3O|A=應(yīng)，BH=；BC=娓.

所以由上知PH，BC且PH=J（2病2—點=372-乂PH2+AH2=PA2，

所以由A”nBC=",平面A8C

設(shè)。為三棱錐P—ABC外接球的球心，連接。a，OP,0c過。作OOLPH,垂足為

D,則外接球的半徑K滿足/??=00；+。。；=（尸"_。?『+（。。）2,CO}=AB=2后,

OD=O、H=AH=日代入解得OQ=0,即有收=10，

所以三棱錐P-ABC外接球的表面積為4〃R2=40萬.故選A.

28.《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽馬.設(shè)Aa是正八

棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽馬以該正八棱柱的頂點為頂點，以A&為底面矩形的一邊，則

這樣的陽馬的個數(shù)是

A

A.8B.16

C.24D.28

【試題來源】江蘇省南通市啟東市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期中

【答案】C

【解析】根據(jù)正八邊形的性質(zhì)可得，底面邊長都相等，底面每個內(nèi)角都為135°，

ZHAG=ZBAC=22.5°>NHAF=NBAD=45°，所以

AB1AF,AC1AG,ADLAH,因為A4,_L平面ABCOEFGH,

且AanA8=A,則AFJ.平面因為AF〃4￡〃8￡〃4月，所以共有4個

陽馬；同理，AG_1_平面AAGC,共4個；4//_1平面44,。。，共4個;

ABL平面M耳產(chǎn)，共4個；ACL平面AAGQ,共4個;

AO1平面A41Hi"，共4個；故有24個陽馬.故選C.

29.在長方體ABC?！狝4G。中，AB=CC=g，BC=1,點、M在正方形CORG內(nèi),

平面ACM,則三棱錐M-ACG的外接球表面積為

11「

A.—TtB.7兀

2

C.1IKD.14兀

【試題來源】廣東省廣州市2021屆高三上學(xué)期階段訓(xùn)練

【答案】C

【解析】長方體AC1中，AA_L平面a?RG，G"u平面CORC，所以

乂?平面ACM，ACu平面ACM,所以C|M_LAC,

因為AcnA2=A，所以G"，平面ACR，而u平面ACR,所以gMiCD,,

SPG是正方形，所以M是CR與交點，即為CR的中點，也是G。的中點.

△C/0C是直角三角形，設(shè)E是CG中點，F(xiàn)是B4中點，則由Ef7ABe可得EFJ.平

面"eq（長方體中棱與相交面垂直），E是△GMC的外心，三棱錐A—MCG的外接

球球心。在直線EF上（線段E/或EF的延長線上）.

3

設(shè)OE=〃，則好++(1—/?)■(解得/?=1■

所以外接球半徑為r=＞。丫+（也］=①,表面積為5=4"/=4%*口=11%.

30.如圖，已知四棱臺ABCD-ABGR的上下底面均為正方形，

AB=2y/2,AxBl=V2,A4,==CQ=DDt=2,則下述正確的是

A.該四棱臺的高為26B.A4,±CC,

C.該四棱臺的表面積為26D.該四棱臺外接球的表面積為16萬

【試題來源】四川省師范大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期中（理）

【答案】D

【解析】將四棱臺ABC。—A4G。的側(cè)棱延長，相交于點P，形成四棱錐P-A8CO

設(shè)正方形ABC。和AgGA的中心分別為°，。1，如圖所示:

A選項：由于AB=20，A4=則4，4分別為中點，

2

.?.PA=2A4,=4,pO=y/p^-AO==2x/3-.??°。=；2°=6

即四棱臺ABCD—ABCR的高為、Q,故A錯誤;

B選項：連接ACNAPC（或其補角）、即直線A4,與CG所成的夾角,

PA=4,PC=4,AC=4,APAC是等邊三角形,

.?.NAPC=60°，即與CG所成的夾角為60°,故B錯誤；

C選項：S正方形s=Q閭、8,§,=（二+2.」呼=33，

梯形A]AB8122

則該四棱臺的表面積S=8+2+地x4=10+6，7,故C錯誤；

2

D選項：設(shè)該四棱臺外接球的球心M到上底面4AGO的距離為X，

則A"=H=Vl2+x2,AM=R=^22+（＞/3-X）2，所以Vl2+x2=把+限—式,

解得x=G，則外接球半徑R==2,

故該四棱臺外接球的表面積S=4%H2=16萬，故D正確，故選D.

二、填空題

1.已知正三棱柱A8C-A&G的體積為54,AB=6,記三棱柱ABC—48c的外接球

為球a,則外接球。的表面積是.

【試題來源】山西省2021屆高三上學(xué)期八校聯(lián)考（文）

【答案】6071

【分析】先求出底面三角形的面積，以及底面外接圓半徑，根據(jù)體積，得出正三棱柱的高,

進而可求出外接球的半徑，從而可得出外接球的表面積.

［解析】因為正三棱柱ABC一A4G的底面積s=gX62Xsin60°=973,

底面外接圓半徑r=—^―=26，所以正三棱柱ABC-A,4cl的高力=上=26,

2sin60S

所以外接球。的半徑R=+已j=岳，則s=47C/?2=607t，故答案為60兀.

2.已知三棱錐S—ABC中，SAYSB,SA1SC,SB1SC,若三棱錐S—ABC的外接

球的表面積為24乃，記SSBC+S+S刈,，則S的最大值為.

【試題來源】華大新高考聯(lián)盟2021屆高三11月教學(xué)質(zhì)量測評（聯(lián)考）（文）

【答案】12

【分析】設(shè)SA=x,SB=y,SC=z，則/4/也2=&『，從而可得爐+；/+z?=24,

而s=sSBC+sSAC+sSAB=^（xy+y^+立）,然后利用基本不等式可求得結(jié)果

【解析】設(shè)SA=JC,SB=y,SC=z,則/+_/+=（2R『；而4%R?=24萬，得

222

x+y+z^24；故S=SSBC+SSAC+S=g（盯+"+xz）4；（1+共+%］設(shè),

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=2叵時等號成立，故S的最大值為12.

3.長方體ABC?！狝4GA的棱長分別為0，也，2,則其外接球的體積為.

【試題來源】吉林省白城市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第三次月考（文）

9兀

【答案】—

2

【分析】根據(jù)長方體的結(jié)構(gòu)特征，得到其外接球的直徑即等于長方體的體對角線的長，由此

求出外接球半徑，進而可得外接球的體積.

【解析】因為長方體的外接球直徑等于長方體的體對角線的長，又長方體ABCD-ABCR

的棱長分別為逝，6，2,所以該長方體外接球的直徑為27?=J（V2）2+（A/3）2+22=3，

即外接球半徑為/?=不，所以外接球的體積為V=二萬R3=一.故答案為三.

2322

4.在三棱錐。—ABC中，CDJ■底面ABC,AC1BC,AB=BD=5,BC=4,則此三

棱錐的外接球的表面積為.

【試題來源】寧夏石嘴山市第三中學(xué)2021屆高三上學(xué)期第三次月考（期末）（文）

【答案】347

【解析】因為底面48C,所以CDLAC,CD1BC,又ACL8C,所以三棱錐

D-ABC的外接球就是以CD,CAC8為棱的長方體的外接球，其直徑為長方體的對角線,

因為CD=dBb—BC2='52—42=3,AC7AB2-BC2=耳-42=3,所以外接

球的宜徑2R=JCZ3+B6+4e2/32442壬J2另,,所以外接球的表面積為

4%A，=萬入34=34）?故答案為34萬

【名師點睛】利用三棱錐。一A8C的外接球就是以C￡>,CAC5為棱的長方體的外接球求

解是解題關(guān)犍.

5.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將正四棱錐稱為方錐.已知某方錐各棱長均為2,則

其內(nèi)切球的體積為.

【試題來源】百校聯(lián)盟2021屆普通高中教育教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測考試（全國新高考卷）

［答案］6\—10&兀

3

【解析】如圖，設(shè)方錐底面的中心為。，則在Rt^ABC中，AC=20，

所以4O=CO=0，在